《2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-3 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解楊輝三角，會(huì)用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí)的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用． 知識(shí)點(diǎn)　“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (a＋b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式： 思考1　從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？ 答案　在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和． 思考2　計(jì)算每一行的系數(shù)和，你又能

2、看出什么規(guī)律？ 答案　2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n. 思考3　二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？ 答案　當(dāng)n＝2,4,6時(shí)，中間一項(xiàng)最大，當(dāng)n＝3,5時(shí)中間兩項(xiàng)最大． 梳理　(1)楊輝三角的特點(diǎn) ①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等． ②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即C＝C＋C. (2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 內(nèi)容 對(duì)稱性 C＝C，即二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 增減性與最大值 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 如果n為奇數(shù)，那么其展開式中

3、間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)相等且同時(shí)取得最大值 各二項(xiàng)式 系數(shù)的和 二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 1．楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列．(　×　) 2．二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C＋C＋…＋C.(　×　) 3．二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同．(　×　) 類型一　與楊輝三角有關(guān)的問題 例1　(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是(　　) A

4、．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 (2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，…，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S(n)，則S(16)等于(　　) A．144 B．146 C．164 D．461 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　與楊輝三角有關(guān)的問題 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除． (2)由題干圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是C，第2項(xiàng)是C，第3項(xiàng)是C，第4項(xiàng)是C，…，第1

5、5項(xiàng)是C，第16項(xiàng)是C，所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C) ＝C＋C－1＝164. 反思與感悟　解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3. 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　與楊輝三角有關(guān)的問題 答案　34 解析　由題意設(shè)第n行的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，它等于二項(xiàng)展開式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以

6、在第34行中，從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比是2∶3. 類型二　二項(xiàng)式系數(shù)和問題 例2　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通項(xiàng)Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5為負(fù)值，

7、所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35. 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 引申探究 在本例條件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解　(1)因?yàn)閍0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35. 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因?yàn)閍0是(2x－1)5展開式中x5

8、的系數(shù)， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (3)因?yàn)?2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 反思與感悟　二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法 (1)對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(duì)(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各

9、項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)， 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 跟蹤訓(xùn)練2　在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和； (2)各項(xiàng)系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 解　設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a

10、2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 將兩式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝， 即所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為. 類型三　二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992. (1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng) 解　令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1

11、)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T3＝C·(3x2)2＝90x6，T4＝C·(3x2)3＝270. (2)展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C·3k·， 假設(shè)Tk＋1項(xiàng)系數(shù)最大， 則有 ∴ 即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4， ∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝C(3x2)4＝405. 反思與感悟　(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法

12、求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a＋b)n中的n進(jìn)行討論． ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． (2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法 求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項(xiàng)． 跟蹤訓(xùn)練3　寫出(x－y)11的展開式中： (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)； (3)項(xiàng)的

13、系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)； (4)二項(xiàng)式系數(shù)的和； (5)各項(xiàng)系數(shù)的和． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 解　(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)： T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6. (2)(x－y)11展開式的通項(xiàng)為 Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk， ∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為|C·(－1)k|＝C， ∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6. (3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等， 又∵第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正， 故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝

14、Cx5y6，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T6＝－Cx6y5. (4)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為C＋C＋C＋…＋C＝211. (5)令x＝y(tǒng)＝1，得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0. 1．觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　與楊輝三角有關(guān)的問題 答案　B 解析　由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 2．(1＋x)2n＋1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋

15、2，n＋3 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大(小)的項(xiàng) 答案　C 解析　2n＋1為奇數(shù)，展開式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為第項(xiàng)，第項(xiàng)，即第n＋1項(xiàng)與第n＋2項(xiàng)，故選C. 3．已知n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題 答案　C 解析　令x＝1，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，故有＝64，所以n＝6. 4．設(shè)(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的

16、值為________． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案?。?5 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k， ∴當(dāng)k＝4時(shí)，x4的系數(shù)a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 5．已知n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為________． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案　 解析　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8(負(fù)值舍去)，則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，T5＝C××(

17、2x)4＝x4，該項(xiàng)的系數(shù)為. 1．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出． 2．求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定．一般地對(duì)字母賦的值為0,1或－1，但在解決具體問題時(shí)要靈活掌握． 3．注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)． (2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k∈{0,1,2，…，n}． 一、選擇題 1．如圖是與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)

18、　與楊輝三角有關(guān)的問題 答案　C 解析　根據(jù)觀察可知，每一行除開始和末尾的數(shù)外，中間的數(shù)分別是上一行相鄰兩個(gè)數(shù)的和，當(dāng)a＝7時(shí)，上面一行的第一個(gè)數(shù)為6，第二個(gè)數(shù)為16，所以b＝6＋16＝22. 2．若n(n∈N*)的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．210 B．252 C．462 D．10 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng) 答案　A 解析　由于展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)，所以展開式項(xiàng)數(shù)為11，從而n＝10，于是得其常數(shù)項(xiàng)為C＝210. 3．已知關(guān)于x的二項(xiàng)式n展開式的二項(xiàng)系數(shù)之和為3

19、2，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為(　　) A．1 B．±1 C．2 D．±2 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案　C 解析　由條件知2n＝32，即n＝5，在通項(xiàng)公式Tk＋1＝C()5－kk＝Cak中，令15－5k＝0，得k＝3.所以Ca3＝80，解得a＝2. 4．(x－1)11的展開式中，x的奇次冪的系數(shù)之和是(　　) A．2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案　D 解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11， 令x＝－

20、1，則－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，① 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，② ＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024. 5．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 考點(diǎn)　二項(xiàng)式定理 題點(diǎn)　逆用二項(xiàng)式定理求和、化簡 答案　B 解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45. 6．設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為M，二項(xiàng)式系數(shù)和為N，若M－N＝240，則展開式中x的

21、系數(shù)為(　　) A．－150 B．150 C．300 D．－300 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù) 答案　B 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tk＋1＝C(5x)4－k·k＝(－1)k54－kC， 令4－＝1，得k＝2， 所以展開式中x的系數(shù)為(－1)2×52C＝150. 7．已知(2x－1)n二項(xiàng)展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，則C＋C＋C＋…＋C的值為(　　) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案　B 解析

22、　設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B. 則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知，B－A＝38.令x＝－1， 得，a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得， C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1. 8．關(guān)于下列(a－b)10的說法，錯(cuò)誤的是(　　) A．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1 024 B．展開

23、式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 C．展開式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題 答案　C 解析　由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正確．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C，是展開式的第6項(xiàng)，故B正確．由展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6項(xiàng)的系數(shù)－C最小，故D正確． 二、填空題 9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是___

24、_____． 考點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 題點(diǎn)　利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算 答案　6 解析　(1＋x)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n＝10時(shí)，展開式的中間項(xiàng)第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故k的最大值為6. 10．在n的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1 024，則中間項(xiàng)系數(shù)是________． 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù) 答案　462 解析　∵二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，故由題意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展開式共12項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，其系數(shù)為C＝C

25、＝462. 11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____. 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案　7 解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12. 令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12， ∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27， ∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 三、解答題 12．設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值

26、． (1)求a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 解　(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，① 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.② 與①式聯(lián)立相減得 a1＋a3

27、＋…＋a99＝. (4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1. (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在(2＋x)100的展開式中，令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2＋)100. 13．已知n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256. (1)求n； (2)若展開式中常數(shù)項(xiàng)為，求m的值； (3)若(x＋m)n展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況． 考點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題 題點(diǎn)　由特

28、定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù) 解　(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8. (2)設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第k＋1項(xiàng)，則 Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k， 故8－2k＝0，即k＝4，則Cm4＝，解得m＝±. (3)易知m>0，設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)最大． 則化簡可得≤k≤. 由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大， 所以即 所以m只能等于2. 四、探究與拓展 14．設(shè)(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則＝________. 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)的和問題 題點(diǎn)　二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題 答案?。? 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋

29、…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 15．已知(＋x2)2n的展開式的系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的系數(shù)和大992，求2n的展開式中： (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)． 考點(diǎn)　展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題 題點(diǎn)　求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng) 解　由題意得22n－2n＝992，解得n＝5. (1)10的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， 即T6＝C·(2x)5·5＝－8 064. (2)設(shè)第k＋1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大， 則Tk＋1＝C·(2x)10－k·k ＝(－1)k·C·210－k·x10－2k. ∴得 即 ∴≤k≤，k∈N，∴k＝3， 故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第4項(xiàng) T4＝(－1)3C·27·x4＝－15 360x4.