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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 送分專(zhuān)題 第2講 平面向量練習(xí) 理
一、選擇題
1.已知向量a,b不共線(xiàn),c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c與d同向
B.k=1且c與d反向
C.k=-1且c與d同向
D.k=-1且c與d反向
解析:由c∥d,則存在λ使c=λd,即ka+b=λa-λb,
∴(k-λ)a+(λ+1)b=0,又a與b不共線(xiàn),∴k-λ=0,且λ+1=0,
∴k=-1,此時(shí)c=-a+b=-(a-b)=-d.故c與d反向,選D.
答案:D
2.已知a與b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量,且向量a+λb與-(b-3a)共線(xiàn),則λ的值為
2、( )
A.1 B.-1
C. D.-
解析:由題意知a+λb=-k(b-3a)=-kb+3ka,
∴解得
答案:D
3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于( )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
解析:設(shè)c=xa+yb,則(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y),
∴解得則c=a-b.
答案:B
4.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足++=,則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為( )
A.P在△ABC內(nèi)部 B.P在△ABC外部
C.P在邊AB上 D.
3、P在邊AC上
解析:由++==-,得2 +=0,
∴=2 ,即∥,∴C、P、A三點(diǎn)共線(xiàn).
答案:D
5.已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線(xiàn),并且a+b與c共線(xiàn),b+c與a共線(xiàn),那么a+b+c等于( )
A.a(chǎn) B.b
C.c D.0
解析:設(shè)a+b=λc,b+c=μa,則a-c=λc-μa,
所以(1+μ)a=(1+λ)c,
因?yàn)閍,c不共線(xiàn),
所以μ=λ=-1,
所以a+b+c=0.故選D.
答案:D
6.設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=1,a·b=-,則|a+2b|=( )
A. B.
C. D.
解析:|a+2b|2=a2+4a·b+4b
4、2=1+4×+4=3,
∴|a+2b|=.
答案:B
7.設(shè)x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,則|a+b|=( )
A. B.
C.2 D.10
解析:∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,x=2,∴a+b=(3,-1),
∴|a+b|=.
答案:B
8.已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夾角為,則實(shí)數(shù)m=( )
A.2 B.
C.0 D.-
解析:a·b=|a||b|cos,則3+m=2··,(+m)2=9+m2,解得m=.
答案:B
9.已知△ABC外接圓的半徑為1,圓心為O.若||=||,且2 ++=0,
5、則·等于( )
A. B.2
C. D.3
解析:因?yàn)? ++=0,所以(+)+(+)=0,即+=0,所以O(shè)為BC的中點(diǎn),故△ABC為直角三角形,∠A為直角,又|OA|=|AB|,則△OAB為正三角形,||=,||=1,與的夾角為30°,由數(shù)量積公式可知·=×2cos 30°=×2×=3.選D.
答案:D
10.在△ABC中,設(shè)2-2=2 ·,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的( )
A.垂心 B.內(nèi)心
C.外心 D.重心
解析:設(shè)BC邊中點(diǎn)為D,∵2-2=2 ·,∴(+)·(-)=2 ·,即·=·,∴·=0,則⊥,即MD⊥BC,∴MD為BC的垂直平分線(xiàn),∴動(dòng)點(diǎn)M的軌
6、跡必經(jīng)過(guò)△ABC的外心,故選C.
答案:C
11.若=+λ(λ>0),則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的( )
A.重心 B.垂心
C.外心 D.內(nèi)心
解析:,分別表示與,方向相同的單位向量,
記為,.以,為鄰邊作?AEDF,則?AEDF為菱形.
∴AD平分∠BAC且+=.
∴=+λ=+λ .
∴=λ .∵λ>0,
∴點(diǎn)P的軌跡為射線(xiàn)AD(不包括端點(diǎn)A).
∴點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ ABC的內(nèi)心.
答案:D
12.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有極值,則向量a與b的夾角的范圍是( )
A. B.
C. D.
7、解析:設(shè)a與b的夾角為θ.
∵f(x)=x3+|a|x2+a·bx,
∴f′(x)=x2+|a|x+a·b.
∵函數(shù)f(x)在R上有極值,
∴方程x2+|a|x+a·b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,
即Δ=|a|2-4a·b>0,
∴a·b<,
又∵|a|=2|b|≠0,
∴cos θ=<=,
即cos θ<,
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈,故選C.
答案:C
二、填空題
13.已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=,則a·b=__________.
解析:由a=(-2,-6),得|a|==2,則a·b=|a||b|cos 60°=2··=10.
8、
答案:10
14.如圖所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,點(diǎn)C在A(yíng)B上,OC⊥AB,用和來(lái)表示向量,則等于__________.
解析:根據(jù)三角形三邊關(guān)系:=,=+=+=+(-)=+.
答案:+
15.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,重心為G,若a +b +c =0,則A=__________.
解析:由G為△ABC的重心知++=0,則=--,因此a +b +c(--)=+=0,又,不共線(xiàn),所以a-c=b-c=0,即a=b=c.由余弦定理得cos A===,又0