2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 課堂達(dá)標(biāo)53 古典概型 文 新人教版
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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 課堂達(dá)標(biāo)53 古典概型 文 新人教版 1.(2018·蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(3,6).則向量p與q共線的概率為( ) A. B. C. D. [解析] 由題意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的個(gè)數(shù)=6×6=36. 若p∥q,則6m-3n=0,得到n=2m.滿足此條件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三個(gè)基本事件.因此向量p與q共線的概率為P==. [答案] D 2.從2名男生和2名女生中任意
2、選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( ) A. B. C. D. [解析] 設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1 12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2 4種情況,則發(fā)生的概率為P==,故選A. [答案] A 3.(2017·課標(biāo)Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨
3、機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. [解析]如下表所示,表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù),縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù) 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3
4、) (5,4) (5,5) 總計(jì)有25種情況,滿足條件的有10種所以所求概率為=. [答案] D 4.(2018·哈爾濱模擬)設(shè)a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率為( ) A. B. C. D. [解析] 已知f′(x)=3x2+a>0, 所以f(x)在R上遞增,若f(x)在[1,2]上有零點(diǎn), 則需經(jīng)驗(yàn)證有(1,2),(1,4),(1,8),(2,4),(2,8),(2,12),(3,4),(3,8),(3,12),(4,8),(4,12),共11對(duì)滿足條件,而總的情況有16種,故所求
5、概率為. [答案] C 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閃,從W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x,y).若x∈Z,y∈Z,則點(diǎn)M位于第二象限的概率為( ) A. B. C.1- D.1- [解析] 畫出平面區(qū)域,列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如下: (-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12個(gè),其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2個(gè),所以所求概率P=. [答案] A 6.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,那么直線+=1的斜率k≥-的概率
6、為( ) A. B. C. D. [解析] 記a,b的取值為數(shù)對(duì)(a,b),由題意知a,b的所有可能取值有(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2),…,(6,6),共36種.由直線+=1的斜率k=-≥-,知≤,那么滿足題意的a,b可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9種,所以所求概率為=. [答案] D 7
7、.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_____. [解析] 依題意,將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36種,其中滿足直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點(diǎn),即滿足≤,a2≤b2的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21種,因此所求的概率等于=. [答案] 8.投擲兩顆骰子,得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為_(kāi)____
8、_. [解析] 因?yàn)?m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i,所以要使其為實(shí)數(shù),須n2-m2,即m=n.由已知得,事件的總數(shù)為36,m=n,有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)共6個(gè),所以所求概率為P==. [答案] 9.(2018·宣武模擬)曲線C的方程為+=1,其中m,n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù),事件A=“方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”,那么P(A)=__________. [解析] 試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36;若想表示橢圓,由m>n,有(2,1),(3,1),…(6,5),共1+2+3+4+5=15種情況,因此P(A)
9、==. [答案] 10.(2018·太原模擬)某工廠對(duì)一批共50件的機(jī)器零件進(jìn)行分類檢測(cè),其重量(克)統(tǒng)計(jì)如下: 重量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 件數(shù) 5 m 12 n 規(guī)定重量在82克及以下的為甲型,重量在85克及以上的為乙型,已知該批零件有甲型2件. (1)從該批零件中任選1件,若選出的零件重量在[95,100]內(nèi)的概率為0.26,求m的值. (2)從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率. [解] (1)由題意可得n=0.26×50=13, 則m=50-5-12-13=20.
10、(2)設(shè)“從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型”為事件A,記這5件零件分別為a,b,c,d,e,其中甲型為a,b. 從這5件零件中任選2件,所有可能的情況為ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種. 其中恰有1件為甲型的情況有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6種.所以P(A)==. 即從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型的概率為. [B能力提升練] 1.(2018·太原二模)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,向量a=(m,n),與向量b=(1,0)的夾角為α,則α∈的概率為( ) A
11、. B. C. D. [解析] 法一:依題意,向量a=(m,n)共有6×6=36(個(gè)),其中滿足向量a=(m,n)與向量b=(1,0)的夾角α∈,即n<m的(m,n)可根據(jù)n的具體取值進(jìn)行分類計(jì)數(shù):第一類,當(dāng)n=1時(shí),m有5個(gè)不同的取值;第二類,當(dāng)n=2時(shí),m有4個(gè)不同的取值;第三類,當(dāng)n=3時(shí),m有3個(gè)不同的取值;第四類,當(dāng)n=4時(shí),m有2個(gè)不同的取值;第五類,當(dāng)n=5時(shí),m有1個(gè)取值, 因此滿足向量a=(m,n)與向量b=(1,0)的夾角α∈的(m,n)共有1+2+3+4+5=15(個(gè)),所以所求概率為=. 法二:依題意可得向量a=(m,n)共有6×6=36(個(gè)),其中滿
12、足向量a=(m,n) 與向量b=(1,0)的夾角α∈,即n<m的向量a=(m,n)有=15(個(gè)),所以所求概率為=. [答案] B 2.(2018·江南十校聯(lián)考)已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定義映射f:M→N,則從中任取一個(gè)映射滿足自由點(diǎn)A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))構(gòu)成△ABC且AB=BC的概率為( ) A. B. C. D. [解析] ∵集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}, ∴映射f:M→N有43=64種, ∵由點(diǎn)A(1,f(1)),B(2,f(2)), C(3,f(3))構(gòu)成△ABC且AB=B
13、C, ∴f(1)=f(3)≠f(2), ∵f(1)=f(3)有4種選擇,f(2)有3種選擇, ∴從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1,f(1)), B(2,f(2)),C(3,f(3))構(gòu)成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12種, ∴所求概率為=. [答案] C 3.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂(lè)3個(gè)課外興趣小組,3個(gè)小組分別有39、32、33個(gè)成員,一些成員參加了不止一個(gè)小組,具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員,他屬于至少2個(gè)小組的概率是____,他屬于不超過(guò)2個(gè)小組的概率是____. [解析] “至少2個(gè)小組”包含“2個(gè)小組”和“3個(gè)小組”兩種情況,故他屬于至少2個(gè)小組的
14、概率為P==. “不超過(guò)2個(gè)小組”包含“1個(gè)小組”和“2個(gè)小組”,其對(duì)立事件是“3個(gè)小組”. 故他屬于不超過(guò)2個(gè)小組的概率是P=1-=. [答案]?。? 4.現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者,分別用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀,B1,B2的物理成績(jī)優(yōu)秀,C1,C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名,組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽,則A1和B1不全被選中的概率為_(kāi)_____. [解析] 從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名, 所以可能的結(jié)果組成的12個(gè)基本事件為:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(
15、A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2). 設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N, 則其對(duì)立事件表示“A1和B1全被選中”, 由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)}, 所以P()==, 由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得P(N)=1-P()=1-=. [答案] 5.一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字,現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次,正四面體面朝下的數(shù)字分別為b,c. (1)z=(b-3)2+(
16、c-3)2,求z=4的概率; (2)若方程x2-bx-c=0至少有一根x∈,就稱該方程為“漂亮方程”,求方程為“漂亮方程”的概率. [解析] (1)因?yàn)槭峭稊S兩次,因此基本事件(b,c): (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個(gè). 當(dāng)z=4時(shí),(b,c)的所有取值為(1,3),(3,1), 所以P(z=4)==. (2)①若方程一根為x=1,則1-b-c=0, 即b+c=1,不成立. ②若方程一根為x=2,則4-2b-c
17、=0, 即2b+c=4,所以 ③若方程一根為x=3,則9-3b-c=0, 即3b+c=9,所以 ④若方程一根為x=4,則16-4b-c=0, 即4b+c=16,所以由①②③④知, (b,c)的所有可能取值為(1,2),(2,3),(3,4). 所以方程為“漂亮方程”的概率為P=. [C尖子生專練] (2018·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))最新高考改革方案已在上海和江蘇開(kāi)始實(shí)施,某教育機(jī)構(gòu)為了解我省廣大師生對(duì)新高考改革方案的看法,對(duì)某市部分學(xué)校500名師生進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下: 贊成改革 不贊成改革 無(wú)所謂 教師 120 y 40 學(xué)生 x z 130
18、在全體師生中隨機(jī)抽取1名“贊成改革”的人是學(xué)生的概率為0.3,且z=2y. (1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師和學(xué)生人數(shù)各是多少? (2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中,隨機(jī)選出三人進(jìn)行座談,求至少有一名教師被選出的概率. [解] (1) 由題意知=0.3,∴x=150,所以y+z=60,因?yàn)閦=2y,所以y=20,z=40,則應(yīng)抽取教師人數(shù)×20=2,應(yīng)抽取學(xué)生人數(shù)×40=4. (2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a,b,4名學(xué)生記為1,2,3,4,隨機(jī)選出三人的不同選法有(a,b,1),(a,b,2),(a
19、,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20種, 至少有一名教師的選法有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)共16種,至少有一名教師被選出的概率P==.
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