第1講　不等關(guān)系與不等式 　　　　　　　 一、知識梳理 1．兩個實數(shù)比較大小的方法 (1)作差法. (2)作商法. 2．不等式的基本性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒 對稱性 a>b?b<a ? 傳遞性 a>b，b>c?a>c ? 可加性 a>b?a＋c>b＋c ? 對乘性 ?ac>bc 注意c的符號 ?ac<bc 同向可加性 ?a＋c>b＋d ? 同向同正可乘性 ?ac>bd ? 可乘方性 a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同為正數(shù) 可開方性 a>b>0?>(n∈N，n≥2) 常用結(jié)論 (1)倒數(shù)的性質(zhì) ①a>b，ab>0?<； ②a<0<b?<； ③a>b>0，0<c<d?>； ④0<a<x<b或a<x<b<0?<<. (2)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì) 若a>b>0，m>0，則 ①<；>(b－m>0)； ②>；<(b－m>0)． 二、教材衍化 1．若a，b都是實數(shù)，則“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要條件　　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.－>0?>?a>b?a2>b2， 但由a2－b2>0－>0. 2． ______(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，顯然＋2<＋，所以<. 答案：< 3．若0<a<b，且a＋b＝1，則將a，b，，2ab，a2＋b2從小到大排列為________． 解析：令a＝，b＝，則2ab＝2××＝， a2＋b2＝＋＝，故a<2ab<<＝a2＋b2<b. 答案：a<2ab<<a2＋b2<b 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．(　　) (2)若>1，則a>b.(　　) (3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變．(　　) (4)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小．(　　) (5)a>b>0，c>d>0?>.(　　) (6)若ab>0，則a>b?<.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 二、易錯糾偏 (1)亂用不等式的相乘性致錯； (2)命題的必要性出錯； (3)求范圍亂用不等式的加法原理致錯． 1．若a>b>0，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.－>0 B．－<0 C.> D．< 解析：選D.因為c<d<0，所以0<－d<－c， 又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac， 又因為cd>0，所以>，即>. 2．設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 3．若－<α<β<，則α－β的取值范圍是________． 解析：由－<α<，－<－β<，α<β， 得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 　　　　　比較兩個數(shù)(式)的大小(自主練透) 1． 已知a1，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不確定 解析：選B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又因為a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， 所以a1－1<0，a2－1<0. 所以(a1－1)(a2－1)>0， 即M－N>0，所以M>N. 2．設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 解析：選B.由題意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B. 3．(一題多解)若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：選B.法一：易知a，b，c都是正數(shù)， ＝＝log8164<1.所以a>b； ＝＝log6251 024>1. 所以b>c.即c<b<a. 法二：對于函數(shù)y＝f(x)＝， y′＝， 易知當(dāng)x>e時，函數(shù)f(x)是減少的． 因為e<3<4<5， 所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a. 比較兩個數(shù)(式)大小的3種方法 　 　　　　　　不等式的性質(zhì)(自主練透) 1．已知a，b，c，d為實數(shù)，則“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.因為c>d，所以c－d>0.又a>b，所以兩邊同時乘以(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，則a(c－d)>b(c－d)，也可能a<b且c<d，所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要條件． 2．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2<b2<c2 B．a(chǎn)|b|<c|b| C．ba<ca D．ca<cb 解析：選D.因為a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符號不定，對于b>a，兩邊同時乘以正數(shù)c，不等號方向不變． 3．若<<0，則下列不等式①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正確的是(　　) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 解析：選C.因為<<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a兩邊同時乘以b，因為b<0，所以ab<b2.因此正確的是①④. 4．若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論①ad>bc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中，成立的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.因為a>0>b，c<d<0， 所以ad<0，bc>0， 所以ad<bc，故①錯誤． 因為a>0>b>－a， 所以a>－b>0， 因為c<d<0，所以－c>－d>0， 所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0， 所以＋＝<0，故②正確． 因為c<d，所以－c>－d， 因為a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)， a－c>b－d，故③正確． 因為a>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)， 故④正確，故選C. 解決此類問題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個驗證；二是利用特殊值法排除錯誤答案． [提醒]　利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．　 　　　　　　不等式性質(zhì)的應(yīng)用(典例遷移) 　已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________． 【解析】　因為－1<x<4，2<y<3， 所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2. 由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， 所以1<3x＋2y<18. 【答案】　(－4，2)　(1，18) 【遷移探究1】　(變條件)若將本例條件改為“－1<x<y<3”，求x－y的取值范圍． 解：因為－1<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4. 又因為x＜y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0， 故x－y的取值范圍為(－4，0)． 【遷移探究2】　(變條件)若將本例條件改為“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范圍． 解：設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 則所以 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又因為－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<， 所以3x＋2y的取值范圍為. 求代數(shù)式取值范圍的方法 利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時，多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大變量的取值范圍．解決此類問題，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得整體范圍，是避免錯誤的有效途徑．　 1．若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________． 解析：因為－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3. 答案：(－3，3) 2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍． 解：由題意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. 則解得 所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． 因為1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， 所以5≤f(－2)≤10. 即f(－2)的取值范圍為[5，10]． [基礎(chǔ)題組練] 1．已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2>a2b C.< D．< 解析：選C.若a<b<0，則a2>b2，故A錯；若0<a<b，則>，故D錯；若ab<0，即a<0，b>0，則a2b>ab2，故B錯；故C正確．所以選C. 2．(一題多解)已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)2<－ab B．|a|<|b| C.> D．> 解析：選C.法一：當(dāng)a＝1，b＝－1時，滿足a>0>b，此時a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立．因為a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故選C. 法二：因為a>0>b，所以>0>，所以>一定成立，故選C. 3．(一題多解)若m<0，n>0且m＋n<0，則下列不等式中成立的是　(　　) A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m 解析：選D.法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分別代入各選項檢驗即可． 法二：m＋n<0?m＜－n?n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立． 4．已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選C.由不等式的倒數(shù)性質(zhì)易知條件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的條件有3個． 5．下列四個命題中，正確命題的個數(shù)為(　　) ①若a>|b|，則a2>b2；②若a>b，c>d，則a－c>b－d； ③若a>b，c>d，則ac>bd；④若a>b>0，則>. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選C.易知①正確；②錯誤，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③錯誤，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，則<，當(dāng)c>0時，<，故④錯誤．所以正確的命題只有1個． 6．設(shè)實數(shù)x，y滿足0<xy<4，且0<2x＋2y<4＋xy，則x，y的取值范圍是(　　) A．x>2且y>2 B．x<2且y<2 C．0<x<2且0<y<2 D．x>2且0<y<2 解析：選C.由題意得則 由2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0， 得或 又xy<4，可得 7．若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________． 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)， 因為a1<a2，b1<b2， 所以(a1－a2)(b1－b2)>0， 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1 8．設(shè)a>b，有下列不等式①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，則一定成立的有________．(填正確的序號) 解析：對于①，>0，故①成立； 對于②，a>0，b<0時不成立； 對于③，取a＝1，b＝－2時不成立； 對于④，|c|≥0，故④成立． 答案：①④ 9．已知實數(shù)a∈(1，3)，b∈，則的取值范圍是________． 解析：依題意可得4<<8，又1<a<3，所以4<<24，故答案為(4，24)． 答案：(4，24) 10．若x>y，a>b，則在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>這五個式子中，恒成立的不等式的序號是________． 解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2. 符合題設(shè)條件x>y，a>b. 因為a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5. 所以a－x＝b－y，因此①不成立． 因為ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立． 因為＝＝－1，＝＝－1， 所以＝，因此⑤不成立． 由不等式的性質(zhì)可推出②④成立． 答案：②④ [綜合題組練] 1．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是(　　) A．[9，18] B．(15，30) C．[9，30] D．(9，30) 解析：選D.因為≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因為6<a<10，所以9<c<30.故選D. 2．若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＋<<log2(a＋b) B.<log2(a＋b)<a＋ C．a(chǎn)＋<log2(a＋b)< D．log2(a＋b)<a＋< 解析：選B.根據(jù)題意，令a＝2，b＝進行驗證，易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2＞1，因此a＋＞log2(a＋b)＞. 3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若<<，則(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a 解析：選A.由<<，可得＋1<＋1<＋1，即<<，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c<a<b.故選A. 4．設(shè)a，b∈R，定義運算“?”和“⊕”如下：a?b＝a⊕b＝若m?n≥2，p⊕q≤2，則(　　) A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≤4 C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4 解析：選A.結(jié)合定義及m?n≥2可得或 即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；結(jié)合定義及p⊕q≤2，可得或即q<p≤2或p≤q≤2， 所以p＋q≤4. 5．已知存在實數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實數(shù)b的取值范圍是________． 解析：因為ab2>a>ab，所以a≠0， 當(dāng)a>0時，b2>1>b， 即解得b<－1； 當(dāng)a<0時，b2<1<b， 即無解． 綜上可得b<－1. 答案：(－∞，－1) 6．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為________． 解析：由已知及三角形的三邊關(guān)系得 所以所以 兩式相加得，0<2×<4，所以的取值范圍為(0，2)． 答案：(0，2) 12