《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1 簡單幾何體學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1 簡單幾何體學(xué)案 北師大版必修2（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §1　簡單幾何體 學(xué)習(xí)目標　1.理解旋轉(zhuǎn)體與多面體的概念.2.掌握球、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征.3.掌握棱柱、棱錐、棱臺的基本性質(zhì)． 知識點一　旋轉(zhuǎn)體與多面體 旋轉(zhuǎn)體 一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體 多面體 把若干個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體 知識點二　常見的旋轉(zhuǎn)體及概念 思考1　以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐嗎？ 答案　不是．以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐的一半，不是整個圓錐． 思考2　能否由圓錐得到圓臺

2、？ 答案　用平行于圓錐底面的平面截去一個圓錐可以得到． 梳理　 名稱 圖形及表示 定義 相關(guān)概念 球 記作：球O 球面：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面．球體：球面所圍成的幾何體叫作球體，簡稱球 球心：半圓的圓心．球的半徑：連接球心和球面上任意一點的線段．球的直徑：連接球面上兩點并且過球心的線段 圓柱 記作：圓柱OO′ 以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱 高：在旋轉(zhuǎn)軸上這條邊的長度．底面：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面． 側(cè)面：不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面． 母線：不垂直于旋轉(zhuǎn)

3、軸的邊，無論轉(zhuǎn)到什么位置都叫作側(cè)面的母線 圓錐 記作：圓錐OO′ 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐 圓臺 記作：圓臺OO′ 以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓臺 特別提醒：(1)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)體軸的截面稱為該幾何體的軸截面． (2)圓柱的母線互相平行，圓錐的母線相交于圓錐的頂點，圓臺的母線延長后相交于一點． 知識點三　常見的多面體及相關(guān)概念 思考　觀察下列多面體，試指明其類別． 答案　(1)五棱柱；(2)四棱錐；(3)三棱臺． 梳理　(1)棱柱

4、 ①定義要點： (ⅰ)兩個面互相平行； (ⅱ)其余各面都是四邊形； (ⅲ)每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行． ②相關(guān)概念： 底面：兩個互相平行的面． 側(cè)面：除底面外的其余各面． 側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的公共邊． 頂點：底面多邊形與側(cè)面的公共頂點． ③記法：如三棱柱ABC－A1B1C1. ④分類及特殊棱柱： (ⅰ)按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、……. (ⅱ)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱． (ⅲ)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱． (2)棱錐 ①定義要點： (ⅰ)有一個面是多邊形； (ⅱ)其余各面是三角形； (ⅲ)這些三角形有一個公共頂點． ②相

5、關(guān)概念： 底面：除去棱錐的側(cè)面余下的那個多邊形． 側(cè)面：除底面外的其余三角形面． 側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的公共邊． 頂點：側(cè)面的公共頂點． ③記法：如三棱錐S－ABC. ④分類及特殊棱錐： (ⅰ)按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐、……， (ⅱ)正棱錐：底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐． (3)棱臺 ①定義要點：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分． ②相關(guān)概念： 上底面：原棱錐的截面． 下底面：原棱錐的底面． 側(cè)棱：相鄰的側(cè)面的公共邊． 頂點：側(cè)面與底面的公共頂點． ③記法：如三棱臺ABC－A1B1C1. ④分類及特殊棱臺：

6、(ⅰ)按底面多邊形的邊數(shù)分，有三棱臺、四棱臺、五棱臺、……， (ⅱ)正棱臺：由正棱錐截得的棱臺． 1．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．(　√　) 2．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．(　×　) 3．直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．(　×　) 4．半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球．(　×　) 類型一　旋轉(zhuǎn)體的概念 例1　下列說法正確的是________．(填序號) ①以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ③以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾

7、何體是圓錐； ④用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面． 考點　簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 題點　簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 答案?、邰? 解析?、僖灾苯翘菪未怪庇诘走叺难谥本€為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；②它們的底面為圓面；③④正確． 反思與感悟　(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 ①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成． ②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線． (2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用 ①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量． ②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想． 跟蹤訓(xùn)練1　下列說法： ①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的

8、一個； ②用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓； ③圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交； ④球的半徑是球心與球面上任意一點的連線段． 其中正確的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 題點　簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 答案　C 解析　②錯誤，截面可能是一個三角形；③錯誤，圓臺的任意兩條母線的延長線必相交于一點；①④正確．故選C. 類型二　多面體及其簡單應(yīng)用 例2　(1)下列關(guān)于多面體的說法正確的個數(shù)為________． ①所有的面都是平行四邊形的幾何體為棱柱； ②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形； ③底面是正三

9、角形，且側(cè)棱相等的三棱錐是正三棱錐； ④棱臺的各條側(cè)棱延長后一定相交于一點； ⑤棱柱的每一個面都不會是三角形． 考點　簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 題點　多面體的結(jié)構(gòu)特征 答案　3 解析?、僦袃蓚€四棱柱放在一起，如下圖所示，能保證每個面都是平行四邊形，但并不是棱柱．故①錯； ②中棱臺的側(cè)面一定是梯形，不可能為平行四邊形，②正確； 根據(jù)棱錐的概念知，③正確； 根據(jù)棱臺的概念知，④正確； 棱柱的底面可以是三角形，故⑤錯． 正確的個數(shù)為3. (2)如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1. ①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？ ②用平面BCNM把這個長方體分

10、成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，說明理由． 考點　簡單幾何體 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷 解　①長方體是棱柱，是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義． ②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分有兩個平行的平面BB1M與CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有兩個平行的平面ABMA1與DCND1，其余各面都是四邊形且每相鄰兩個四邊形

11、的公共邊互相平行，符合棱柱的定義，所以是四棱柱，可用符號表示為四棱柱ABMA1－DCND1. 引申探究 若用一個平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱錐嗎？ 解　如圖，幾何體B－A1B1C1就是三棱錐． 反思與感悟　(1)棱柱的識別方法 ①兩個面互相平行． ②其余各面都是四邊形． ③每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行． (2)棱錐的識別方法 ①有一個面是多邊形． ②其余各面都是有一個公共頂點的三角形． ③棱錐僅有一個頂點，它是各側(cè)面的公共頂點． ④對幾類特殊棱錐的認識 (ⅰ)三棱錐是面數(shù)最少的多面體，又稱四面體．它的每一個面都可以作為底面． (ⅱ)各棱都相等的

12、三棱錐稱為正四面體． (ⅲ)正棱錐有以下性質(zhì)：側(cè)面是全等的等腰三角形，頂點與底面正多邊形中心的連線與底面垂直． (3)棱臺的識別方法 ①上、下底面互相平行． ②各側(cè)棱延長交于一點． 跟蹤訓(xùn)練2　下列說法正確的是(　　) A．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺 B．兩底面平行，并且各側(cè)棱也互相平行的幾何體是棱柱 C．棱錐的側(cè)面可以是四邊形 D．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面 考點　簡單幾何體 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用 答案　B 解析　A中所有側(cè)棱不一定交于一點，故A不正確；B正確；C中棱錐的側(cè)面一定是三角形，故C不正確；D中棱柱的側(cè)面也可能

13、平行，故D不正確． 1．下列幾何體中棱柱有(　　) A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 考點　簡單幾何體 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　D 解析　由棱柱的定義知，①③為棱柱． 2．關(guān)于下列幾何體，說法正確的是(　　) A．圖①是圓柱 B．圖②和圖③是圓錐 C．圖④和圖⑤是圓臺 D．圖⑤是圓臺 考點　簡單幾何體 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　D 解析　由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征知，D正確． 3．下面有關(guān)棱臺說法中，正確的是(　　) A．上下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺 B．棱臺的所有側(cè)面都是梯形 C．棱臺的側(cè)棱長必相等

14、 D．棱臺的上下底面可能不是相似圖形 考點　棱臺的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱臺的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用 答案　B 解析　由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，B正確． 4．等腰三角形ABC繞底邊上的中線AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是(　　) A．圓臺 B．圓錐 C．圓柱 D．球 考點　簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 題點　旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 答案　B 解析　中線AD⊥BC，左右兩側(cè)對稱，旋轉(zhuǎn)體為圓錐． 5．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的母線長為________． 考點　圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　與圓錐有關(guān)的運算 答案　2 解析　如圖所示， 設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的

15、軸截面，由題意知，圓錐的母線長即為△ABC的邊長，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2. 故圓錐的母線長為2. 1．圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示． 2．棱柱、棱錐、棱臺定義的關(guān)注點 (1)棱柱的定義有以下兩個要點，缺一不可： ①有兩個平面(底面)互相平行； ②其余各面(側(cè)面)每相鄰兩個面的公共邊(側(cè)棱)都互相平行． (2)棱錐的定義有以下兩個要點，缺一不可： ①有一個面(底面)是多邊形； ②其余各面(側(cè)面)是有一個公共頂點的三角形． (3)用一水平平面截棱錐可得到棱臺． 一、選擇題 1．有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體

16、為(　　) A．四棱柱 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱錐 考點　簡單幾何體 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)判斷 答案　D 解析　四個面都是三角形的幾何體只能是三棱錐． 2．如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是(　　) A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱臺 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱錐的概念 答案　B 解析　由題圖知，剩余的部分是四棱錐A′－BCC′B′. 3．過球面上任意兩點A，B作大圓，可能的個數(shù)是(　　) A．有且只有一個 B．一個或無窮多個 C．無數(shù)個 D．以上均不正確 考點　簡單幾

17、何體的結(jié)構(gòu)特征 題點　簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 答案　B 解析　當(dāng)過A，B的直線經(jīng)過球心時，經(jīng)過A，B的截面所得的圓都是球的大圓，這時過A，B作球的大圓有無數(shù)個；當(dāng)直線AB不經(jīng)過球心O時，經(jīng)過A，B，O的截面就是一個大圓，這時只能作出一個大圓． 4．下列說法正確的是(　　) A．圓錐的母線長等于底面圓直徑 B．圓柱的母線與軸垂直 C．圓臺的母線與軸平行 D．球的直徑必過球心 考點　簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征 題點　簡單轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 答案　D 解析　圓錐的母線長與底面圓的直徑不一定相等，故A錯；圓柱的母線與軸平行，故B錯；圓臺的母線與軸不平行，故C錯；球的直徑必過球心，故選D.

18、5．若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 考點　棱臺的結(jié)構(gòu)特征 題點　與棱臺有關(guān)的運算 答案　B 解析　由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積比為對應(yīng)邊之比的平方，故選B. 6．五棱柱中，不同在同一個側(cè)面且不同在同一個底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)共有(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 考點　棱柱的結(jié)構(gòu)特征 題點　與棱柱有關(guān)的運算 答案　D 解析　如圖，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點A出發(fā)的對角線有兩條

19、：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點出發(fā)的對角線均有兩條，共2×5＝10(條)． 7．如圖所示，正四棱錐S－ABCD的所有棱長都為a，過不相鄰的兩條棱SA，SC作截面SAC，則截面的面積為(　　) A.a2 B．a(chǎn)2 C.a2 D.a2 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　與棱錐有關(guān)的運算 答案　C 解析　根據(jù)正棱錐的性質(zhì)知，底面ABCD是正方形，故AC＝a.在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又∵AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2. 8．如圖陰影部分所示的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體為(　　) A．一個球體 B．一個球體中間挖去一個圓

20、柱 C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個長方體 考點　 題點　 答案　B 解析　外面圓旋轉(zhuǎn)形成球體，中間矩形旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．故選B. 二、填空題 9．下列說法正確的是________．(填序號) ①底面是正多邊形的棱錐為正棱錐； ②各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐； ③各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐； ④各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐； ⑤底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐． 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱錐概念的應(yīng)用 答案　⑤ 解析　由正棱錐的定義可知，①②③均不正確；而④不能保證這些全等的等腰三角形的腰長都作為側(cè)棱長，故不正確；只有⑤符合

21、正棱錐的定義，故正確． 10．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成________個三棱錐． 考點　棱臺的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱臺概念的應(yīng)用 答案　3 解析　如圖，分割為A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3個棱錐． 11．在半徑為13的球面上有A，B，C三點，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，則球心到經(jīng)過這三個點的截面的距離為________． 考點　球的結(jié)構(gòu)特征 題點　與球有關(guān)的運算 答案　12 解析　由線段的長度知△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的半徑r＝＝5，所以d＝＝12. 三、解答題 12．已知一個圓錐的底

22、面半徑為r，高為h，在此圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在圓錐的底面上，與這個面相對的面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，求此正方體的棱長． 考點　圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　與圓錐有關(guān)的運算 解　作出圓錐的一個縱截面如圖所示， 其中AB，AC為母線，BC為底面圓直徑，DG，EF是正方體的棱，DE，GF是正方體的上、下底面的對角線，設(shè)正方體的棱長為x， 則DG＝EF＝x，DE＝GF＝x，依題意，得 △ABC∽△ADE， ∴＝，∴x＝. 13．試從正方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點中任取若干連接后構(gòu)成以下簡單幾何體，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚? (1)只有一個面是等邊三角形的三

23、棱錐； (2)四個面都是等邊三角形的三棱錐； (3)三棱柱． 考點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用 解　(1)如圖所示，三棱錐A1－AB1D1(答案不唯一)． (2)如圖所示，三棱錐B1－ACD1(答案不唯一)． (3)如圖所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)． 四、探究與拓展 14．給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體，其中說法正確的是________．(填序號) 考點　簡單幾何體

24、 題點　簡單幾何體結(jié)構(gòu)應(yīng)用 答案　(1)(2) 解析　(1)正確，圓柱的底面是圓面； (2)正確，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面； (3)不正確，圓臺的任意兩條母線延長一定相交于一點； (4)不正確，夾在圓柱的兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體． 15．如圖所示，正三棱錐S－ABC的側(cè)棱長為1，∠ASB＝40°，點M和點N分別是棱SB和SC上的點，求△AMN的周長的最小值． 考點　圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點　與圓錐有關(guān)的運算 解　沿側(cè)棱SA將正三棱錐S－ABC的側(cè)面展開，得到三棱錐S－ABC的側(cè)面展開圖，如圖所示． 連接AA′，當(dāng)M，N分別為AA′與SB，SC的交點時，△AMN的周長最小，即AA′的長度． ∵SA＝SA′，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA′＝40°， ∴∠ASA′＝120°.∴∠SAA′＝∠SA′A＝30°. 作SF⊥AA′于點F，∵SA＝1， ∴AF＝A′F＝SA＝， ∴AA′＝， 即△AMN的周長的最小值為. 14