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(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)學(xué)案 新人教A版必修2

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(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)學(xué)案 新人教A版必修2_第1頁(yè)
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《(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)學(xué)案 新人教A版必修2(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.3.掌握函數(shù)y=sin x,y=cos x的奇偶性,會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性. 知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的周期性 思考1 如果函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+3)=f(x),那么3是f(x)的周期嗎? 答案 不一定.必須滿(mǎn)足當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+3)=f(x),才可以說(shuō)3是f(x)的周期. 思考2 所有的函數(shù)都具有周期性嗎? 答案 不是.只有同時(shí)符合周期函數(shù)定義中的兩個(gè)條件的函數(shù)才具有周期性. 梳理 函數(shù)的

2、周期性 (1)對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期. (2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期. 知識(shí)點(diǎn)二 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 思考1 證明函數(shù)y=sin x和y=cos x都是周期函數(shù). 答案 ∵sin(x+2π)=sin x,cos(x+2π)=cos x, ∴y=sin x和y=cos x都是周期函數(shù),且2π就是它們的一個(gè)周期. 思考2 證明函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(或

3、f(x)=Acos(ωx+φ))(Aω≠0)是周期函數(shù). 答案 由誘導(dǎo)公式一知,對(duì)任意x∈R, 都有Asin[(ωx+φ)+2π]=Asin(ωx+φ), 所以Asin=Asin(ωx+φ), 即f=f(x), 所以f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)是周期函數(shù),就是它的一個(gè)周期. 同理,函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)也是周期函數(shù). 梳理 由sin(x+2kπ)=sin_x,cos(x+2kπ)=cos_x(k∈Z)知,y=sin x與y=cos x都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期,且它們的最小正周期都是2π. 知識(shí)點(diǎn)三 正弦函數(shù)、余弦

4、函數(shù)的奇偶性 思考 對(duì)于x∈R,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,這說(shuō)明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)? 答案  奇偶性. 梳理 (1)對(duì)于y=sin x,x∈R,恒有sin(-x)=-sin x,所以正弦函數(shù)y=sin x是奇函數(shù),正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). (2)對(duì)于y=cos x,x∈R,恒有cos(-x)=cos x,所以余弦函數(shù)y=cos x是偶函數(shù),余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). 1.函數(shù)f(x)=x2滿(mǎn)足f(-3+6)=f(-3),所以f(x)=x2是以6為周期的周期函數(shù).( × ) 提示 周期函數(shù)需滿(mǎn)足對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)值x,都有f(x+T)=f(x

5、),對(duì)于f(x)=x2,f(0)=0,f(0+6)=f(6)=36,f(0)≠f(0+6),∴f(x)=x2不是以6為周期的周期函數(shù). 2.周期函數(shù)y=f(x)的定義域可以為[a,b](a,b∈R).( × ) 提示 周期函數(shù)的定義域一定為無(wú)限集,且無(wú)上下界. 3.任何周期函數(shù)都有最小正周期.( × ) 提示 常函數(shù)f(x)=c,任意一個(gè)正實(shí)數(shù)都是其周期,因而不存在最小正周期. 類(lèi)型一 三角函數(shù)的周期性 例1 求下列函數(shù)的最小正周期. (1)y=sin(x∈R); (2)y=|sin x|(x∈R). 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性

6、 解 (1)方法一 令z=2x+,因?yàn)閤∈R,所以z∈R. 函數(shù)f(x)=sin z的最小正周期是2π, 即變量z只要且至少要增加到z+2π, 函數(shù)f(x)=sin z(z∈R)的值才能重復(fù)取得. 而z+2π=2x++2π=2(x+π)+,所以自變量x只要且至少要增加到x+π,函數(shù)值才能重復(fù)取得,所以函數(shù)f(x)=sin(x∈R)的最小正周期是π. 方法二 f(x)=sin的最小正周期為=π. (2)因?yàn)閥=|sin x|=(k∈Z). 其圖象如圖所示, 所以該函數(shù)的最小正周期為π. 反思與感悟 對(duì)于形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ),Aω≠0時(shí)的最小正周期的求法常直接利用

7、T=來(lái)求解,對(duì)于y=|Asin ωx|的周期情況常結(jié)合圖象法來(lái)求解. 跟蹤訓(xùn)練1 (2017·大同檢測(cè))下列函數(shù)是以π為周期的函數(shù)是(  ) A.y=sin x B.y=sin x+2 C.y=cos 2x+2 D.y=cos 3x-1 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 C 解析 y=sin x及y=sin x+2的周期為2π,y=cos 2x+2的周期為π,y=cos 3x-1的周期為. 類(lèi)型二 三角函數(shù)的奇偶性 例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=cos+x2sin x; (2)f(x)=+. 考點(diǎn) 正弦

8、函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 解 (1)f(x)=sin 2x+x2sin x, ∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x) =-sin 2x-x2sin x=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). (2)由得cos x=. ∴f(x)=0,x=2kπ±,k∈Z. ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 反思與感悟 判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 關(guān)鍵點(diǎn)一:看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng); 關(guān)鍵點(diǎn)二:看f(x)與f(-x)的關(guān)系. 對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷,有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷. 跟蹤訓(xùn)練2 若函數(shù)

9、y=cos(ωx+φ)是奇函數(shù),則(  ) A.ω=0 B.φ=kπ(k∈Z) C.ω=kπ(k∈Z) D.φ=kπ+(k∈Z) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案 D 解析 由函數(shù)y=cos(ωx+φ)是奇函數(shù), 可知y=cos(ωx+φ)=sin ωx或y=cos(ωx+φ)=-sin ωx, 由誘導(dǎo)公式,得φ=kπ+(k∈Z). 類(lèi)型三 三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用 例3 定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sin x,求f的值. 考點(diǎn) 正弦

10、函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解 ∵f(x)的最小正周期是π, ∴f=f=f. 又∵f(x)是R上的偶函數(shù), ∴f=f=sin =. ∴f=. 例4 已知函數(shù)f(x)=cosx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)的值. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解 ∵f(1)=cos=,f(2)=cos=-,f(3)=cos π=-1,f(4)=cos=-,f(5)=cos=,f(6)=cos 2π=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. 同理,可得每連續(xù)六項(xiàng)的

11、和均為0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020) =f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020) =cos+cos+cos+cos =cos+cos+cos π+cos =++(-1)+=-. 反思與感悟 當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí),可以首先研究它在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況,再給予推廣求值. 跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)函數(shù)f(x)=sin x,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 答案  解析 ∵f(x)=sin x的周期T==

12、6, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018) =336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 017)+f(2 018) =336 +f(336×6+1)+f(336×6+2) =336×0+f(1)+f(2) =sin +sin π=. 1.(2017·金華十校期末)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),則f(x)的奇偶性(  ) A.與ω有關(guān),且與φ有關(guān) B.與ω有關(guān),但與φ無(wú)關(guān) C.與ω?zé)o關(guān),且與φ無(wú)關(guān) D.與ω?zé)o關(guān),但與φ有關(guān) 考點(diǎn) 正弦函

13、數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案 D 解析 因?yàn)楫?dāng)φ=kπ,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)=±cos ωx,為偶函數(shù); 當(dāng)φ=+kπ,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ) =±sin ωx,為奇函數(shù). 所以f(x)的奇偶性與ω?zé)o關(guān),但與φ有關(guān). 2.設(shè)函數(shù)f(x)=sin,x∈R,則f(x)是(  ) A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù) C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案 B 解析 ∵sin=-

14、sin=-cos 2x, ∴f(x)=-cos 2x. 又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), ∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù). 3.函數(shù)y=sin的最小正周期為2,則ω的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 ±π 解析 T==2,∴|ω|=π,∴ω=±π. 4.函數(shù)f(x)是周期函數(shù),10是f(x)的一個(gè)周期,且f(2)=,則f(22)=________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案  解析 f(22)=f(22-20)=f(2)=.

15、 5.(2017·廣州六中期末)已知函數(shù)f(x)=ax+bsin x+1,若f(2 018)=7,則f(-2 018)=________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案?。? 解析 由f(2 018)=2 018a+bsin 2 018+1=7, 得2 018a+bsin 2 018=6, ∴f(-2 018)=-2 018a-bsin 2 018+1 =-(2 018a+bsin 2 018)+1=-6+1=-5. 1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法 (1)定義法,即觀察出周期,再用定義來(lái)驗(yàn)證;也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)

16、推出使f(x+T)=f(x)成立的T. (2)圖象法,即作出y=f(x)的圖象,觀察圖象可求出T,如y=|sin x|. (3)結(jié)論法,一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=. 2.判斷函數(shù)的奇偶性,必須堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則,準(zhǔn)確求函數(shù)定義域和將式子合理變形是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再看f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而判斷奇偶性. 一、選擇題 1.下列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分,其中不是周期函數(shù)的是(  ) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案

17、 D 解析 對(duì)于D,x∈(-1,1)時(shí)的圖象與其他區(qū)間圖象不同,不是周期函數(shù). 2.下列函數(shù)中,周期為2π的是(  ) A.y=sin B.y=sin 2x C.y= D.y=|sin 2x| 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 C 解析 y=sin 的周期為T(mén)==4π; y=sin 2π的周期為T(mén)==π; y=的周期為T(mén)=2π; y=|sin 2x|的周期為T(mén)=. 故選C. 3.函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為,其中ω>0,則ω等于(  ) A.5 B.10 C.15 D.20 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周

18、期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 B 4.函數(shù)f(x)=3sin是(  ) A.周期為3π的偶函數(shù) B.周期為2π的偶函數(shù) C.周期為3π的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 A 5.下列函數(shù)中是奇函數(shù),且最小正周期是π的函數(shù)是(  ) A.y=cos|2x| B.y=|sin x| C.y=sin D.y=cos 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 D 解析 y=cos|2x|是偶函數(shù),y=|sin x|是偶函數(shù),y=sin=cos 2

19、x是偶函數(shù),y=cos=-sin 2x是奇函數(shù),根據(jù)公式求得其最小正周期T=π. 6.函數(shù)y=的奇偶性為(  ) A.奇函數(shù) B.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) C.偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù) 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案 D 解析 由題意知,當(dāng)1-sin x≠0, 即sin x≠1時(shí), y==|sin x|, 所以函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), 所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 7.(2017·廣州檢測(cè))如果函數(shù)f(x)=cos(ω>0)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為,則ω的值為(  ) A.3 B.6 C.12

20、 D.24 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 B 解析 函數(shù)f(x)=cos(ω>0)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為,所以T=2×=,又=,解得ω=6. 二、填空題 8.函數(shù)f(x)=cos的周期是________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 6 解析 T===6. 9.(2017·海南國(guó)興中學(xué)期末)函數(shù)y=+2的最小正周期是________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案  解析 ∵函數(shù)y=sin 2x的最小正周期T=π, ∴函數(shù)y

21、=+2的最小正周期是. 10.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,最小正周期為,且滿(mǎn)足f(x)=則f=________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案  解析 f=f =f=sin =. 11.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2,則f(99)=________. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案  解析 因?yàn)閒(x)·f(x+2)=13, 所以f(x+2)=,f(x+4)==f(x), 所以f(x)是以4為周期的函數(shù). 所以f(99)=f(24×4+3

22、)=f(3)==. 三、解答題 12.判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=sin; (2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); (3)f(x)=. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 解 (1)顯然x∈R,f(x)=cos x, ∵f(-x)=cos =cos x=f(x), ∴f(x)是偶函數(shù). (2)由得-1

23、n(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)為奇函數(shù). (3)∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, ∴x∈R且x≠2kπ-,k∈Z. ∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), ∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 13.已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù),且當(dāng)x∈時(shí),f(x)=1-sin x,求當(dāng)x∈時(shí),f(x)的解析式. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 解 當(dāng)x∈時(shí),3π-x∈, ∵當(dāng)x∈時(shí),f(x)=1-sin x, ∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x. 又∵f(x)是以π為周期的偶函數(shù)

24、, ∴f(3π-x)=f(-x)=f(x), ∴f(x)的解析式為f(x)=1-sin x,x∈. 四、探究與拓展 14.若函數(shù)f(x)=2cos的最小正周期為T(mén),且T∈(1,4),則正整數(shù)ω的最大值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案 6 解析 ∵T=,1<<4,ω>0,則<ω<2π. ∴正整數(shù)ω的最大值為6. 15.欲使函數(shù)y=Asin ωx(A>0,ω>0)在閉區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50個(gè)最小值,求ω的最小值. 考點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點(diǎn) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 解 函數(shù)y=Asin ωx的最小正周期為,因?yàn)樵诿恳粋€(gè)周期內(nèi),函數(shù)y=Asin ωx(A>0,ω>0)都只有一個(gè)最小值,要使函數(shù)y=Asin ωx在閉區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50個(gè)最小值,則y在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少含49個(gè)周期, 即解得ω≥, 所以ω的最小值為. 13

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