《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 新人教B版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第8節(jié)　曲線與方程 最新考綱　1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系；2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究曲線的簡單性質(zhì)；3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 知 識 梳 理 1.曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系： 那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線. 2.求動點的軌跡方程的基本步驟 [常用結(jié)論與微點提醒] 1.“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件. 2.曲線的交點與

2、方程組的關(guān)系： (1)兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解； (2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件.(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點和一條直線.(　　) (3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的.(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線.(　　) 解析　對于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示兩

3、條直線，錯誤；對于(3)，前者表示方程，后者表示曲線，錯誤；對于(4)，曲線y＝是曲線x＝y(tǒng)2的一部分，錯誤. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，則動點P的軌跡是(　　) A.雙曲線 B.雙曲線左支 C.一條射線 D.雙曲線右支 解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點，沿x軸正向的一條射線. 答案　C 3.(2018·廣州調(diào)研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲線是(　　) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線

4、解析　原方程可化為或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線. 答案　D 4.已知A(－2，0)，B(1，0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足∠APO＝∠BPO，其中O為原點，則P點的軌跡方程是(　　) A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0) C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0) 解析　由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|＝2|PB|，設(shè)P(x，y)，則＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故選C. 答案　C 5.過橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點M

5、作x軸的垂線，垂足為N，則線段MN中點的軌跡方程是________. 解析　設(shè)MN的中點為P(x，y)， 則點M(x，2y)在橢圓上，∴＋＝1， 即＋＝1(a>b>0). 答案　＋＝1(a>b>0) 考點一　直接法求軌跡方程 【例1】 (1)(2018·豫北名校聯(lián)考)已知△ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為________. (2)(2018·大同模擬)與y軸相切并與圓C：x2＋y2－6x＝0也外切的圓的圓心的軌跡方程為________. 解析　(1)設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又∵|CD|＝3，∴＋＝9，即(x－1

6、0)2＋y2＝36，由于A，B，C三點不共線，∴點A不能落在x軸上，即y≠0，∴點A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0). (2)若動圓在y軸右側(cè)，設(shè)與y軸相切，且與圓x2＋y2－6x＝0外切的圓的圓心為P(x，y)(x>0)，則半徑長為|x|，因為圓x2＋y2－6x＝0的圓心為(3，0)，所以＝|x|＋3，則y2＝12x(x>0)， 若動圓在y軸左側(cè)，則y＝0，即圓心的軌跡方程為y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0). 答案　(1)(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　(2)y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0) 規(guī)律方法　直接法求曲線方程的關(guān)鍵點和注意點 (1)關(guān)

7、鍵點：直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性，通常將步驟簡記為建系、設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟，但最后的證明可以省略. (2)注意點：求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性. 【訓(xùn)練1】 (2018·聊城模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(1，0)，B(2，2)，若點C滿足＝＋t(－)，其中t∈R，則點C的軌跡方程是________. 解析　設(shè)C(x，y)，則由＝＋t(－)得－＝t(－)，所以＝t，即(x－1，y)＝t(1，2)，故消去t得y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 答案　2x－y－2＝0 考點二

8、　相關(guān)點(代入)法求軌跡方程 【例2】 (1)(2017·銀川模擬)動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3，0)連線的中點的軌跡方程是________. (2)(2018·武威模擬)設(shè)F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點P在y軸上運動時，點N的軌跡方程為________. 解析　(1)設(shè)中點的坐標為(x，y)，則圓上的動點A的坐標為(2x－3，2y)，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即x2＋y2－3x＋2＝0. (2)設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)

9、＝0， ∴x0＋y＝0， 由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴即 ∴－x＋＝0，即y2＝4x， 故點N的軌跡方程為y2＝4x. 答案　(1)x2＋y2－3x＋2＝0　(2)y2＝4x 規(guī)律方法　“相關(guān)點法”的基本步驟 (1)設(shè)點：設(shè)被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x0，y0). (2)求關(guān)系式：求出兩個動點坐標之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入主動點滿足的曲線方程，便可得到所求被動點的軌跡方程. 【訓(xùn)練2】 已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，點P為橢圓C上的動點，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為(　　) A.＋＝1(y≠0)

10、 B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D.x2＋＝1(y≠0) 解析　依題意知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)P(x0，y0)， G(x，y)，則由三角形重心坐標關(guān)系可得 即代入＋＝1， 得重心G的軌跡方程為＋3y2＝1(y≠0). 答案　C 考點三　定義法求軌跡方程(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程. 解　由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，

11、y)，半徑為R. 因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2). 【遷移探究1】 將本例的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動圓P與圓M、圓N都外切”，則圓心P的軌跡方程為________. 解析　由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，因為圓P與圓M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r

12、1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以點P的軌跡方程為y＝0(x<－2). 答案　y＝0(x<－2) 【遷移探究2】 把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，則圓心P的軌跡方程為________. 解析　由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由雙曲線的定義知點P的軌跡是雙曲線的右支，其方程為x2－＝1(x>1). 答案　x2－＝1(x>1) 【遷移探究3】 在本例中，若動圓P過圓N的圓心，并且與直線

13、x＝－1相切，則圓心P的軌跡方程為________. 解析　由于點P到定點N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知，點P的軌跡是以N(1，0)為焦點，以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線，故其方程為y2＝4x. 答案　y2＝4x 規(guī)律方法　定義法求曲線方程的兩種策略 (1)運用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程. (2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型，利用條件把待定系數(shù)求出來，使問題得解. 【訓(xùn)練3】 △ABC的頂點A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C

14、的軌跡方程是________. 解析　如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6， |AB|＝10. 根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點， 實軸長為6的雙曲線的右支， 方程為－＝1(x>3). 答案?。?(x>3) 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.(2018·長沙月考)若方程x2＋＝1(a是常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.任意實數(shù)a方程表示橢圓 B.存在實數(shù)a方程表示橢圓 C.任意實數(shù)a方程表示雙曲線 D.存在實數(shù)a方程表示拋物線 解析　當(dāng)a>0且

15、a≠1時，方程表示橢圓，故選B. 答案　B 2.若M，N為兩個定點，且|MN|＝6，動點P滿足·＝0，則P點的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析　以線段MN的中點為原點(0，0)，以MN所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則M(－3，0)，N(3，0). 設(shè)P(x，y)，則·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝0，即x2＋y2＝9，則P點的軌跡是以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓. 答案　A 3.已知點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線的中點的軌跡方程是(　　) A.y2＝2x B.y

16、2＝8x2 C.y＝4x2－ D.y＝4x2＋ 解析　設(shè)AP的中點坐標為(x，y)，則P(2x，2y＋1)，由點P在曲線上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－. 答案　C 4.設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為(　　) A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4 C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2 解析　如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0).連接MA，PM，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因為|PA|＝1， 所以|PM|＝＝， 即|PM|2＝2， 所以(x－1)2＋

17、y2＝2. 答案　D 5.(2018·長春模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析　∵M為AQ的垂直平分線上一點，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡是以定點C，A為焦點的橢圓. ∴a＝，∴c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴M的軌跡方程為＋＝1. 答案　D 二、填空題 6.已知點O(0，0)，A(1，2)，動點P滿足|＋|＝2，則點P的軌跡方程

18、為________. 解析　設(shè)點P的坐標為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x－1，y－2)，＋＝(2x－1，2y－2)，所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理可得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0. 答案　4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0 7.直線＋＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________. 解析　設(shè)直線＋＝1與x，y軸的交點分別為A(a，0)，B(0，2－a)，AB中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，因為a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1. 答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1) 8.在△ABC中，||＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D

19、點，且||－||＝2，則頂點A的軌跡方程為________. 解析　以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標系，E，F(xiàn)分別為兩個切點. 則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|. ∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4， ∴點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝， ∴軌跡方程為－＝1(x＞). 答案?。?(x＞) 三、解答題 9.如圖所示，動圓C1：x2＋y2＝t2，1

20、　由橢圓C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)， 由曲線的對稱性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 設(shè)點M的坐標為(x，y)， 直線AA1的方程為y＝(x＋3).① 直線A2B的方程為y＝(x－3).② 由①②得y2＝(x2－9).③ 又點A(x0，y0)在橢圓C2上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0). 因此點M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0). 10.(2018·廣州模擬)已知點C(1，0)，點A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意兩個不同的點，且滿足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點. (1)求點P的軌跡T的方程； (2)

21、試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由. 解　(1)連接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC， ∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|， 由垂徑定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2， 即|OP|2＋|CP|2＝9， 設(shè)點P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9， 化簡，得x2－x＋y2＝4. (2)存在.根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點C(1，0)的距離的點都在拋物線y2＝2px(p＞0)上，其中＝1. ∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x， 由方程組得x2

22、＋3x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0， 故取x＝1，此時y＝±2. 故滿足條件的點存在，其坐標為(1，－2)和(1，2). 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.(2018·葫蘆島調(diào)研)在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M為平面上的兩點且滿足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，則頂點C的軌跡為(　　) A.焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外) B.焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外) C.焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外) D.焦點在x軸上的拋物線(頂點除外) 解析　設(shè)C(x，y)(y≠0)，則由＋＋＝0， 即G為△ABC的重心，得G.

23、 又||＝||＝||， 即M為△ABC的外心， 所以點M在y軸上， 又∥，則有M. 所以x2＋＝4＋， 化簡得＋＝1，y≠0. 所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點). 答案　B 12.如圖，P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，且＝＋，則動點Q的軌跡方程是________. 解析　由于＝＋， 又＋＝＝2＝－2. 設(shè)Q(x，y)，則＝－＝，即P點坐標為，又P在橢圓上，則有＋＝1，即＋＝1. 答案?。? 13.(2018·安慶模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)，F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l交拋物線于A，B兩

24、點，過點B作x軸的垂線，交直線OA于點C，如圖所示. (1)求點C的軌跡M的方程； (2)直線n是拋物線不與x軸重合的切線，切點為P，軌跡M與直線n交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點F. (1)解　依題意可得，直線l的斜率存在，故設(shè)其方程為y＝kx＋，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)， 由?x2－2pkx－p2＝0?x1·x2＝－p2. 易知直線OA：y＝x＝x，直線BC：x＝x2， 由得y＝＝－， 即點C的軌跡M的方程為y＝－. (2)證明　由題意知直線n的斜率存在. 設(shè)直線n的方程為y＝k1x＋m， 由?x2－2pk1x－2pm＝0?Δ＝4p2k＋8pm. ∵直線n與拋物線相切， ∴Δ＝0?pk＋2m＝0， 可得P(pk1，－m). 又由?Q， ∵F，·＝· ＝－－mp＋pm＋＝0， ∴FP⊥FQ， ∴以PQ為直徑的圓過點F. 12