第6講　離散型隨機(jī)變量及其分布列 1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念 (1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì) (1)概念：一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②pi＝1． 3．兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)稱(chēng)為成功概率. [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)．(　　) (2)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．(　　) (3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (4)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．(　　) (5)由下表給出的隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布．(　　) X 2 5 P 0.3 0.7 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× [教材衍化] 1．(選修2­3P77A組T1改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p＝________． 解析：由分布列的性質(zhì)知，＋＋＋＋p＝1， 所以p＝1－＝. 答案： 2．(選修2­3P49A組T1改編)有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________． 解析：因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0，1，2，3. 答案：0，1，2，3 3．(選修2­3P49A組T5改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝________． 解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4) ＝＋＝. 答案： [易錯(cuò)糾偏] 隨機(jī)變量的概念不清. 袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是(　　) A．至少取到1個(gè)白球　　　 B．至多取到1個(gè)白球 C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù) 解析：選C.A，B兩項(xiàng)表述的都是隨機(jī)事件，D項(xiàng)是確定的值2，并不隨機(jī)；C項(xiàng)是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2.故選C. 　　　　　　離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 【解】　由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. (1)2X＋1的分布列為 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列為 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (變問(wèn)法)在本例條件下，求P(1<X≤4)． 解：由本例知，m＝0.3， P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝ 0．1＋0.3＋0.3＝0.7. 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用 (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)值； (2)若X為隨機(jī)變量，則2X＋1仍然為隨機(jī)變量，求其分布列時(shí)可先求出相應(yīng)的隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的概率寫(xiě)出分布列．　 1．設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，則n的值為(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．4 C．10 D．不確定 解析：選C.“X＜4”的含義為X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝＝0.3，所以n＝10. 2．隨機(jī)變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，所以b＝， 所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤. 答案：　 　　　　　　離散型隨機(jī)變量的分布列(高頻考點(diǎn)) 離散型隨機(jī)變量的分布列是高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．主要命題角度有： (1)用頻率代替概率的離散型隨機(jī)變量的分布列； (2)古典概型的離散型隨機(jī)變量的分布列； (3)與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)的分布列的求法．(下一講內(nèi)容) 角度一　用頻率代替概率的離散型隨機(jī)變量的分布列 某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷(xiāo)售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷(xiāo)結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率． (1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； (2)記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列． 【解】　(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨) ＝P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為1件)＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2，3. P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的分布列為 X 2 3 P 角度二　古典概型的離散型隨機(jī)變量的分布列 (2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個(gè)盒子里裝有大小均勻的6個(gè)小球，其中有紅色球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色球2個(gè)，編號(hào)分別為4，5，從盒子中任取3個(gè)小球(假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同)． (1)求取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率； (2)在取出的3個(gè)小球中，小球編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列． 【解】　(1)“設(shè)取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球”為事件A， P(A)＝＝，所以取出的3個(gè)小球中，含有編號(hào)為4的小球的概率為. (2)X的可能取值為3，4，5. P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝，所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 3 4 5 P 離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟 (1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義．　 (2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類(lèi)型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率． (3)畫(huà)表格：按規(guī)范要求形式寫(xiě)出分布列． (4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確． [提醒]　求隨機(jī)變量某一范圍內(nèi)取值的概率，要注意它在這個(gè)范圍內(nèi)的概率等于這個(gè)范圍內(nèi)各概率值的和． 　某校校慶，各屆校友紛至沓來(lái)，某班共來(lái)了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱(chēng)為“最佳組合”． (1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值； (2)當(dāng)n＝12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求X的分布列． 解：(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為＝， 則≥， 化簡(jiǎn)得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16， 故n的最大值為16. (2)由題意得，X的可能取值為0，1，2， 則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， X的分布列為 X 0 1 2 P [基礎(chǔ)題組練] 1．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C.設(shè)X的分布列為 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功．由p＋2p＝1，得p＝，故應(yīng)選C. 2．設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為 Y －1 2 3 P m 則“≤Y≤”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.依題意知，＋m＋＝1，則m＝. 故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1，2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由分布列的性質(zhì)，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝. 4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 1－2q q 則P(∈Z)＝(　　) A．0.9　　　　　　　　　 B．0.8 C．0.7 D．0.6 解析：選A.由分布列性質(zhì)得0.5＋1－2q＋q＝1，解得 q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故選A. 5．拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X≤4)＝________． 解析：拋擲2顆骰子有36個(gè)基本事件， 其中X＝2對(duì)應(yīng)(1，1)；X＝3對(duì)應(yīng)(1，2)，(2，1)；X＝4對(duì)應(yīng)(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 答案： 6．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________． 解析：設(shè)ξ取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝， 由得－≤d≤. 答案： 7．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________． 解析：由分布列的性質(zhì)知， 解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝. 答案：　 8．在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為_(kāi)_______． 解析：X的所有可能值為0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 答案： X 0 1 2 P 9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次． (1)寫(xiě)出正面向上次數(shù)X的分布列； (2)求至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率． 解：(1)X的可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率為 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 10．(2020·臺(tái)州高三質(zhì)檢)在一次購(gòu)物活動(dòng)中，假設(shè)每10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲得價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲得價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)．某顧客從這10張券中任取2張． (1)求該顧客中獎(jiǎng)的概率； (2)求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X(元)的分布列． 解：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0，10，20，50，60，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝， P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故X的分布列為 X 0 10 20 50 60 P [綜合題組練] 1．(2020·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)一個(gè)袋子裝有大小形狀完全相同的9個(gè)球，其中5個(gè)紅球編號(hào)分別為1，2，3，4，5；4個(gè)白球編號(hào)分別為1，2，3，4，從袋中任意取出3個(gè)球． (1)求取出的3個(gè)球編號(hào)都不相同的概率； (2)記X為取出的3個(gè)球中編號(hào)的最小值，求X的分布列． 解：(1)設(shè)“取出的3個(gè)球編號(hào)都不相同”為事件A，“取出的3個(gè)球中恰有兩個(gè)球編號(hào)相同”為事件B，則P(B)＝＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝. (2)X的取值為1，2，3，4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 4 P 2.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)腁1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)． (1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率； (2)求X的分布列． 解：(1)從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有C＝28(種)，當(dāng)X＝0時(shí)，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X＝0)＝＝. (2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為－2，－1，0，1，X＝－2時(shí)，有2種情形；X＝1時(shí)，有8種情形；X＝－1時(shí)，有10種情形．所以X的分布列為 X －2 －1 0 1 P 3.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球?yàn)橹?，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是相等的，用X表示終止時(shí)所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)； (2)求隨機(jī)變量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球， 由題意知＝＝＝， 所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)． 即袋中原有3個(gè)白球． (2)由題意知X的可能取值為1，2，3，4，5. P(X＝1)＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以取球次數(shù)X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P (3)因?yàn)榧紫热。约字豢赡茉诘?次、第3次和第5次取球． 設(shè)“甲取到白球”的事件為A， 則P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)． 因?yàn)槭录癤＝1”“X＝3”“X＝5”兩兩互斥， 所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 12