第四章 三角函數(shù)、解三角形 知識(shí)點(diǎn) 最新考綱 任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù) 了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算． 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義及其圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式. 兩角和與差的正弦、余弦及正切公式 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換 掌握簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明. 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響. 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用. 第1講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1．任意角的概念 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)角的分類 按旋轉(zhuǎn)方向 正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角 負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角 零角 射線沒有旋轉(zhuǎn) 按終邊位置 前提：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 按終邊位置 象限角 角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角 其他 角的終邊落在坐標(biāo)軸上 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制 (1)定義：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad. (2)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝ 角度與弧度的換算 1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′ 弧長公式 l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定 義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，記作sin α x叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 負(fù) 負(fù) Ⅲ 負(fù) 負(fù) 正 Ⅳ 負(fù) 正 負(fù) 口訣 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角 函數(shù)線 有向線段MP為正弦線，有向線段OM為余弦線，有向線段AT為正切線 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　) (3)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　) (5)若α∈，則tan α＞sin α.(　　) (6)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [教材衍化] 1．(必修4P10A組T7改編)角－225°＝________弧度，這個(gè)角在第________象限． 答案：－　二 2．(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________． 解析：由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin θ＝－， cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝. 答案： 3．(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為________弧度． 答案： [易錯(cuò)糾偏] (1)終邊相同的角理解出錯(cuò)； (2)三角函數(shù)符號(hào)記憶不準(zhǔn)； (3)求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限． 1．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．故選C. 2．若sin α<0，且tan α>0，則α是第____象限角． 解析：由sin α<0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tan α>0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角． 答案：三 3．已知角α的終邊在直線y＝－x上，且cos α<0，則tan α＝________． 解析：如圖，由題意知，角α的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn)P(x，y)，則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tan α＝＝＝－1. 答案：－1 　　　　　　象限角及終邊相同的角 (1)若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角　　　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 (2)若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. (3)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________． 【解析】　(1)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以?kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． (2)根據(jù)題意，角α的終邊在直線y＝－x上， α為第二象限角時(shí)，α＝＋2kπ＝(2k＋1)π－，k∈Z； α為第四象限角時(shí)，α＝＋2kπ＝(2k＋2)π－，k∈Z； 綜上，角α的取值集合是.故選D. (3)如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0，2π)內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：，π；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：－π，－π，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為. 【答案】　(1)C　(2)D　(3) (1)表示區(qū)間角集合的三個(gè)步驟 (2)求或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法 ①將θ的范圍用不等式(含有k)表示． ②兩邊同除以n或乘以n. ③對(duì)k進(jìn)行討論，得到或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．　 1．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________． 解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 則令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－， 從而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° 2．若sin α·tan α<0，且<0，則α是第________象限角． 解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α異號(hào)，從而α為第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α異號(hào)，從而α為第三或第四象限角．綜上，α為第三象限角． 答案：三 　　　　　　扇形的弧長、面積公式 已知扇形的圓心角是α ，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ 【解】　(1)α＝60°＝， l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25， 此時(shí)l＝10 cm，α＝2 rad. 弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長公式是l＝|α|r，扇形的面積公式是S＝lr＝|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)． (2)求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量． [提醒]　運(yùn)用弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度制．　 1．已知扇形的半徑是2，面積為8，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．4　　　　　　　　　　　　 B．2 C．8 D．1 解析：選A.設(shè)扇形的弧長為l，則l·2＝8， 即l＝8，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為＝4. 2．一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的，則扇形的弧長與圓周長之比為________． 解析：設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為，記扇形的圓心角為α，則＝， 所以α＝.所以扇形的弧長與圓周長之比為＝＝. 答案： 　　　　　　三角函數(shù)的定義(高頻考點(diǎn)) 三角函數(shù)的定義是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較?。饕}角度有： (1)利用三角函數(shù)定義求值； (2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)； (3)利用三角函數(shù)線解三角不等式； (4)三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新． 角度一　利用三角函數(shù)定義求值 已知α是第二象限的角，其終邊的一點(diǎn)為P(x，)，且cos α＝x，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】　因?yàn)棣潦堑诙笙薜慕?，其終邊上的一點(diǎn)為P(x，)，且cos α＝x，所以x＜0，cos α＝＝x，解得x＝－，所以tan α＝＝－. 【答案】　D 角度二　判斷三角函數(shù)值的符號(hào) 若tan α>0，則(　　) A．sin α>0 B．cos α>0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 【解析】　因?yàn)閠an α＞0，所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角． 所以sin α，cos α都可正、可負(fù)，排除A，B. 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知，C正確． 取α＝，則tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正確． 【答案】　C 角度三　利用三角函數(shù)線解不等式 函數(shù)y＝ 的定義域?yàn)開_______． 【解析】　由題意，得sin x≥，作直線y＝交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角x的終邊的范圍，故滿足條件的角x的集合為. 【答案】　，k∈Z 角度四　三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新 (2020·臺(tái)州質(zhì)檢)如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 【解析】　因?yàn)镻0(，－)，所以∠P0Ox＝－. 因?yàn)榻撬俣葹?，所以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－. 由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin， 因此d＝2. 令t＝0，則d＝2＝. 當(dāng)t＝時(shí)，d＝0，故選C. 【答案】　C (1)定義法求三角函數(shù)值的三種情況 ①已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． ②已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值． ③已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)． (2)三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷 已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況． [提醒]　若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．　 1．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若α＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(1，)　　　　　　　　　　 B．(，1) C．(，) D．(1，1) 解析：選D.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則由三角函數(shù)的定義得 即 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)． 2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)，且sin α＝m(m≠0)，則角α為第________象限角． 解析：依題意，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為 r＝ ＝， 所以sin α＝， 又因?yàn)閟in α＝m，m≠0， 所以＝m， 所以m2＝，所以m＝±. 所以點(diǎn)P在第二或第三象限． 答案：二或三 [基礎(chǔ)題組練] 1．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：選C.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則由扇形面積公式可得2＝lr＝r2α＝r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6. 2．若角α與β的終邊相同，則角α－β的終邊(　　) A．在x軸的正半軸上 B．在x軸的負(fù)半軸上 C．在y軸的負(fù)半軸上 D．在y軸的正半軸上 解析：選A.由于角α與β的終邊相同， 所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，從而α－β＝k·360°(k∈Z)，此時(shí)角α－β的終邊在x軸正半軸上． 3．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B.因?yàn)閞＝， 所以cos α＝＝－， 所以m＞0，所以＝，因此m＝. 4．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) 解析：選C.當(dāng)k＝2n時(shí)，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和≤α≤的終邊一樣．當(dāng)k＝2n＋1時(shí)，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和π＋≤α≤π＋的終邊一樣．故選C. 5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：選B.由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1.故選B. 6.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，P沿直線l勻速向右，Q沿圓周按逆時(shí)針方向以相同的速率運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP，則陰影部分的面積S1，S2的大小關(guān)系是(　　) A．S1≥S2 B．S1≤S2 C．S1＝S2 D．先S1<S2，再S1＝S2，最后S1>S2 解析：選C.因?yàn)閳AO與直線l相切，所以O(shè)A⊥AP， 所以S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝OA·AP，因?yàn)椋紸P， 所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，則S1＝S2.故選C. 7.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos α＝________． 解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案：－ 8．已知點(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，則角θ是第________象限角． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即所以θ為第二象限角． 答案：二 9．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． 解析：因?yàn)?cos x－1≥0， 所以cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影部分所示)． 所以x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)． 答案：(k∈Z) 10．已知角α的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，若α∈(－2π，2π)，則所有的α組成的集合為________． 解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以角α為第四象限角，且tan α＝－，即α＝－＋2kπ，k∈Z，因此落在(－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為. 答案： 11．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值． 解：因?yàn)棣鹊慕K邊過點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－. 又tan θ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝. 因此sin θ＋cos θ＝0； 當(dāng)x＝－1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝－， 因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值為0或－. 12．已知扇形AOB的周長為8. (1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??； (2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB. 解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得解得或 所以α＝＝或α＝＝6. (2)因?yàn)?r＋l＝8， 所以S扇＝lr＝l·2r ≤()2＝×()2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以圓心角α＝2，弦長AB＝2sin 1×2＝4sin 1. [綜合題組練] 1．若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 解析：選C.如圖所示，作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可得，AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α. 2．已知θ∈[0，π)，若對(duì)任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，則實(shí)數(shù)θ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題意知，令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ>0，因?yàn)閏os θ＋sin θ＋1≠0，所以f(x)>0在[－1，0]上恒成立，只需滿足 ?? θ∈，故選A. 3．若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4，則這兩個(gè)扇形的周長之比為________． 解析：設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑分別為r，R(其中r＜R)，則＝， 所以r∶R＝1∶2，兩個(gè)扇形的周長之比為＝1∶2. 答案：1∶2 4．已知x∈R，則使sin x>cos x成立的x的取值范圍是________． 解析：在[0，2π]區(qū)間內(nèi)，由三角函數(shù)線可知，當(dāng)x∈(，)時(shí)，sin x>cos x，所以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范圍是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z. 答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z 5．若角θ的終邊過點(diǎn)P(－4a，3a)(a≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號(hào)． 解：(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(－4a，3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－. 當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝. (2)當(dāng)a＞0時(shí)，sin θ＝∈， cos θ＝－∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ·sin＜0； 當(dāng)a＜0時(shí)，sin θ＝－∈， cos θ＝∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos·sin ＞0. 綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號(hào)為負(fù)；當(dāng)a＜0時(shí)，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符號(hào)為正． 6．設(shè)α為銳角，求證：1<sin α＋cos α<. 證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出單位圓，設(shè)角α的終邊為OP，過P作PQ垂直x軸于 Q，PR垂直y軸于R，則sin α＝QP，cos α＝OQ. 因?yàn)棣翞殇J角， 在△OPQ中，QP＋OQ>OP， 所以sin α＋cos α>1.① 而S△OPB＝OB·RP＝cos α， S△OAP＝OA·QP＝sin α， S扇形OAB＝×1×＝. 又因?yàn)樗倪呅蜲APB被扇形OAB覆蓋， 所以S△OPB＋S△OAP<S扇形OAB， 即sin α＋cos α<.② 由①，②得1<sin α＋cos α<. 16