第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 知識點 最新考綱 函數(shù)及其表示 了解函數(shù)、映射的概念． 了解函數(shù)的定義域、值域及三種表示法(解析法、圖象法和列表法)． 了解簡單的分段函數(shù)，會用分段函數(shù)解決簡單的問題. 函數(shù)的基本性質(zhì) 理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，會判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性． 理解函數(shù)的最大(小)值的含義，會求簡單函數(shù)的最大(小)值. 指數(shù)函數(shù) 了解指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運算． 理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用. 對數(shù)函數(shù) 理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式． 理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用. 冪函數(shù) 了解冪函數(shù)的概念． 掌握冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象和性質(zhì). 函數(shù)與方程 了解函數(shù)零點的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法. 函數(shù)模型及其應(yīng)用 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征． 能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決. 第1講　函數(shù)及其表示 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合 A、B 設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個非空的集合 對應(yīng)關(guān)系 f：A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)(x∈A) 對應(yīng)f：A→B是一個映射 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法． 3．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a最多有2個交點．(　　) (2)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)．(　　) (3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．(　　) (4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，則對應(yīng)關(guān)系f是從A到B的映射．(　　) (5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．(　　) (6)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [教材衍化] 1．(必修1P18例2改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2　　　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析：選B.對于A，函數(shù)y＝()2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B. 2．(必修1P25B組T1改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是________． 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5] 3．(必修1P19T1(2)改編)函數(shù)y＝·的定義域是________． 解析：?x≥2. 答案：[2，＋∞) [易錯糾偏] (1)對函數(shù)概念理解不透徹； (2)換元法求解析式，反解忽視范圍． 1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f中不是函數(shù)的是________．(填序號) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 解析：對于③，因為當(dāng)x＝4時，y＝×4＝?Q，所以③不是函數(shù)． 答案：③ 2．已知f()＝x－1，則f(x)＝________． 解析：令t＝，則t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)． 答案：x2－1(x≥0) 　　　　　　函數(shù)的定義域 　(1)(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)函數(shù)f(x)＝的定義域為________． (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為________． (3)若函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為________． 【解析】　(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使 解得x<－. 所以函數(shù)f(x)的定義域為. (2)由得0≤x<1，即定義域是[0，1)． (3)因為函數(shù)f(x)的定義域為R，所以2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 【答案】　(1)　(2)[0，1)　(3)[－1，0] (變條件)若將本例(2)中“函數(shù)y＝f(x)”改為“函數(shù)y＝f(x＋1)”，其他條件不變，如何求解？ 解：由函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域為[0，2]， 得函數(shù)y＝f(x)的定義域為[1，3]， 令得≤x≤且x≠1. 所以g(x)的定義域為∪. 函數(shù)定義域的求解策略 (1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題．在解不等式組取交集時可借助于數(shù)軸，要特別注意端點值的取舍． (2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定義域． (3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式(組)，然后求解． [提醒]　(1)求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡； (2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式．　 1．(2020·浙江新高考優(yōu)化卷)函數(shù)f(x)＝＋lg(－3x2＋5x＋2)的定義域是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：選B.依題意可得，要使函數(shù)有意義，則有 ，解得－<x<1.故選B. 2．(2020·浙江新高考預(yù)測卷)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則A∪B＝(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(－∞，1] D．(－∞，1) 解析：選C.因為由x－x2≥0得0≤x≤1， 所以A＝{x|0≤x≤1}． 由1－x>0得x<1， 所以B＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x≤1}． 故選C. 3．若函數(shù)f(x)＝的定義域為實數(shù)集，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：由題意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立． 當(dāng)m＝0時，1≥0恒成立； 當(dāng)m≠0時，則 解得0<m≤4. 綜上可得0≤m≤4. 答案：[0，4] 　　　　　　求函數(shù)的解析式 (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)； (4)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 【解】　(1)(配湊法)由于f＝x2＋＝－2， 所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2， 故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2. (2)(換元法)令＋1＝t得x＝， 代入得f(t)＝lg ，又x＞0，所以t＞1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x＞1. (3)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x，x∈R. (4)(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 所以f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R. 求函數(shù)解析式的4種方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式． (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法． (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍． (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． [提醒]　求解析式時要注意新元的取值范圍．　 1．(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)的解析式為f(x)＝__________． 解析：法一：設(shè)t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：因為x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． 答案：x2－1(x≥1) 2．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2，則f(x)的解析式為f(x)＝________． 解析：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又因為方程f(x)＝0有兩個相等的實根， 所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. 答案：x2＋2x＋1 　　　　　　分段函數(shù)(高頻考點) 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題．主要命題角度有： (1)分段函數(shù)求值； (2)已知函數(shù)值，求參數(shù)的值(或取值范圍)； (3)與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題． 角度一　分段函數(shù)求值 (2020·杭州蕭山中學(xué)高三適應(yīng)性考試)若函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2，則f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f＝________． 【解析】　f(8)＝log28＝3，g[f(2)]＝g(log22)＝g(1)＝1，f＝f＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0. 【答案】　3　1　0 角度二　已知函數(shù)值求參數(shù)的值(或取值范圍) (2020·瑞安市龍翔高中高三月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f(f(a))＝3，則a＝________． 【解析】　函數(shù)f(x)＝，若f(f(a))＝3，當(dāng)a≥1時，可得f(－2a2＋1)＝3，可得log2(2a2)＝3，解得a＝2. 當(dāng)a<1時，可得f(log2(1－a))＝3，log2(1－a)≥1時，可得－2(log2(1－a))2＋1＝3，解得a∈?. log2(1－a)<1時，可得log2(1－log2(1－a))＝3，即1－log2(1－a)＝8，log2(1－a)＝－7，1－a＝，可得a＝. 綜上得a的值為2或. 【答案】　2或 角度三　與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題 (2020·鎮(zhèn)海中學(xué)5月模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝________，若f(x)≥2，則x的取值范圍為________． 【解析】　由分段函數(shù)的表達式得f(－2)＝－2＝4－2＝2，f(2)＝0，故f(f(－2))＝0. 若x≤－1，由f(x)≥2得－2≥2，得≥4，則2－x≥4， 得－x≥2，則x≤－2，此時x≤－2. 若x＞－1，由f(x)≥2得(x－2)(|x|－1)≥2， 即x|x|－x－2|x|≥0， 若x≥0，得x2－3x≥0，則x≥3或x≤0，此時x≥3或x＝0； 若－1＜x＜0，得－x2＋x≥0，得x2－x≤0，得0≤x≤1，此時無解． 綜上得x≥3或x＝0或x≤－2. 【答案】　0　x≥3或x＝0或x≤－2 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式，求函數(shù)值的解題思路 先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． (2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求參數(shù)值的解題思路 先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程．然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗． (3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式，求自變量取值范圍的解題思路 依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來．　 1．(2020·浙江教育評價高三第二次聯(lián)考))設(shè)函數(shù)f(x)＝，則f(f(4))＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：選C.f(f(4))＝f(－31)＝log2 32＝5.故選C. 2．(2020·Z20聯(lián)盟開學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)≤1，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．[－1，2] C．[－4，0)∪(0，2] D．[－4，2] 解析：選D.f(a)≤1?或 解得－4≤a≤0或0<a≤2，即a∈[－4，2]，故選D. 核心素養(yǎng)系列2　數(shù)學(xué)抽象——函數(shù)的新定義問題 以學(xué)習(xí)過的函數(shù)相關(guān)知識為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題． 在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．給出下列函數(shù)： ①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3； ③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x. 其中是一階整點函數(shù)的是(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 【解析】　對于函數(shù)f(x)＝sin 2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D； 對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A； 對于函數(shù)h(x)＝，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B.故選C. 【答案】　C 本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是：緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個整點，問題便迎刃而解． 1．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為y＝x2＋1，值域為{1，3}的同族函數(shù)有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函數(shù)的定義域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域為{1，3}的同族函數(shù)共有3個． 2．若定義在R上的函數(shù)f(x)當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個非零自變量x，使得f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為“類偶函數(shù)”，則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x 解析：選D.A中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內(nèi)均滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；B中，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時，滿足f(x)＝f(－x)，不符合題意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合題意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，滿足題意，故選D. [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)f(x)＝＋ln(3x－x2)的定義域是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(3，＋∞) C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞) 解析：選C.由解得2＜x＜3，則該函數(shù)的定義域為(2，3)，故選C. 2．(2020·嘉興一模)已知a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(2a＋2)的值為(　　) A．2a B．a(chǎn) C．2 D．a(chǎn)或2 解析：選B.因為函數(shù)f(x)＝ 所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故選B. 3．下列哪個函數(shù)與y＝x相等(　　) A．y＝　　　　　　　　　 B．y＝2log2x C．y＝ D．y＝()3 解析：選D.y＝x的定義域為R，而y＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定義域為{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定義域為x∈R，對應(yīng)關(guān)系與y＝x的對應(yīng)關(guān)系不同，排除C；而y＝()3＝x，定義域和對應(yīng)關(guān)系與y＝x均相同，故選D. 4．(2020·杭州七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　) A．3 B．0 C．－1 D．－2 解析：選B.因為函數(shù)f(x)＝x3＋cos＋1， 所以f(x)＝x3＋sin x＋1， 因為f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2， 所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故選B. 5．已知a，b為兩個不相等的實數(shù)，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a＋b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由已知可得M＝N， 故? 所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的兩根，故a＋b＝4. 6．存在函數(shù)f(x)滿足：對于任意x∈R都有(　　) A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1| 解析：選D.取特殊值法． 取x＝0，，可得f(0)＝0，1，這與函數(shù)的定義矛盾， 所以選項A錯誤； 取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，這與函數(shù)的定義矛盾， 所以選項B錯誤； 取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，這與函數(shù)的定義矛盾， 所以選項C錯誤； 取f(x)＝，則對任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故選項D正確． 7．已知f＝，則f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－ C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 解析：選C.令＝t，則x＝，所以f(t)＝＝，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝，故選C. 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則(a≠b)的值為(　　) A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)，b中較小的數(shù) D．a(chǎn)，b中較大的數(shù) 解析：選C.若a－b＞0，即a＞b，則f(a－b)＝－1， 則＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)； 若a－b＜0，即a＜b，則f(a－b)＝1， 則＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．綜上，選C. 9．(2020·紹興高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f(f())＝2，則實數(shù)n為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D.因為f()＝2×＋n＝＋n，當(dāng)＋n＜1，即n＜－時，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合題意；當(dāng)＋n≥1，即n≥－時，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故選D. 10．設(shè)f(x)，g(x)都是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：對任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝則(　　) A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x) C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x) 解析：選A.對于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝當(dāng)x＞0時，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；當(dāng)x＜0時，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；當(dāng)x＝0時，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此對任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正確，選A. 11.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－1，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為________．　 解析：由題圖可知，當(dāng)－1≤x<0時，f(x)＝x＋1；當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝－x，所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 12．若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(1)＝________． 解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，① 令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，② 聯(lián)立①②得f(1)＝2. 答案：2 13．函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出． x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))＞g(f(x))的x的值為________． 解析：因為g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1. 當(dāng)x＝1時，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合題意． 當(dāng)x＝2時，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合題意． 當(dāng)x＝3時，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合題意． 答案：1　2 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍是________． 解析：f(x)≥1等價于或 由得x≤－2或0≤x＜1. 由得1≤x≤10. 綜上所述，x的取值范圍是x≤－2或0≤x≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10] 15．已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． 解析：當(dāng)a>0時，1－a<1，1＋a>1，此時f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－. 不合題意，舍去． 當(dāng)a<0時，1－a>1，1＋a<1， 此時f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a， 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－. 綜上可知，a的值為－. 答案：－ 16．(2020·杭州市富陽二中高三(上)開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________． 解析：由題意可得f(－2)＝(－2)2＝4， 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－； 因為當(dāng)x≤1時，f(x)＝x2， 由二次函數(shù)可知當(dāng)x＝0時，函數(shù)取最小值0； 當(dāng)x>1時，f(x)＝x＋－6， 由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6 ＝2－6， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝即x＝時取到等號，即此時函數(shù)取最小值2－6； 因為2－6<0，所以f(x)的最小值為2－6. 答案：－　2－6 17．已知函數(shù)f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：易知a≠0.由題意得，當(dāng)a>0時，則－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化簡可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因為a>0，所以a>2.當(dāng)a<0時，則－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化簡可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因為a<0，所以a<－2.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) [綜合題組練] 1．設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgn x＝則(　　) A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 解析：選D.當(dāng)x<0時，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故選D. 2．(2020·寧波市九校期末聯(lián)考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函數(shù)f(x)對任意的x∈R都成立的序號為________． 解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，則f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1對x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，對0＜t≤1，y＝f(t)不能構(gòu)成函數(shù)，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1時，x∈?；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能構(gòu)成函數(shù)；④f(|x|)＝3x＋3－x，當(dāng)x≥0時，f(x)＝3x＋3－x；當(dāng)x＜0時，f(－x)＝3x＋3－x；將x換為－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．綜上可得①④符合條件． 答案：①④ 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式； (2)畫出f(x)的圖象． 解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1， 所以f(x)＝ (2)f(x)的圖象如圖： 4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ (1)求f(g(2))與g(f(2))； (2)求f(g(x))與g(f(x))的表達式． 解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)當(dāng)x>0時，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x； 當(dāng)x<0時，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝ 同理可得g(f(x))＝ 5．設(shè)計一個水渠，其橫截面為等腰梯形(如圖)，要求滿足條件AB＋BC＋CD＝a(常數(shù))，∠ABC＝120°，寫出橫截面的面積 y關(guān)于腰長x的函數(shù)，并求它的定義域和值域． 解：如圖，因為AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0， 即0<x<，因為∠ABC＝120°，所以∠A＝60°， 所以AE＝DF＝，BE＝x， y＝(BC＋AD)·BE＝ ＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax) ＝－＋a2， 故當(dāng)x＝時，y有最大值a2，它的定義域為，值域為. 6．已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在區(qū)間[0，1]上有表達式f(x)＝x2. (1)求f(－1)，f(1.5)； (2)寫出f(x)在區(qū)間[－2，2]上的表達式． 解：(1)由題意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0， f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－. (2)當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x2； 當(dāng)x∈(1，2]時，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2； 當(dāng)x∈[－1，0)時，x＋1∈[0，1)， f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2； 當(dāng)x∈[－2，－1)時，x＋1∈[－1，0)， f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2. 所以f(x)＝. 18