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(江蘇專用)2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第46講 線面平行與面面平行學案

上傳人:彩*** 文檔編號:105668761 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):16 大?。?85.50KB
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1、 第46講 線面平行與面面平行 考試要求 1.空間中線面平行、面面平行的判定定理、性質(zhì)定理及有關(guān)性質(zhì)(B級要求);2.運用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題(B級要求). 診 斷 自 測 1.(必修2P41練習2改編)若直線a∥b,且b?平面α,則直線a與平面α的位置關(guān)系為________. 答案 a∥平面α或a?平面α 2.(教材改編)下列命題中不正確的有________(填序號). ①若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面; ②若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行; ③平行于同一條直線的兩個平面

2、平行; ④若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α. 解析?、僦衋可以在過b的平面內(nèi);②中a與α內(nèi)的直線可能異面;③中兩平面可相交;④中由直線與平面平行的判定定理知b∥α,正確. 答案?、佗冖? 3.設(shè)l,m為直線,α,β為平面,且l?α,m?β,則“l(fā)∩m=?”是“α∥β”的________條件. 解析 當平面與平面平行時,兩個平面內(nèi)的直線沒有交點,故“l(fā)∩m=?”是“α∥β”的必要條件;當兩個平面內(nèi)的直線沒有交點時,兩個平面可以相交,∴l(xiāng)∩m=?是α∥β的必要不充分條件. 答案 必要不充分 4.(必修2P45習題9改編)已知α,β,γ是三個不重合的平面,α∥β,

3、β∥γ,那么α與γ的位置關(guān)系為________. 答案 平行 5.(教材改編)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________. 解析 連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO,在△BDD1中,O為BD的中點,所以EO為△BDD1的中位線, 則BD1∥EO,而BD1?平面ACE,EO?平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 答案 平行 知 識 梳 理 1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行(簡

4、記為“線線平行?線面平行”) ∵l∥a, a?α, l?α, ∴l(xiāng)∥α 性質(zhì)定理 如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交,那么這條直線就和交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ∵l∥α, l?β, α∩β=b, ∴l(xiāng)∥b 2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ∵a∥β, b∥β, a∩b=P, a?α, b?α, ∴α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,

5、那么所得的兩條交線平行 ∵α∥β, α∩γ=a, β∩γ=b, ∴a∥b 考點一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 【例1-1】 如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F(xiàn),H分別為線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是線段OF上一點. (1)求證:AP∥平面BEF; (2)求證:GH∥平面PAD. 證明 (1)連接EC, ∵AD∥BC,BC=AD, ∴BC綊AE, ∴四邊形ABCE是平行四邊形, ∴O為AC的中點. 又∵F是PC的中點,∴FO∥AP, FO?平面BEF,AP?平面BEF, ∴AP∥平面BEF. (

6、2)連接FH,OH, ∵F,H分別是PC,CD的中點, ∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中點,H是CD的中點, ∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH=H,F(xiàn)H、OH?平面OHF,∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD. 【例1-2】 (2018·鎮(zhèn)江月考)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2.點G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)證明:GH∥EF; (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. (1)證明 

7、因為BC∥平面GEFH,BC?平面PBC, 且平面PBC∩平面GEFH=GH, 所以GH∥BC. 同理可證EF∥BC,因此GH∥EF. (2)解 如圖,連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK. 因為PA=PC,O是AC的中點,所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面內(nèi), 所以PO⊥底面ABCD. 又因為平面GEFH⊥平面ABCD, 且PO?平面GEFH,所以PO∥平面GEFH. 因為平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD, 從而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由

8、AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 從而KB=DB=OB,即K為OB的中點. 再由PO∥GK得GK=PO, 即G是PB的中點,且GH=BC=4. 由已知可得OB=4, PO===6, 所以GK=3. 故四邊形GEFH的面積S=·GK =×3=18. 規(guī)律方法 判斷或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點); (2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α); (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β). 【訓練1】 如圖所示,CD,A

9、B均與平面EFGH平行,E,F(xiàn),G,H分別在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求證:四邊形EFGH是矩形. 證明 ∵CD∥平面EFGH,CD?平面BCD, 而平面EFGH∩平面BCD=EF, ∴CD∥EF. 同理HG∥CD,∴EF∥HG. 同理HE∥GF, ∴四邊形EFGH為平行四邊形. ∴CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四邊形EFGH為矩形. 考點二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例2】 (2018·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A

10、1B1,A1C1的中點,求證: (1)B,C,H,G四點共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明 (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點, ∴GH是△A1B1C1的中位線, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四點共面. (2)∵E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點, ∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,A1

11、E,EF?平面EFA1, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 規(guī)律方法 證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義; (2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行; (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行; (4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行; (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 【訓練2】 如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:平面BDC1∥平面AB1D1. 證明 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,

12、 所以AD1∥平面BDC1. 同理可證B1D1∥平面BDC1. 又因為AD1∩B1D1=D1,AD1,B1D1都在平面AB1D1內(nèi), 所以平面AB1D1∥平面BDC1. 考點三 平行關(guān)系的綜合應用 【例3-1】 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在邊BC上,AD⊥平面BCC1B1.設(shè)E是B1C1上的一點,當?shù)闹禐槎嗌贂r,A1E∥平面ADC1?請給出證明. 證明 當=1,即E為B1C1的中點時, A1E∥平面ADC1.證明如下: 由AD⊥平面BCC1B1,得AD⊥BC. 在正三角形ABC中,D是BC的中點. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 四邊形BCC1B

13、1是矩形, 且D,E分別是BC,B1C1的中點, 所以B1B∥DE,B1B=DE. 又B1B∥AA1,且B1B=AA1, 所以DE∥AA1,且DE=AA1. 所以四邊形ADEA1為平行四邊形, 所以EA1∥AD. 又EA1?平面ADC1,AD?平面ADC1, 所以A1E∥平面ADC1. 【例3-2】 (一題多解)(2018·鹽城模擬)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中點,問在棱AB上是否存在一點E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請確定點E的位置;若不存在,請說明理由. 解 法一 存在點E,且E為AB的中點時,DE∥平面AB1C1. 下面給出證

14、明: 如圖,取BB1的中點F,連接DF, 則DF∥B1C1,又DF?平面DEF,B1C1?平面DEF, ∴B1C1∥平面DEF, ∵AB的中點為E,連接EF,ED, 則EF∥AB1,AB1∥平面DEF, ∵B1C1,AB1?平面AB1C1,B1C1∩AB1=B1, ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF, ∴DE∥平面AB1C1. 法二 假設(shè)在棱AB上存在點E, 使得DE∥平面AB1C1, 如圖,取BB1的中點F,連接DF,EF,ED,則DF∥B1C1, 又DF?平面AB1C1,B1C1?平面AB1C1, ∴DF∥平面AB1C1, 又DE∥平面

15、AB1C1,DE∩DF=D, ∴平面DEF∥平面AB1C1, ∵EF?平面DEF,∴EF∥平面AB1C1, 又∵EF?平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1, ∴EF∥AB1, ∵點F是BB1的中點,∴點E是AB的中點. 即當點E是AB的中點時,DE∥平面AB1C1. 規(guī)律方法 (1)“探索”在于由未知到已知,由變化到確定.找平行關(guān)系時多借助中點、中位線、平行四邊形等圖形或關(guān)系的平行性質(zhì).題目的本質(zhì)仍是線與面的平行關(guān)系. (2)利用線面平行的性質(zhì),可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置,對于最值問題,常用函數(shù)思想來解決. 一、必做

16、題 1.(2018·南通模擬)有下列命題: ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l∥α; ②若直線a在平面α外,則a∥α; ③若直線a∥b,b∥α,則a∥α; ④若直線a∥b,b∥α,則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是________. 解析 命題①,l可以在平面α內(nèi),不正確;命題②,直線a與平面α可以是相交關(guān)系,不正確;命題③,a可以在平面α內(nèi),不正確;命題④正確. 答案 1 2.(2018·蘇北四校聯(lián)考)如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD是正方形,E,F(xiàn)分別為PA,PD的中點.在此幾何體中,給出下列四個結(jié)論: ①直線BE與直線

17、CF是異面直線; ②直線BE與直線AF是異面直線; ③直線EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確結(jié)論的序號為________. 解析 因為EF綊AD,AD綊BC,所以EF綊BC,所以E,B,C,F(xiàn)四點共面,所以BE與CF共面,所以①錯誤;因為AF?平面PAD,E∈平面PAD,E?直線AF,B?平面PAD,所以BE與AF是異面直線,所以②正確;因為EF∥BC,EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以③正確;由于不能推出線面垂直,故平面BCE⊥平面PAD不成立,所以④錯誤. 答案?、冖? 3.對于空間中的兩條直線m,n和一個平面α,下列命題中的真

18、命題是________(填序號). ①若m∥α,n∥α,則m∥n; ②若m∥α,n?α,則m∥n; ③若m∥α,n⊥α,則m∥n; ④若m⊥α,n⊥α,則m∥n. 解析 對①,直線m,n可能平行、異面或相交,故①錯誤;對②,直線m與n可能平行,也可能異面,故②錯誤;對③,m與n垂直而非平行,故③錯誤;對④,垂直于同一平面的兩直線平行,故④正確. 答案?、? 4.(2018·南京、徐州、連云港聯(lián)考)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列正確命題的序號是________. ①若m∥n,m⊥β,則n⊥β; ②若m∥n,m∥β,則n∥β; ③若m∥α,m∥β,則α∥

19、β; ④若n⊥α,n⊥β,則α⊥β. 解析 如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這一平面,①正確;若m∥n,m∥β,則n∥β或n?β,②不正確;若m∥α,m∥β,則α,β可能平行也可能相交,③不正確;若n⊥α,n⊥β,則α∥β,④不正確. 答案?、? 5.(2016·全國Ⅱ卷)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m?α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的

20、編號). 解析 當m⊥n,m⊥α,n∥β時,兩個平面的位置關(guān)系不確定,故①錯誤,經(jīng)判斷知②③④均正確,故正確答案為②③④. 答案?、冖邰? 6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,則點Q滿足條件________時,有平面D1BQ∥平面PAO. 解析 假設(shè)Q為CC1的中點. 因為P為DD1的中點, 所以QB∥PA. 連接DB,因為O是底面ABCD的中心, 所以D1B∥PO, 又D1B?平面PAO,QB?平面PAO,且PA∩PO于P, 所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,所以平面D

21、1BQ∥平面PAO. 故點Q為CC1的中點時,有平面D1BQ∥平面PAO. 答案 Q為CC1的中點 7.空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4,則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中,周長的取值范圍是________. 解析 設(shè)==k,∴==1-k, ∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周長=8+2k. 又∵0

22、邊形AMBNCL,因為PQ∥AL,PR∥AM,且PQ與PR相交,AL與AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR. 答案 平行 9.如圖,E、F、G、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點.求證: (1)EG∥平面BB1D1D; (2)平面BDF∥平面B1D1H. 證明 (1)取B1D1的中點O,連接GO,OB, ∵OG綊B1C1,BE綊BC, ∴OG綊BE, ∴四邊形BEGO為平行四邊形,故OB∥EG, 又EG?平面BB1D1D,OB?平面BB1D1D, ∴EG∥平面BB1D1D. (2)由題意

23、可知BD∥B1D1,B1D1∥平面BDF, 如圖,連接HB、D1F, 易證四邊形HBFD1是平行四邊形,故HD1∥BF,HD1∥平面BDF. 又B1D1∩HD1=D1,B1D1,HD1?平面B1D1H. 所以平面BDF∥平面B1D1H. 10.(2016·全國Ⅲ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點. (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求四面體N-BCM的體積. (1)證明 由已知得AM=AD=2. 如圖,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中

24、點知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因為AT?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解 因為PA⊥平面ABCD,N為PC的中點, 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖,取BC的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距離為,故S△BCM=×4×=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×S△BCM×=. 二、選做題 11.在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,

25、SC,SA交于點D,E,F(xiàn),H.D,E分別是AB,BC的中點,如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為________. 解析 如圖,取AC的中點G,連接SG,BG. 易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故AC⊥平面SGB, 所以AC⊥SB. 因為SB∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD, 則SB∥HD. 同理SB∥FE. 又D,E分別為AB,BC的中點, 則H,F(xiàn)也為AS,SC的中點, 從而得HF綊AC綊DE, 所以四邊形DEFH為平行四邊形. 又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC, 所以DE⊥HD, 所以四

26、邊形DEFH為矩形, 其面積S=HF·HD=·=. 答案  12.(2018·南通模擬)如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點. (1)當?shù)扔诤沃禃r,BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值. 解 (1)如圖所示,取D1為線段A1C1的中點,此時=1. 連接A1B,交AB1于點O,連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形, ∴點O為A1B的中點. 在△A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. ∴當=1時,BC1∥平面AB1D1. (2)由平面BC1D∥平面AB1D1, 且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 得BC1∥D1O,同理AD1∥DC1, ∴=,=, 又∵=1,∴=1,即=1. 16

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