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1、2022年人教版高中數(shù)學必修二教案：3-3-4 兩條平行直線間的距離 項目 內(nèi)容 課題 3.3.4 兩條平行直線間的距離 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.讓學生掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離. 2.引導學生構思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作. 教學重、 難點 教學重點:點到直線距離公式的推導和應用. 教學難點:對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學模型的建立. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課 點P(0,5)到直線y=2x

2、的距離是多少？更進一步在平面直角坐標系中,如果已知某點P的坐標為(x0,y0),直線l的方程是Ax+By+C=0,怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢?這節(jié)課我們就來專門研究這個問題. 提出問題 ①已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離.你最容易想到的方法是什么?各種做法的優(yōu)缺點是什么? ②前面我們是在A、B均不為零的假設下推導出公式的，若A、B中有一個為零，公式是否仍然成立？ ③回顧前面證法一的證明過程，同學們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？(如何求兩條平行線間的距離) 活動： ①請學生觀察上面三種特殊情形中的結論: (ⅰ)x0=0,y0=0時

3、，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0時，d=； (ⅲ)x0=0,y0≠0時，d=. 觀察、類比上面三個公式，能否猜想：對任意的點P(x0,y0)，d=? 學生應能得到猜想：d=. 啟發(fā)誘導：當點P不在特殊位置時，能否在距離不變的前提下適當移動點P到特殊位置，從而可利用前面的公式？(引導學生利用兩平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，作平行線，把一般情形轉化為特殊情形來處理) 證明：設過點P且與直線l平行的直線l1的方程為Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=. (*) ∵P在直線l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.

4、代入(*)得|P′N|= 即d=,. ②可以驗證，當A=0或B=0時，上述公式也成立. ③引導學生得到兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離d=. 證明：設P0(x0,y0)是直線Ax+By+C2=0上任一點，則點P0到直線Ax+By+C1=0的距離為d=. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. 討論結果：①已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離公式為d=. ②當A=0或B=0時，上述公式也成立. ③兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離公式為d=. 應用示例 例

5、1 求點P0(-1，2)到下列直線的距離： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根據(jù)點到直線的距離公式得d=. (2)因為直線3x=2平行于y軸，所以d=|-(-1)|=. 點評：例1(1)直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握；(2)體現(xiàn)了求點到直線距離的靈活性，并沒有局限于公式. 變式訓練 點A(a，6)到直線3x－4y=2的距離等于4，求a的值. 解:=4|3a-6|=20a=20或a=. 例2 已知點A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面積. 解:設AB邊上的高為h，則S△ABC=|AB|·h. |AB|=，

6、 AB邊上的高h就是點C到AB的距離. AB邊所在的直線方程為,即x+y-4=0. 點C到x+y-4=0的距離為h=， 因此，S△ABC=×=5. 點評：通過這兩道簡單的例題，使學生能夠進一步對點到直線的距離理解應用，能逐步體會用代數(shù)運算解決幾何問題的優(yōu)越性. 變式訓練 求過點A(-1,2),且與原點的距離等于的直線方程. 解:已知直線上一點，故可設點斜式方程，再根據(jù)點到直線的距離公式,即可求出直線方程為x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離. 解:在直線2x-7y-6=0上任取一點,例如取P(3,0),則點

7、P(3,0)到直線2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.因此, d=. 點評:把求兩平行線間的距離轉化為點到直線的距離. 變式訓練 求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離. 答案：. 知能訓練 課本本節(jié)練習. 拓展提升 問題：已知直線l:2x-y+1=0和點O(0，0)、M(0，3)，試在l上找一點P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出這個最大值. 解:點O(0，0)關于直線l:2x-y+1=0的對稱點為O′(-,)， 則直線MO′的方程為y-3=x. 直線MO′與直線l:2x-y+1=0的交點P()即為所求， 相應的||PO|-|PM||的最大值為|MO′|=. 課堂小結 通過本節(jié)學習，要求大家： 1.掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離. 2.構思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作. 3.本節(jié)課重點討論了平面內(nèi)點到直線的距離和兩條平行線之間的距離，后者實際上可作為前者的變式應用. 作業(yè) 課本習題3.3 A組9、10；B組2、4. 板書設計 教學反思