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1、高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理
1.(xx?江蘇高考)已知矩陣A=,B=,求矩陣A-1B.
解:設(shè)矩陣A的逆矩陣為,
則=,
即=,故a=-1,b=0,c=0,d=,
從而A的逆矩陣為A-1=,
所以A-1B==.
2.(xx?福建高考理)
已知直線l:ax+y=1在矩陣A=對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′:x+by=1.
①求實(shí)數(shù)a,b的值;
②若點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,且A=,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)本小題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
①設(shè)直線l:ax+y=1上任意點(diǎn)M(x,y)在矩A對應(yīng)的
2、變換作用下的像是M′(x′,y′).
由==,得
又點(diǎn)M′(x′,y′)在l′上,所以x′+by′=1,
即x+(b+2)y=1,
依題意得解得
②由A=,得解得y0=0.
又點(diǎn)P(x0,y0)在直線l上,所以x0=1.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0).
3.(xx?江蘇高考)
已知矩陣A的逆矩陣A-1=,求矩陣A的特征值.
解:因?yàn)锳-1A=E,所以A=(A-1)-1.
因?yàn)锳-1=,所以A=(A-1)-1=,于是矩陣A的特征多項(xiàng)式為
f(λ)==λ2-3λ-4.
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.
4.(xx?福建高考理)
設(shè)曲線2x2+2xy+y
3、2=1在矩陣A=(a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)求A2的逆矩陣.
解:(1)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任意點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的象是P′(x′,y′).
由==,得
又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,
整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.
依題意得解得或
因?yàn)閍>0,所以
(2)由(1)知,A=,
A2==,
所以|A2|=1,(A2)-1=.
5.(2011?福建高考理)
設(shè)矩陣M=(其中a>0,b>0).
4、(Ⅰ)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(Ⅱ)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a,b的值.
解:(Ⅰ)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=,
則MM-1=.
又M,所以=,
所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即x1=,y1=0,x2=0,y2=,故所求的逆矩陣M-1=.
(Ⅱ)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′),
則=,即
又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C′上,所以+y′2=1,
則+b2y2=1為曲線C的方程.
又已知曲線C的方程為x2+y2=1,故
又a>0,b>0,所以
6.(2011?江蘇高考)
已知矩陣A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β.
解:A2==.
設(shè)α=.由A2α=β,得=,
從而
解得x=-1,y=2,所以α=.