3、交圓的方程，并消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
[教材衍化]
1．(必修2P128練習T4改編)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是________．
解析：由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為，
所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案：[－3，1]
2．(必修2P133A組T9)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________．
解析：由
得兩圓公共弦所在直線為x－y＋2＝0.
又圓x2＋y2＝4的圓
4、心到直線x－y＋2＝0的距離為＝.由勾股定理得弦長的一半為＝，所以所求弦長為2.
答案：2
[易錯糾偏]
(1)忽視分兩圓內切與外切兩種情形；
(2)忽視切線斜率k不存在的情形；
(3)求弦所在直線的方程時遺漏一解．
1．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數a＝________．
解析：兩圓的圓心距d＝，由兩圓相切(外切或內切)，得 ＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
2．已知圓C：x2＋y2＝9，過點P(3，1)作圓C的切線，則切線方程為________．
解析：由題意知P在圓外，當切線斜率不存在時，切線方程為x＝3，
5、滿足題意；當切線斜率存在時，設斜率為k，所以切線方程為y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切線方程為4x＋3y－15＝0.綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
3．若直線過點P且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，則該直線的方程為________．
解析：當直線的斜率不存在時，該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足題意．當直線的斜率存在時，不妨設直線的方程為y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，則圓心到直線的距離d＝，則2＝8，解得k＝－，所以直線方程為3
6、x＋4y＋15＝0.
綜上所述，所求直線方程為x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0
直線與圓的位置關系
(1)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外， 則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是( )
A．相切 B．相交
C．相離 D．不確定
(2)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點的充要條件是________．
【解析】 (1)因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，從而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝＜1，
所以直線與圓相交．
(2)法一：將直線方
7、程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒有公共點的充要條件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－，)．
法二：圓心(0，0)到直線y＝kx＋2的距離d＝，直線與圓沒有公共點的充要條件是d>1，即>1，解得k∈(－，)．
【答案】 (1)B (2)k∈(－，)
(變條件)若將本例(1)的條件改為“點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1上”，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系如何？
解：由點M在圓上，得a2＋b2＝1，所以圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝1，則直線與圓O相切．
[提醒] 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用
8、于動直線問題．
(2020·衢州模擬)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C.因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，由數形結合知，圓上到直線的距離為1的點有3個．
圓的切線與弦長問題(高頻考點)
圓的切線與弦長問題，是近年來高考的一個熱點，多以選擇題、填空題的形式呈現，多為中、低檔題目．主要命題角度有：
(1)求圓的切線方程；
(2)求弦長及切線長；
(3)由弦長及切線問題求參數．
角度一 求圓的切線方程
過點(
9、3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
【解析】 因為過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，
所以點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，
因為圓心與切點連線的斜率k＝＝，
所以切線的斜率為－2，則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故選B.
【答案】 B
角度二 求弦長及切線長
(1)若a，b，c是△ABC三個內角的對邊，且csin C＝3asin A＋3bsin B，則直線l：ax－b
10、y＋c＝0被圓O：x2＋y2＝12所截得的弦長為( )
A．4 B．2
C．6 D．5
(2)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝________．
【解析】 (1)因為＝＝，
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圓O：x2＋y2＝12的圓心為O(0，0)，半徑為r＝2，圓心O到直線l的距離d＝＝，所以直線l被圓O所截得的弦長為2＝2＝6，故選C.
(2)由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱
11、軸，所以圓心C(2，1)在直線x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
【答案】 (1)C (2)6
角度三 由弦長及切線問題求參數
(1)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為( )
A．3 B.
C．2 D．2
(2)(2019·高考浙江卷)已知圓C的圓心坐標是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓
12、C相切于點A(－2，－1)，則m＝________，r＝________．
【解析】 (1)如圖，把圓的方程化成標準形式得x2＋(y－1)2＝1，
所以圓心為(0，1)，半徑為r＝1，四邊形PACB的面積
S＝2S△PBC，
所以若四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值為1.
而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值為2，
此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離d，
此時d＝＝＝，
即k2＝4，因為k>0，所以k＝2.
(2)法一：設過點A(－2，－1)且與直線2x－y＋3＝0垂直的直線方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，
13、所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝＝.
法二：因為直線2x－y＋3＝0與以點(0，m)為圓心的圓相切，且切點為A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
【答案】 (1)D (2)－2
(1)求直線被圓截得的弦長的常用方法
①幾何法：用圓的幾何性質求解，運用弦心距、半徑及弦的一半構成的直角三角形，計算弦長|AB|＝2.
②代數法：聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消去一個未知數得一元二次方程，再利用根與系數的關系結合弦長公式求解，其公式為|AB|＝|x1－x2|.
(2)圓的切線方程的求法
①幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0
14、)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.
②代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.
1．直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( )
A. B.
C．[－，] D.
解析：選B.如圖，設圓心C(2，3)到直線y＝kx＋3的距離為d，若|MN|≥2，
則d2＝r2－≤4－3＝1，
即≤1，解得－≤k≤.
2．(2020·溫州中學高三期末)若經過點P(－3，0)的直線l與圓M：x
15、2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，則圓M的圓心坐標是________；半徑為________；切線在y軸上的截距是________．
解析：圓的標準方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，則圓心坐標為(－2，1)，半徑R＝，設切線斜率為k，過P的切線方程為y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0，則圓心到直線的距離d＝＝＝，平方得k2＋2k＋1＝(k＋1)2＝0，解得k＝－1，此時切線方程為y＝－x－3，即在y軸上的截距為－3.
答案：(－2，1) ?。?
3．(2020·杭州市學軍中學高三模擬)已知直線l：mx－y＝1，若直線l與直線n：x＋m(m－1)y＝2垂直，則m的值為_______
16、_，動直線l：mx－y＝1被圓C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦長為________．
解析：由題意得m－m(m－1)＝0?m＝0或m＝2；動直線l：mx－y＝1過定點(0，－1)，而動直線l：mx－y＝1被圓C：(x－1)2＋y2＝9截得的弦長最短時，弦中點恰為(0，－1)，此時弦長為2＝2.
答案：0或2 2
圓與圓的位置關系
(1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是( )
A．內切 B．相交
C．外切 D．相離
(2)已知圓C1：(x－a)2
17、＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為( )
A. B.
C. D．2
【解析】 (1)由
得兩交點為(0，0)，(－a，a)．
因為圓M截直線所得線段長度為2，
所以＝2.
又a>0，所以a＝2.
所以圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0，2)，半徑r1＝2.
又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1，1)，半徑r2＝1，
所以|MN|＝＝.
因為r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，
所以兩圓相交．
(2)由圓C1與圓C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋
18、b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根據基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，當且僅當a＝b時，等號成立．故選C.
【答案】 (1)B (2)C
(變條件)若本例(2)條件中“外切”變?yōu)椤皟惹小?，求ab的最大值．
解：由C1與C2內切，得 ＝1.
即(a＋b)2＝1, 又ab≤＝，
當且僅當a＝b時等號成立，故ab的最大值為.
(1)幾何法判斷圓與圓的位置關系的步驟
①確定兩圓的圓心坐標和半徑；
②利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|；
③比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后寫出結論．
(2
19、)兩圓公共弦長的求法
兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，則m的值為( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不確定
解析：選C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；
則兩圓心之間的距離為|C1C2|＝＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故選C.
2．(2020·嘉興模擬)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A
20、處的切線互相垂直，則線段AB的長度是________．
解析：⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直，如圖，可知兩切線分別過另一圓的圓心，所以O1A⊥OA.
又因為|OA|＝，|O1A|＝2，
所以|OO1|＝5.又A，B關于OO1所在直線對稱，
所以AB長為Rt△OAO1斜邊上的高的2倍．
所以|AB|＝2 ×＝4.
答案：4
核心素養(yǎng)系列19 直觀想象——解決直線與圓的綜合問題
直觀想象是發(fā)現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎．
在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，B(5，
21、0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________．
【解析】 法一：如圖．
由題意易得∠BAD＝45°.
設直線DB的傾斜角為θ，則tan θ＝－，
所以tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
所以kAB＝－tan∠ABO＝－3.
所以AB的方程為y＝－3(x－5)，
由得xA＝3.
法二：設A(a，2a)，a>0，則C，
所以圓C的方程為＋(y－a)2＝＋a2，
由得
所以·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，所以a＝3或a＝－1，又a>0，所以a＝3，所以點A的橫坐標為3.
法三：因為·＝0，所以AB⊥CD，
22、又點C為AB的中點，所以∠BAD＝45°.設直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得，所以點A的橫坐標為3.
【答案】 3
本題法一，把·＝0的數量關系，轉化為CD⊥AB，進而推出∠BAD＝45°，結合圖形得出直線AB的斜率，體現核心素養(yǎng)中的直觀想象．
[基礎題組練]
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個數為( )
A
23、．4 B．3
C．2 D．1
解析：選C.(直接法)集合A表示圓，集合B表示一條直線，又圓心(0，0)到直線x＋y＝1的距離d＝＝<1＝r，所以直線與圓相交．
2．直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點，則m的取值范圍是( )
A．[－，]
B．[－2，2]
C．[－－1，－1]
D．[－2－1，2－1]
解析：選D.圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2，1)，半徑為2，圓心到直線的距離d＝＝，若直線l與圓C恒有公共點，則≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故選D.
3．若圓x2＋y2＝a2與圓x2
24、＋y2＋ay－6＝0的公共弦長為2，則a的值為( )
A．±2 B．2
C．－2 D．無解
解析：選A.圓x2＋y2＝a2的圓心為原點O，半徑r＝|a|.
將x2＋y2＝a2與x2＋y2＋ay－6＝0左右分別相減，
可得a2＋ay－6＝0，即得兩圓的公共弦所在直線的方程為a2＋ay－6＝0.
原點O到直線a2＋ay－6＝0的距離d＝，
根據勾股定理可得a2＝()2＋，
所以a2＝4，所以a＝±2.故選A.
4．(2020·臺州中學高三月考)若直線y＝kx＋4＋2k與曲線y＝有兩個交點，則k的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(－∞，－
25、1]
解析：選B.曲線y＝ 即x2＋y2＝4(y≥0)，
表示一個以(0，0)為圓心，以2為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示．
直線y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒過點(－2，4)，斜率為k的直線，
結合圖形可得kAB＝＝－1，
因為＝2，解得k＝－，即kAT＝－，
所以要使直線與半圓有兩個不同的交點，k的取值范圍是.
5．圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E為整數)的圓心C到直線4x－3y＋3＝0的距離為1，且圓C被截x軸所得的弦長|MN|＝4，則E的值為( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
解析：選C.圓心C.
由題意
26、得＝1，
即|4D－3E－6|＝10，①
在圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.
設M(x1，0)，N(x2，0)，則x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.
由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，
(－D)2－4×(－3)＝16.
因為D<0，所以D＝－2.
將D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，
所以E＝－8或E＝－(舍去)．
6．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則當t取得最大值時，點P的坐標是( )
A.
27、 B.
C. D.
解析：選D.設P(a，b)為圓上一點，由題意知，·＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值為3，此時kOP＝，OP所在直線的傾斜角為30°，所以點P的縱坐標為，橫坐標為3×＝，即P.
7．(2020·浙江高中學科基礎測試)由直線3x－4y＋5＝0上的一動點P向圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0引切線，則切線長的最小值為________．
解析：當直線上的點到圓心(2，－1)的距離最短時，切線長最?。藭r，圓心到直線的距離
d＝＝3，r＝1，所以切線長為2.
答案：2
28、
8．(2020·杭州七校聯(lián)考)已知圓C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直線l過圓心且交圓C于A，B兩點，交y軸于P點，若2 ＝，則直線l的斜率k＝________．
解析：依題意得，點A是線段PB的中點，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3，過圓心C(3，5)作y軸的垂線，垂足為C1，則|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.記直線l的傾斜角為θ，則有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.
答案：±2
9．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為________．
解析：已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圓心為C(1，2
29、)，半徑r＝，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得＝，所以|PC|＝2sin∠PAC≤2，故|PC|的最大值為2.
答案：2
10．(2020·紹興柯橋區(qū)高三下學期考試)已知圓O1和圓O2都經過點(0，1)，若兩圓與直線4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，則|O1O2|＝________．
解析：如圖，因為原點O到直線4x－3y＋5＝0的距離d＝＝1，到直線y＝－1的距離為1，且到(0，1)的距離為1，
所以圓O1和圓O2的一個圓心為原點O，不妨看作是圓O1，
設O2(a，b)，則由題意：
，解得.
所以|O1O2|
30、＝＝.
答案：
11．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝9內有一點P(2，2)，過點P作直線l交圓C于A，B兩點．
(1)當l經過圓心C時，求直線l的方程；
(2)當直線l的傾斜角為45°時，求弦AB的長．
解：(1)已知圓C：(x－1)2＋y2＝9的圓心為C(1，0)，因為直線過點P，C，所以kPC＝＝2，直線l的方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)當直線l的傾斜角為45°時，斜率為1，直線l的方程為y－2＝x－2，即x－y＝0，圓心C到直線l的距離為，又因為圓的半徑為3，所以弦AB的長為.
12．圓O1的方程為x2＋(y＋1)
31、2＝4，圓O2的圓心坐標為(2，1)．
(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；
(2)若圓O1與圓O2相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求圓O2的方程．
解：(1)因為圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，
所以圓心O1(0，－1)，半徑r1＝2.
設圓O2的半徑為r2，由兩圓外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.
所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)設圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，
相減得AB所在的直線方程為4x＋4y＋r
32、－8＝0.
設線段AB的中點為H，
因為r1＝2，所以|O1H|＝＝.
又|O1H|＝＝，
所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
[綜合題組練]
1．兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R且ab≠0，則＋的最小值為( )
A．1 B．3
C. D.
解析：選A.由題意知兩圓的標準方程為(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圓心分別為(－a，0)和(0，2b)，半徑分別為2和1，因為兩圓恰有三條公切線，所以兩圓外切，故
33、有＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥×(1＋4＋4)＝1.當且僅當＝，即|a|＝|b|時取等號，故選A.
2．在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標a的取值范圍是( )
A. B．[0，1]
C. D.
解析：選A.因為圓心在直線y＝2x－4上，
所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
設點M(x，y)，因為MA＝2MO，所以＝2，
化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上
34、．
由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；
由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.
所以點C的橫坐標a的取值范圍為.故選A.
3．(2020·浙江省鎮(zhèn)海中學高三模擬)已知點P(a，b)關于直線l的對稱點為P′(b＋1，a－1)，則圓C：x2＋y2－6x－2y＝0關于直線l對稱的圓C′的方程為______________；
圓C與圓C′的公共弦的長度為________．
解析：由題設將圓C：x2＋y2－6x－2y＝0中的x，y換為y＋1，x－1可得圓C′的方程為(y＋1)2＋
35、(x－1)2－6(y＋1)－2(x－1)＝0，即x2＋y2－4x－4y－2＝0，也即(x－2)2＋(y－2)2＝10；將兩圓的方程兩邊相減可得公共弦的直線方程為x－y－1＝0，圓心C′(2，2)到該直線的距離d＝，半徑r＝，故弦長L＝2＝.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10
4．已知拋物線C：y2＝2x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．
(1)證明：坐標原點O在圓M上；
(2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．
解：(1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝
36、－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐標原點O在圓M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標為(m2＋2，m)，
圓M的半徑r＝.
由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M
37、的坐標為(3，1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為，圓M的半徑為，圓M的方程為＋＝.
5．(2020·富陽市場口中學高三質檢)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是正整數，且與直線4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圓的方程；
(2)設直線ax－y＋5＝0(a＞0)與圓相交于A，B兩點，求實數a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，是否存在實數a，使得弦AB的垂直平分線l過點P(－2，4)，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)設圓心為M(m，0)(m∈N*)．
38、由于圓與直線4x＋3y－29＝0相切，且半徑為5，
所以＝5，
即|4m－29|＝25.因為m為正整數，故m＝1.
故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝25.
(2)把直線ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5
代入圓的方程，消去y，
整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，
由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點，
故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，
即12a2－5a＞0，由于a＞0，解得a＞，
所以實數a的取值范圍是.
(3)設符合條件的實數a存在，
則直線l的斜率為－，
l的方程為y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.
由于l垂直平分弦AB，故圓心M(1，0)必在l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.
由于∈，故存在實數a＝，
使得過點P(－2，4)的直線l垂直平分弦AB.
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（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 4 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關系教學案
