2022高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值學(xué)案 新人教B版選修2-2
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1、2022高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值學(xué)案 新人教B版選修2-2 1.理解函數(shù)極值、極值點(diǎn)的有關(guān)概念,掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法. 2.注意結(jié)合函數(shù)的圖象理解用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值(最值)的方法,逐步養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題和解決問題的思維習(xí)慣. 1.函數(shù)的極值與最值 (1)已知函數(shù)y=f(x),設(shè)x0是定義域內(nèi)任一點(diǎn),如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x,都有______<f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值,記作y極大=f(x0),并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)________.如果在x0附近都有__________,則稱函數(shù)f(x)
2、在點(diǎn)x0處取極小值,記作y極?。絝(x0),并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)________. (2)極大值與極小值統(tǒng)稱為______,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為______. (3)函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)在指定區(qū)間上的最大(小)的值. (1)極值是一個(gè)局部概念.由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小. (2)函數(shù)的極值不是唯一的,即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè). (3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.如圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小
3、值點(diǎn),而f(x4)>f(x1). (4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能是區(qū)間的端點(diǎn). 【做一做1-1】下列說法中正確的是( ). A.若f(x)≥f(x0),則f(x0)為f(x)的極小值 B.若f(x)≤f(x0),則f(x0)為f(x)的極大值 C.若f(x0)為f(x)的極大值,則f(x)≤f(x0) D.以上都不對(duì) 【做一做1-2】若函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值,則( ). A.極大值一定是最大值,且極小值一定是最小值 B.極大值一定是最大值,或極小值一定是最小值 C.極
4、大值不一定是最大值,極小值也不一定是最小值 D.極大值必大于極小值 2.求函數(shù)y=f(x)極值的步驟 第1步:求________; 第2步:求方程________的所有實(shí)數(shù)根; 第3步:考察在每個(gè)根x0附近,從左到右,導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化.如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù),則f(x0)是______;如果由負(fù)變正,則f(x0)是______. 如果在f′(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f′(x)的符號(hào)不變,則f(x0)不是極值. 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),如f(x)=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)f′(0)=0,但x=0不是它的極值點(diǎn),即可
5、導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)=0是該函數(shù)在x0處取得極值的必要不充分條件. 【做一做2-1】函數(shù)y=x2+x+1的極小值是( ). A.1 B. C. D.不存在 【做一做2-2】若函數(shù)y=2x3-3x2+a的極大值是6,則a=________. 3.求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟 第1步:求f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)所有使f′(x)=0的點(diǎn). 第2步:計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)使f′(x)=0的所有點(diǎn)和端點(diǎn)的______,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值. 利用導(dǎo)數(shù)法求最值,實(shí)質(zhì)是比較某些特
6、殊點(diǎn)的函數(shù)值來得到最值.因此,我們可以在導(dǎo)數(shù)法求最值的基礎(chǔ)上進(jìn)行變通,令f′(x)=0得到方程的根x1,x2,…,直接求得函數(shù)值f(x1),f(x2),…,然后再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較就可以了,省略了判斷極值的過程.當(dāng)然導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合,也可以求最值. 【做一做3】函數(shù)f(x)=x3+x2-x在區(qū)間[-2,1]上的最大值為________,最小值為________. 函數(shù)的極值與最值有何關(guān)系? 剖析:如果函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo),也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)、函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn). 觀察下圖中一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)的圖象.圖中f(x1)與f(x3)是極小值,f(
7、x2)是極大值.函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值是f(b),最小值是f(x3). 一般地,在區(qū)間[a,b]上如果函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,那么該函數(shù)在[a,b]上必有最大值與最小值. 注意:(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,則該函數(shù)不一定有最大值與最小值,如函數(shù)f(x)=在(0,+∞)內(nèi)連續(xù),但沒有最大值與最小值. (2)函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的. (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線,是f(x)在區(qū)間[a,b]上有最大值與最小值的充分而不必要條
8、件. (4)函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能一個(gè)也沒有. 題型一 求函數(shù)的極值 【例題1】求下列各函數(shù)的極值: (1)f(x)=x2·e-x; (2)y=. 分析:按照求極值的方法,首先從方程f′(x)=0入手,求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)所有可解的極值點(diǎn),然后按極值的定義判斷并求值. 反思:函數(shù)的極值研究是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn),可加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解,y=f(x)的導(dǎo)數(shù)存在時(shí),f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0處有極值的必要條件,只有再加上x0兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反,才能斷定y=f(x)在x=x0處取得極值
9、. 題型二 求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最值 【例題2】已知函數(shù)f(x)=-x,求函數(shù)f(x)的最大值. 分析:求出f(x)的極值及定義域區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較得到最大值. 反思:如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值可簡(jiǎn)化過程,即直接將極值點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較,即可判定最大(或最小)的函數(shù)值,就是最大(或最小)值. 題型三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值 【例題3】已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,問是否存在實(shí)數(shù)a,b使f(x)在區(qū)間[-1
10、,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 分析:利用求最值的方法確定a,b的值,注意對(duì)a的討論. 反思:此類題目屬于逆向思維題,但仍可根據(jù)求函數(shù)最值的步驟來求解,借助于待定系數(shù)法求其參數(shù)值. 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),因此已知函數(shù)的極值點(diǎn)求某些參變量的值時(shí),應(yīng)驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合題意. 【例題4】已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0,求常數(shù)a,b的值. 錯(cuò)解:因?yàn)閒(x)在x=-1處有極值0,且f′(x)=3x2+6ax+b,所以即解得或綜上所述,a=
11、1,b=3或a=2,b=9. 1下列結(jié)論中,正確的是( ). A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B.如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值 C.如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極小值 D.如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極大值 2下列說法正確的是( ). A.函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值,則其極大值便是最大值,極小值便是最小值 B.閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)一定有最值,也一定有極值 C.若函數(shù)在其定義域上有最值,則一定有極值,反之,若有極值則一定有最值
12、 D.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則最多有一個(gè)最大值,一個(gè)最小值;但若有極值,則可有多個(gè)極值甚至無窮多個(gè) 3函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是( ). A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 4函數(shù)f(x)=2x3-6x2-18x+7的極大值為__________,極小值為__________. 5函數(shù)y=2x3-6x2+m(m為常數(shù)),在區(qū)間[-2,2]上有最大值3,那么它在區(qū)間[-2,2]上的最小值為________. 答案: 基礎(chǔ)知識(shí)·梳理 1.(1)f(x) 極大值點(diǎn) f(x)>
13、f(x0) 極小值點(diǎn) (2)極值 極值點(diǎn) 【做一做1-1】D 【做一做1-2】C 2.導(dǎo)數(shù)f′(x) f′(x)=0 極大值 極小值 【做一做2-1】B 【做一做2-2】6 y′=6x2-6x=6x(x-1),∴當(dāng)x(-∞,0)或x(1,+∞)時(shí),y′>0,原函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)x(0,1)時(shí),y′<0,原函數(shù)為減函數(shù),故當(dāng)x=0時(shí),y極大值=a=6. 3.函數(shù)值 【做一做3】1?。? f(x)′=3x2+2x-1,令f(x)′=0,得x1=-1,x2=,又f(-1)=1,f()=-,f(-2)=-2,f(1)=1,故函數(shù)的最大值為1,最小值為-2. 典型例題·領(lǐng)悟 【例題1】解
14、:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, f′(x)=2xe-x+x2e-x(-x)′=x(2-x)e-x, 令f′(x)=0,得x=0或x=2, 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 極小值0 極大值4e-2 從表中可以看出, 當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)有極小值,且f(0)=0; 當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有極大值,且f(2)=4e-2. (2)y′=,令y′=0,得x=,當(dāng)x在R上取值時(shí),y′,y的變化情況如下表: x y′ +
15、 0 - y 極大值 ∴當(dāng)x=時(shí),函數(shù)取得極大值,且f()=. 【例題2】解:∵f′(x)=-1,令f′(x)=0,得x2=1-ln x,顯然x=1是方程的解.令g(x)=x2+ln x-1,x(0,+∞),則g′(x)=2x+>0,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào),∴x=1是方程f′(x)=0的唯一解. ∵當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)=-1>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最大值f(x)max=f(1)=-1. 【例題3】解:顯然a≠0, f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-
16、4), 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). (1)當(dāng)a>0,x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化狀態(tài)如下表: x [-1,0] 0 [0,2] f′(x) + 0 - f(x) 極大值 所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值.所以b=3. 又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2), 所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最小值,所以-16a+3=-29,即a=2. (2)當(dāng)a<0,x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化狀態(tài)如下表: x [-1,0] 0 [0,2] f′(x) - 0 + f(x)
17、 極小值 所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值. 所以b=-29. 又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1), 所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值,所以-16a-29=3,即a=-2. 綜上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 【例題4】錯(cuò)因分析:根據(jù)極值定義,函數(shù)先減后增為極小值,函數(shù)先增后減為極大值,錯(cuò)解中未驗(yàn)證x=-1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性,故求錯(cuò). 正解:因?yàn)閒(x)在x=-1處有極值0,且f′(x)=3x2+6ax+b,所以即解得或當(dāng)a=1,b=3時(shí)f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上為增函數(shù),無極
18、值,故舍去,當(dāng)a=2,b=9時(shí),f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),當(dāng)x(-3,-1)時(shí),f(x)為減函數(shù);當(dāng)x-1,+∞)時(shí),f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x=-1處取得極小值,因此a=2,b=9. 隨堂練習(xí)·鞏固 1.B 2.D 3.A 由f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2. 因?yàn)閒(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, 所以f(2)<f(3)<f(0). 所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15. 4.17?。?7 由f′(x)=6x2-12x-18=6(x+1)(x-3)=0,得x=-1或x=3,當(dāng)x(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x(-1,3)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x(3,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以極大值為f(-1)=17,極小值為f(3)=-47. 5.-37 y′=6x2-12x=6x(x-2), ∴在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的極值點(diǎn),且為極大值點(diǎn). ∴f(x)極大值=f(0)=m, 又f(-2)=-16-24+m=m-40, f(2)=16-24+m=m-8. 容易判斷m-40<m-8<m,∴m=3. ∴f(x)min=m-40=-37.
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