2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習(xí) 1．(2018·湖南衡陽一模)在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則a2＋a14的值為(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：　∵在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.故選D. 答案：　D 2．等比數(shù)列{an}中，若a4＝8a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則其前5項(xiàng)和為(　　) A．30 B．32 C．62 D．64 解析：　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a4＝8a1，∴q＝2.∵a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，∴2a2＋2＝a1＋a3，∴4a1＋2＝a1＋4a1，解得a1＝2，∴其前5項(xiàng)和為＝62，故選C. 答案：　C 3．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有一女子擅長織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女子最后一天織布的尺數(shù)為(　　) A．18 B．20 C．21 D．25 解析：　依題意得，織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1＝5，前30項(xiàng)和為390，于是有＝390，解得a30＝21，即該織女最后一天織21尺布． 答案：　C 4．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)y＝2x＋1＋m的圖象上，則m＝(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析：　易知q≠1，Sn＝＝－qn＝－qn＋1，又點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)y＝2x＋1＋m的圖象上，所以Sn＝2n＋1＋m，所以q＝2，得m＝－2. 答案：　A 5．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是(　　) A. B． C. D． 解析：　∵2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，∴數(shù)列{nan}是以a1＝1為首項(xiàng)，2a2－a1＝5為公差的等差數(shù)列，∴20a20＝1＋5×19＝96，∴a20＝. 答案：　D 6．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則其公比q等于________． 解析：　∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比q>0.由a2a4＝1，得a＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)．故q＝. 答案：　 7．(2018·河北石家莊一模)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 018的值為________． 解析：　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，……，可得an＋4＝an，則a2 018＝a504×4＋2＝a2＝－3. 答案：?。? 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，則a31＝________. 解析：　因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝0，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列， 且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15， 所以an＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn， 所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋b30 ＝(b1＋b30)＝15(b15＋b16)＝15×15＝225. 答案：　225 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：　(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 當(dāng)n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝， 則bn＋1－bn＝－＝， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差d＝的等差數(shù)列， ∴Tn＝nb1＋d＝. 10．(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式． 解析：　(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1， 而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1， 所以an＝n·2n－1. B級 1．(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝(　　) A．22 018－1 B．32 018－6 C.2 018－ D．2 018－ 解析：　因?yàn)閍1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3. 當(dāng)n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n， 則a2 018＝22 018－1. 答案：　A 2．(2018·山西太原一模)在數(shù)列{an}中，a1＝0，an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，若數(shù)列{bn}滿足bn＝n×n，則數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為第________項(xiàng)． 解析：　因?yàn)閍n－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，所以an－an－1＝2n－1(n∈N*，n≥2)，所以根據(jù)疊加法得an＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋a1＝n2－1(n≥2)，又n＝1時，a1＝0滿足上式，所以an＝n2－1(n∈N*)，所以bn＝n(n＋1)×n，因?yàn)椋?，所以?dāng)n≤5時，bn＋1>bn，當(dāng)n≥6時，bn＋1<bn，因此數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為第6項(xiàng)． 答案：　6 3．(2018·北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 解析：　(1)設(shè){an}的公差為d. 因?yàn)閍2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因?yàn)閑a1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以數(shù)列{ean}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2. 4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1anan＋1，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 解析：　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由S3＋S4＝S5，得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， 所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)(2n＋1)＝(－1)n－1·(4n2－1)． 所以T2n＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n－1·[4×(2n)2－1] ＝4[12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2] ＝－4[22－12＋42－32＋…＋(2n)2－(2n－1)2] ＝－4[(2＋1)×(2－1)＋(4＋3)×(4－3)＋…＋(2n＋2n－1)(2n－2n＋1)] ＝－4(1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n) ＝－4× ＝－8n2－4n.