6、且α∈，則tan α＝( )
A. B. C．－ D．±
【解析】 因為cos＝，所以sin α＝－，顯然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.
【答案】 B
角度三 知切求弦
若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C．1 D.
【解析】 法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或則sin 2α＝2sin αcos α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
法二：cos2α＋2sin 2α
7、＝＝＝＝.
【答案】 A
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧
(1)知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求解．
(2)知弦求切：常通過平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1及商數(shù)關(guān)系tan α＝結(jié)合誘導(dǎo)公式進行求解．
(3)知切求弦：通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方關(guān)系求解．若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝
＝.
1．已知sin
8、 α＋cos α＝，那么角α的終邊在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第二或第四象限
解析：選D.因為sin α＋cos α＝，
所以兩邊平方得1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－，
所以sin αcos α<0，驗證可知，角α是第二或第四象限角，故選D.
2．已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________．
解析：因為α是第二象限的角，
所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－，
得cos α＝－2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1中，
得5sin2α＝1，所以sin α＝，
9、cos α＝－.
答案：－
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．
(2)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，則等于________．
(3)已知cos(－α)＝，則sin(α－)＝________．
【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
10、
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
(2)因為方程3x2－x－2＝0的根為x1＝1，x2＝－，
由題知cos α＝－，
所以sin α＝－，tan α＝.
所以原式＝＝tan2α＝.
(3)因為＋＝－，所以α－＝－－，所以sin＝sin
＝－cos＝－.
【答案】 (1)1 (2) (3)－
(1)誘導(dǎo)公式用法的一般思路
①化大角為小角
11、．
②角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍．
(2)常見的互余和互補的角
①常見的互余的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．
②常見的互補的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等．
(3)三角函數(shù)式化簡的方向
①切化弦，統(tǒng)一名．
②用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
③用因式分解將式子變形，化為最簡．
1．若sin(＋α)＝－，且α∈(，π)，則sin(π－2α)＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選D.由sin(＋α)＝cos α＝－，且α∈(，π)，得sin α＝，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－，
12、選項D正確．
2．已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則＝________．
解析：由題意可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
答案：
3．(2020·寧波高三模擬)已知cos(π＋α)＝－，求(n∈Z)．
解：因為cos(π＋α)＝－，
所以－cos α＝－，cos α＝.
＝
＝＝＝－＝－4.
[基礎(chǔ)題組練]
1．計算：sin π＋cos π＝( )
A．－1 B．1
C．0 D.－
解析：選A.原式＝sin＋cos
＝－sin ＋cos＝－－cos
＝－－＝－1.
2．已知tan(α－π
13、)＝，且α∈，則sin＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：選B.由tan(α－π)＝?tan α＝.
又因為α∈，所以cos α＝－，
所以α為第三象限的角，sin＝cos α＝－.
3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：選D.因為sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.
因為|θ|<，所以θ＝.
4．已知sin(3π－α)＝－2sin(＋α)，則sin αcos α等于( )
A．－ B.
14、C.或－ D．－
解析：選A.因為sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，
當α在第二象限時，，
所以sin αcos α＝－；
當α在第四象限時，，
所以sin αcos α＝－，
綜上，sin αcos α＝－，故選A.
5．已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值為( )
A．－ B．－
C. D.
解析：選D.依題意得＝5，所以tan α＝2.
所以sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，則tan α的值為( )
A
15、.或 B．－或－
C.或－ D．－或不存在
解析：選D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，當cos α＝0時，tan α的值不存在，當cos α＝－時，sin α＝－3cos α－1＝，tan α＝＝－，故選D.
7．化簡＋＝________．
解析：原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．已知sin＝，則cos＝________．
解析：cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
答案：
16、－
9．已知θ為第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，則tan θ＝________．
解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
答案：－
10．(2020·杭州市富陽二中高三質(zhì)檢)若3sin α＋cos α＝，則tan α的值為________；的值為________．
解析：由3sin α＋cos α＝，得到cos α＝－3sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋(－3sin α)2＝1，
得1
17、0sin2α－6sin α＋9＝0，即(sin α－3)2＝0，
解得sin α＝，cos α＝，
則tan α＝＝3；
＝
＝＝＝.
答案：3
11．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解：因為cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α
＝－，所以cos α＝.
所以sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
12．已知α為第三象限角，
f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值
18、．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因為cos(α－)＝，
所以－sin α＝，
從而sin α＝－.
又α為第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
[綜合題組練]
1．(2020·臺州市高三期末評估)已知cos α＝1，則sin＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選C.因為cos α＝1?α＝2kπ，所以sin＝sin＝sin＝－sin ＝－，故選C.
2．(2020·金華十校聯(lián)考)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為( )
A．－ B.
19、
C．－ D.
解析：選B.因為<α<，
所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，
所以cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝.
3．sin π·cos π·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
4．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，則cos α＝________．
解析：因為sin α＝2sin β，①
tan α＝3tan β，
tan2α＝9tan2
20、β.②
由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③
由①2＋③得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
所以cos α＝±.
答案：±
5．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化簡f(x)的表達式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)當n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；
當n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．
綜上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得
f＋f＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
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（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 2 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案
