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第六講圖形面積 簡單的面積計算是小學數(shù)學的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算. 　　上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 44＝ 16（格）；右圖是 35的長方形，它的面積是 35＝ 15（格）. 　　上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 542＝ 10（格）；右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是442＝8（格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面. 　　上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5 3＝ 15（格）；右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是 　?。?+7）42＝22（格）. 　　上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應的長度單位和面積單位. 6.1 三角形的面積 　　用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是： 　　三角形面積= 底高2. 　　這個公式是許多面積計算的基礎.因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用. 　　例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？ 　　解：三角形ABD與三角形ADC的高相同. 　　三角形ABD面積=4高2. 　　三角形 ADC面積=2高2. 　　因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應的三條高. 　　例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積. 　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8. 　　三角形 ABC面積= 8 42＝16. 　　我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半. 　　 　　三角形 DFE面積= 164＝4. 　　例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積. 　　解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長. 　　而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是 　　FEBE2， 　　它恰好是長方形ABEF面積的一半. 　　同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半. 　　因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是 　　20122＝120. 　　通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的的一半. 　　例4 右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？ 　　解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC. 　　對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此 　　面積=4102＝ 20. 　　對三角形 ADC來說， DC是底邊，高是 8，因此 　　面積=782＝28. 　　四邊形 ABCD面積= 20＋ 28＝ 48. 　　這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面. 　　例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面積. 　　解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積 　　三角形 ABE面積=362＝ 9. 　　三角形 BCF面積= 6（6-2）2＝ 12. 　　三角形 DEF面積=2（6-3）2＝ 3. 　　我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出： 　　三角形 BEF面積=66-9-12-3＝12. 　　例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積. 　　解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積. 　　把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 722＝7. 　　因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 72＝3.5. 　　因為 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是 　　3.54＝14. 　　長方形 ABCD面積=7（8＋2）=70. 　　四邊形 ABMD面積=70-7- 14＝ 49. 6.2 有關正方形的問題 　　先從等腰直角三角形講起. 　　一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角（90度），還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形. 　　兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（a）.四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）. 　　一個等腰直角三角形，當知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是 　　直角邊長的平方2. 　　當知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是 　　斜邊的平方4 　　例7 右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積. 　　解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是882＝32. 　　這一個圖形的面積是 　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63. 　　例8 如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？ 　　解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母 D，E，F(xiàn)，G. 　　三角形ABC的面積=222＝2. 　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形. 　　三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積2＝4. 　　三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積2＝1. 　　陰影部分的總面積是 4＋1＝5. 　　例9 如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD＝7，BC＝3，三個角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45.求這個四邊形的面積. 　　解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE. 　　因為 　　A是45，角D是90，角E是 　　180-45-90＝ 45， 　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形. 　　四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即 　　772-332＝20. 　　這是1994小學數(shù)學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學上找出根據(jù)，小學同學尚未學過幾何，千萬不要隨便對圖形下結論.我們應該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角，你應首先考慮等腰直角三角形. 　　現(xiàn)在我們轉向正方形的問題. 　　例10 在右圖 1115的長方形內(nèi)，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？ 　　解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和. 　　長-寬 =15-11＝4 　　是“三”正方形的邊長. 　　寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此 　　中間小正方形邊長=11-42＝3. 　　中間小正方形面積=33＝ 9. 　　如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了. 　　例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積. 　　解：剩下的長方形土地，我們已知道 　　長-寬=1（米）. 　　還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？ 　　如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了. 　　我們把長和寬拼在一起，如右圖. 　　從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和. 　　可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米. 　　現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積： 　　15.754+11＝ 64（平方米）. 　　64是88，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的 　　長+寬=8（米）. 　　因此 　　長=（8＋1）2＝ 4.5（米）. 　　寬=8-4.5＝3.5（米）. 　　那么劃出的長方形面積是 　　4.51＝4. 5（平方米）. 　　例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積. 　　解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此 　　四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）大正方形邊長2 　　三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+大正方形邊長），因此 　　三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）大正方形邊長2. 　　四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有 　　陰影部分面積=三角形ECG面積 　　=小正方形面積的一半 　　= 662＝18. 　　十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關，而與大正方形邊長卻沒有關系. 6.3 其他的面積 　　這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會. 　　例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積. 　　解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算. 　　周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是 　　44-3-5-1.5＝6.5. 　　例6與本題在解題思路上是完全類同的. 　　例14 下圖中 ABCD是 68的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積. 　　解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此 　　三角形AEF面積＝（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積） 　?。?62-482 　　＝ 8. 　　　這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路. 　　例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？ 　 　　解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 102的長方形面積相等. 　　可以設想，把這個平行四邊形換成 102的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此 　　草地面積=（16-2）（10-2）＝ 112. 　　例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積. 　　解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積. 　　陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于 　　梯形 ABCD面積=（8＋8-3）52＝ 32.5. 　　上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領，首先要提高對圖形的觀察能力. 　　例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個圖形的面積. 　　解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的. 　　三角形ABC面積=（3＋3＋3）42＝18. 　　三角形CDE面積=（4＋4） 32＝12. 　　這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出. 　　因為 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三個面積相等的三角形. 　　因為CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形. 　　2三角形DEC面積 　　= 22（三角形 GBC面積）＋2（三角形 GCE面積）. 　　三角形ABC面積 　　= （三角形 GBC面積）＋3（三角形GCE面積）. 　　四邊形BCEG面積 　　=（三角形GBC面積）＋（三角形GCE面積） 　　=（212＋18）5 　　＝8.4. 　　所求圖形面積=12＋ 18- 8.4＝21.6. 　　例18 如下頁左圖，ABCG是47長方形，DEFG是 210長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差. 　　解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和. 　?。ㄈ切蜝CM面積）-（三角形DEM面積） 　　=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和 　　=（7＋10）（4＋2）2-（47 ＋ 210） 　　=3. 　　例19 上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？ 解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此 　　（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）＋（13＋49＋35） 　?。剑ㄩL方形面積）＋（陰影部分面積）. 　　三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬；三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有 　　陰影部分面積=13 ＋ 49＋ 35＝ 97. 6.4 幾種常見模型 一、等積模型 ①等底等高的兩個三角形面積相等； ②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如右圖 ③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖； 反之，如果，則可知直線平行于． ④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； ⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比． 二、鳥頭定理 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在中，分別是上的點如圖 ⑴(或在的延長線上，在上)， 則 圖⑴ 圖⑵ 三、蝶形定理 任意四邊形中的比例關系(“蝶形定理”)： ①或者② 蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系． 梯形中比例關系(“梯形蝶形定理”)： ① ②； ③的對應份數(shù)為． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下： ⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比； ⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方； ⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線． 三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半． 相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具． 在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形． 五、共邊定理（燕尾模型和風箏模型） 在三角形中，，，相交于同一點，那么． 上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.