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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1.2 演繹推理學(xué)案 新人教B版選修2-2 1．掌握演繹推理的基本模式，特別是三段論模式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些推理模式進(jìn)行推理． 2．了解合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系和區(qū)別． 1．演繹推理 根據(jù)概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過程，叫做________．它的特征是：當(dāng)前提為____時(shí)，結(jié)論______為真． 演繹推理的特點(diǎn)： (1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中． (2)在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正

2、確的，那么結(jié)論也必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具． (3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它的創(chuàng)造性較少，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化． 【做一做1】演繹推理是(　　)． A．部分到整體，個(gè)別到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理 2．演繹推理的四種推理規(guī)則 (1)假言推理：用符號(hào)表示這種推理規(guī)則就是“如果pq，p真，則q真”．假言推理的本質(zhì)是，通過驗(yàn)證結(jié)論的充分條件為真，判斷結(jié)論為真． (2)三段論推理：用符號(hào)表示這種推理規(guī)則就是“M是P，S是M，所以______”． (3)傳遞性

3、關(guān)系推理：用符號(hào)表示推理規(guī)則是“如果aRb，bRc，則______”，其中“R”表示具有傳遞性的關(guān)系。 (4)完全歸納推理：把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理． 三段論推理是演繹推理的一般模式，在數(shù)學(xué)證明中，以上四種演繹推理規(guī)則是經(jīng)常用到的，一道證明題，往往要綜合應(yīng)用這些推理規(guī)則．如果違背了這些規(guī)則，那么證明就是錯(cuò)誤的． 【做一做2－1】下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　)． A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)都超過50人 C．由

4、平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式 【做一做2－2】“因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因?yàn)閎∥c，所以a∥c.”以上推理的兩個(gè)步驟分別遵循的推理規(guī)則是(　　)． A．第一步遵循假言推理，第二步遵循傳遞性關(guān)系推理 B．第一步遵循三段論推理，第二步遵循假言推理 C．第一步遵循三段論推理，第二步遵循傳遞性關(guān)系推理 D．第一步遵循傳遞性關(guān)系推理，第二步遵循三段論推理 合情推理與演繹推理有哪些區(qū)別與聯(lián)系？ 剖析：區(qū)別：從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異． 合情推理 演繹推理 歸

5、納推理 類比推理 推理形式 由部分到整體或由個(gè)別到一般的推理 由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理 結(jié)論的 正確性 結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明 在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論正確 聯(lián)系：從二者在認(rèn)識(shí)事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們是緊密聯(lián)系、相輔相成的．合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的．在數(shù)學(xué)中，演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的結(jié)論的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路． 題型一 假言推理 【例題1】設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求證：以bn＝為通項(xiàng)的數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． 分析：由{an}為等差數(shù)列

6、，推證{bn}為等差數(shù)列，只要證得bn＋1－bn＝d為常數(shù)即可． 反思：假言推理的規(guī)則為“如果pq，p真，則q為真”． 題型二 三段論推理 【例題2】已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，M，N分別是△ABD和△BCD的重心，求證MN∥平面ACD. 分析：應(yīng)用線面平行的判定定理證明． 反思：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情況； (3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷． 題型三 傳遞性關(guān)系推理 【例題3】設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：＋＋＞a＋b＋c. 分析：應(yīng)用均值不等式找出a2＋b2與a＋b，b

7、2＋c2與b＋c，a2＋c2與a＋c的關(guān)系，再應(yīng)用同向不等式相加法則可證明． 反思：傳遞性關(guān)系推理論證時(shí)必須保證各量間的關(guān)系能正確傳遞． 題型四 完全歸納推理 【例題4】已知函數(shù)f(x)＝(＋)·x3. (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)證明f(x)＞0. 反思：完全歸納推理必須把所有情況都考慮在內(nèi)．完全歸納推理不同于歸納推理，后者僅僅證明了幾種特殊情況，它不能說明結(jié)論的正確性，而前者則把所有情況都作了證明． 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用三段論推理證明問題時(shí)，應(yīng)明確什么是問題中的大前提和小前提．在推理的過程中，大前提、小前提和推理形式之一錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤．

8、【例題5】如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD. 錯(cuò)證：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD. 1如圖，因?yàn)锳B∥CD，所以∠1＝∠2，又因?yàn)椤?＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理規(guī)則為(　　)． A．三段論推理、假言推理 B．三段論推理、傳遞性關(guān)系推理 C．三段論推理、完全歸納推理 D．三段論推理、三段論推理 2“因指數(shù)函數(shù)y＝ax是減函數(shù)(大前提)，且y＝3x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝3x是減函數(shù)(結(jié)論)．”上面推理的錯(cuò)誤是(　　)． A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)導(dǎo)

9、致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 3下面的推理是傳遞性關(guān)系推理的是(　　)． A．在同一三角形中若三角形兩邊相等，則該兩邊所對(duì)的內(nèi)角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C B．因?yàn)?是偶數(shù)，所以2是素?cái)?shù) C．因?yàn)閍∥b，b∥c，所以a∥c D．因?yàn)槭怯欣頂?shù)或無理數(shù)，且不是有理數(shù)，所以是無理數(shù) 4因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，|a|＞0；當(dāng)a＝0時(shí)，|a|＝0；當(dāng)a＜0時(shí)，|a|＞0，所以當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，|a|≥0.此推理過程運(yùn)用的是演繹推理中的__________推理． 5關(guān)于函數(shù)f(x)＝lg(x≠0)，有下列命題： ①其圖象關(guān)于

10、y軸對(duì)稱；②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為減函數(shù)；③f(x)的最小值是lg 2；④當(dāng)－1＜x＜0或x＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________． 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)·梳理 1．演繹推理　真　必然 【做一做1】C 2．(2)S是P　(3)aRc 【做一做2－1】A　選項(xiàng)D是歸納推理，選項(xiàng)C是類比推理，選項(xiàng)B既不是合情推理也不是演繹推理． 【做一做2－2】C 典型例題·領(lǐng)悟 【例題1】證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)? bn－bn－1＝·－·＝－＝ ＝(n≥2)，而是個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列

11、{bn}為等差數(shù)列． 【例題2】證明：如圖，連結(jié)BM，BN，并延長(zhǎng)，分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)PQ.因?yàn)镸，N分別是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分別是AD，DC的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?＝，所以MN∥PQ.又因?yàn)镸N?平面ADC，PQ?平面ADC，所以MN∥平面ACD. 【例題3】證明：因?yàn)閍2＋b2≥2ab，a，b，c為正實(shí)數(shù)，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.所以a2＋b2≥.所以≥(a＋b)．同理≥(a＋c).≥(b＋c)，所以有＋＋≥(2a＋2b＋2c)＝(a＋b＋c)．即＋＋≥(a＋b＋c)． 又(a＋b＋c)＞a＋b＋c，所以＋＋＞a＋b＋c

12、. 【例題4】(1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x－1≠0，即{x|x≠0}，f(－x)－f(x)＝(－x)3－x3＝(－x)3－x3＝·x3－x3－x3－x3 ＝x3－x3＝0. 所以f(－x)＝f(x)． 所以f(x)是偶函數(shù)． (2)證明：因?yàn)閤≠0， 所以當(dāng)x＞0時(shí)，2x＞1,2x－1＞0，x3＞0， 所以f(x)＞0； 當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(x)＝f(－x)＞0， 所以f(x)＞0. 【例題5】錯(cuò)因分析：錯(cuò)證中由AD＞BD得出∠ACD＞∠BCD是錯(cuò)誤的，因?yàn)橹挥性谕粋€(gè)三角形中才有大邊所對(duì)的角較大這一結(jié)論成立． 正確證法：在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB，所以∠

13、ACD＋∠A＝∠BCD＋∠B＝90°.又AC＞BC，所以∠B＞∠A，于是∠ACD＞∠BCD. 隨堂練習(xí)·鞏固 1．B　本題前面證∠1＝∠2用的是三段論推理，后半部分證∠1＝∠3用的是傳遞性關(guān)系推理． 2．A　y＝ax(a＞0，a≠1)的單調(diào)性與a有關(guān)，若a＞1，則為增函數(shù)；若0＜a＜1，則為減函數(shù)． 3．C 4．完全歸納 5．①③④　顯然f(－x)＝f(x)， ∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lg ＝lg. ∵φ(x)＝x＋在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)． ∴f(x)min＝f(1)＝lg 2. ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(x)在(－1,0)上是增函數(shù)．