8、并判斷其零點個數;
(3)根據圖象指出f(x)的單調遞減區(qū)間;
(4)根據圖象寫出不等式f(x)>0的解集.
[解] (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.
(2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=
由圖象知f(x)有兩個零點.
(3)從圖象上觀察可知:f(x)的單調遞減區(qū)間為[2,4].
(4)從圖象上觀察可知:不等式f(x)>0的解集為{x|0<x<4或x>4}.
[B能力提升練]
1.(2018·安徽蚌埠二模)函數y=的圖象大致是( )
[解析] 由題意,函數在(-1,1)上單調遞減,在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞減,故選A.
9、[答案] A
2.(2018·成都模擬)f(x)是定義在區(qū)間[-c,c](c>2)上的奇函數,其圖象如圖所示.令g(x)=af(x)+b,則下列關于函數g(x)的敘述正確的是( )
A.若a<0,則函數g(x)的圖象關于原點對稱
B.若a=1,0<b<2,則方程g(x)=0有大于2的實根
C.若a=-2,b=0,則函數g(x)的圖象關于y軸對稱
D.若a≠0,b=2,則方程g(x)=0有三個實根
[解析] 法一:排除法,當a<0,b≠0時,g(x)=af(x)+b是非奇非偶函數,不關于原點對稱,排除A.
當a=-2,b=0時,g(x)=-2f(x)是奇函數,不關于y軸對稱,
10、排除C.
當a≠0,b=2時,因為g(x)=af(x)+b=af(x)+2,
當g(x)=0時,有af(x)+2=0,所以f(x)=-,從圖中可以看到,當-2<-<2時,f(x)=-才有三個實根,所以g(x)=0也不一定有三個實根,排除D.故選B.
法二:當a=1,0<b<2時,g(x)=f(x)+b,
由圖可知,g(2)=f(2)+b=0+b>0,g(c)=f(c)+b<-2+b<0,所以當x∈(2,c),必有g(x)=0,故B正確.
[答案] B
3.(2018·廣東深圳質檢)設函數y=,關于該函數圖象的命題如下:
①一定存在兩點,這兩點的連線平行于x軸;
②任意兩點的連線
11、都不平行于y軸;
③關于直線y=x對稱;
④關于原點中心對稱.
其中正確的是______.
[解析] y===2+,圖象如圖所示,可知②③正確.
[答案]?、冖?
4.(2018·綿陽二診)已知函數y=f(x)及y=g(x)的圖象分別如圖所示,方程f(g(x))=0和g(f(x))=0的實根個數分別為a和b,則a+b= ________ .
[解析] 由圖象知f(x)=0有3個根,分別為0,±m(xù)(m>0),其中1<m<2,g(x)=0有2個根,-2<n<-1,0<p<1,由f(g(x))=0得g(x)=0或±m(xù),由圖象可知當g(x)所對應的值為0,±m(xù)時,其都有2個根,因而
12、a=6;由g(f(x))=0,知f(x)=n或p,由圖象可以看出當f(x)=n時,有1個根,而當f(x)=p時,有3個根,即b=1+3=4.所以a+b=6+4=10.
[答案] 10
5.已知函數f(x)=2x,x∈R.
(1)當m取何值時,方程|f(x)-2|=m有一個解?兩個解?
(2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范圍.
[解] (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,
畫出F(x)的圖象如圖所示,
由圖象看出,當m=0或m≥2時,函數F(x)與G(x)的圖象只有一個交點,原方程有一個解;
當0<m<2時,函數
13、F(x)與G(x)的圖象有兩個交點,原方程有兩個解.
(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,
因為H(t)=2-在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
應有m≤0,
即所求m的取值范圍為(-∞,0].
[C尖子生專練]
(1)已知函數y=f(x)的定義域為R,且當x∈R時,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求證:y=f(x)的圖象關于直線x=m對稱;
(2)若函數f(x)=log2|ax-1|的圖象的對稱軸是x=2,求非零實數a的值.
[解] (1)證明:設P(x0,y0)是y=f(x)圖象上任意一點,則y0=f(x0).
設P點關于x=m的對稱點為P′,
則P′的坐標為(2m-x0,y0).
由已知f(x+m)=f(m-x),得
f(2m-x0)=f[m+(m-x0)]=f[m-(m-x0)]=f(x0)=y(tǒng)0.
即P′(2m-x0,y0)在y=f(x)的圖象上.
所以y=f(x)的圖象關于直線x=m對稱.
(2)對定義域內的任意x,
有f(2-x)=f(2+x)恒成立.
所以|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立,
即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.
又因為a≠0,所以2a-1=0,得a=.