高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)40 橢圓（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1. （xx·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考文科·Ｔ5）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，，，則的離心率為（ ） A. B. C. D. 【解題指南】利用已知條件解直角三角形，將用半焦距c表示出來，然后借助橢圓的定義，可得a,c的關(guān)系，從而得離心率. 【解析】選D. 因?yàn)? 所以。 又，所以， 即橢圓的離心率為，選D. 2.(xx·大綱版全國(guó)卷高考理科·T8)橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】將代入到中,得到與之間的關(guān)系,利用為定值求解的取值范圍. 【解析】選B.設(shè)，則，， ，故.因?yàn)?所以 3. （xx·大綱版全國(guó)卷高考文科·Ｔ8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2且垂直于x軸的直線交于A,B兩點(diǎn),且=3,則C的方程為　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】由過橢圓的焦點(diǎn)且垂直軸的通徑為求解. 【解析】選C.設(shè)橢圓得方程為，由題意知，又，解得或（舍去），而，故橢圓得方程為. 4. （xx·四川高考文科·Ｔ9）從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，解題時(shí)要注意兩個(gè)條件的應(yīng)用，一是與軸垂直，二是 【解析】選C，根據(jù)題意可知點(diǎn)P，代入橢圓的方程可得，根據(jù)，可知，即，解得，即，解得，故選C. 5. （xx·廣東高考文科·Ｔ9）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則C的方程是（ ） A． B． C． D． 【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì)，用好的關(guān)系即可. 【解析】選D.設(shè)C的方程為，則，C的方程是. 6. （xx·遼寧高考文科·Ｔ11）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】 由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性）求出點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而求得 【解析】選B.在三角形中，由余弦定理得 ,又 解得在三角形中，，故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形為矩形， 則其對(duì)角線且，即焦距 又據(jù)橢圓的定義，得，所以.故離心率 二、填空題 7.(xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T12) 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 【解題指南】利用構(gòu)建參數(shù)a,b,c的關(guān)系式. 【解析】由原點(diǎn)到直線的距離為得，因到的距離為故，又所以又解得 【答案】. 8.（xx·上海高考文科·T12）與（xx·上海高考理科·T9）相同 設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 . 【解析】 如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系. 【答案】 . 9.(xx·福建高考文科·T15) 與（xx·福建高考理科·Ｔ14）相同 橢圓Γ: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于　　　　　　　. 【解題指南】,而2c是焦距,2a是定義中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點(diǎn)三角形(由曲線上一點(diǎn)連接兩個(gè)焦點(diǎn)而成),求解離心率,一般會(huì)選用這種定義法: . 【解析】∠MF1F2是直線的傾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=,所以. 【答案】 . 10. （xx·遼寧高考理科·Ｔ15）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，連接若，則的離心率 【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性）求出點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而求得. 【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，，故三角形為直角三角形。 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形為矩形，則其對(duì)角線且，即焦距 又據(jù)橢圓的定義，得，所以. 故離心率 【答案】. 三、解答題 11. （xx·陜西高考文科·Ｔ20） 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率. 【解題指南】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程即可；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與的關(guān)系式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率. 【解析】(1) 點(diǎn)M(x,y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍，則. 所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為. (2) P(0, 3), 設(shè)， 橢圓經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過這2點(diǎn)，即直線m斜率k存在。.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得： 所以，直線m的斜率. 12. （xx·四川高考理科·Ｔ20） 已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程． 【解題指南】（1）關(guān)注橢圓的定義，利用定義求出，再求出離心率；（2）首先確定橢圓的方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知，找到點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系. 【解析】(1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2, 所以a=,又由已知,c=1, 所以橢圓的離心率e===. (2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1, 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y). (ⅰ) 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,2?). (ⅱ) 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2,因?yàn)镸,N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為則 |AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2, 由=+,得=+, 即=+=, ① 將y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. ② 由D=(8k)2?4(2k2+1)´6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=,x1x2=, 代入①并化簡(jiǎn)得x2=. ③ 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上, 所以k=, 代入③并化簡(jiǎn),得10(y?2)2?3x2=18. 由③及k2>,可知0<x2<,即xÎ(?,0)∪(0,). 又(0,2?)滿足10(y?2)2?3x2=18, 故xÎ(?,). 由題意,Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以?1£y£1, 又由10(y?2)2=3x2+18有(y?2)2Î[,)且?1£y£1, 則yÎ(,2?].所以,點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y?2)2?3x2=18,其中xÎ(?,), yÎ(,2?].