(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第1課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的平行問題學(xué)案 新人教A版選修2-1
《(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第1課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的平行問題學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第1課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的平行問題學(xué)案 新人教A版選修2-1(12頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第1課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的平行問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間點(diǎn)、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義,并會求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題. 知識點(diǎn)一 直線的方向向量與平面的法向量 (1)用向量表示直線的位置 條件 直線l上一點(diǎn)A 表示直線l方向的向量a(即直線的方向向量) 形式 在直線l上?。絘,那么對于直線l上任意一點(diǎn)P,一定存在實(shí)數(shù)t,使得=t 作用 定位置 點(diǎn)A和向量a可以確定直線的位置 定點(diǎn) 可以具體表示出l上的任意一點(diǎn) (2)用向量表示平面的位置 ①通過平面α上的
2、一個(gè)定點(diǎn)O和兩個(gè)向量a和b來確定: 條件 平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量a,b和交點(diǎn)O 形式 對于平面α上任意一點(diǎn)P,存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得=xa+yb ②通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)A和法向量來確定: 平面的法向量 直線l⊥α,直線l的方向向量,叫做平面α的法向量 確定平面位置 過點(diǎn)A,以向量a為法向量的平面是完全確定的 (3)直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量 能平移到直線上的非零向量a,叫做直線l的一個(gè)方向向量 平面的法向量 直線l⊥α,取直線l的方向向量n,叫做平面α的法向量 知識點(diǎn)二 平面的法向量及其求法 在空間直角坐標(biāo)系下,
3、求平面的法向量的一般步驟: (1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組 (4)解方程組,取其中的一組解,即得平面的一個(gè)法向量. 知識點(diǎn)三 用空間向量處理平行關(guān)系 設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為μ,v,則 線線平行 l∥m?a∥b?a=kb(k∈R) 線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ=0 面面平行 α∥β?μ∥v?μ=kv(k∈R) . (1)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反
4、.(√) (2)兩直線的方向向量平行,則兩直線平行;兩直線的方向向量垂直,則兩直線垂直.(×) (3)若向量n1,n2為平面的法向量,則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線一定平行.(×) (4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直,則該直線與平面平行.(√) (5)若直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則l1⊥l2.(√) 類型一 求平面的法向量 例1 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),試求出平面ABC的一個(gè)法向量. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 解
5、 設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z). ∵A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3), ∴=(-2,1,3),=(1,-1,0). 則有即 解得令z=1,則x=y(tǒng)=3. 故平面ABC的一個(gè)法向量為n=(3,3,1). 反思與感悟 利用方程的思想求解平面的法向量,注意一個(gè)平面的法向量不是唯一的,它有無數(shù)個(gè),它們是共線的. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面SCD與平面SBA的一個(gè)法向量. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量
6、 題點(diǎn) 求平面的法向量 解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, 則A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1), 則=,=. 向量=是平面SAB的一個(gè)法向量. 設(shè)n=(x,y,z)為平面SDC的一個(gè)法向量, 則 即 取x=2,得y=-1,z=1, 故平面SDC的一個(gè)法向量為(2,-1,1). 類型二 利用空間向量證明平行問題 例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F(xiàn)分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 考點(diǎn)
7、 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 證明 (1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(xiàn)(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1). 設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量, 則n1⊥,n1⊥, 即得 令z1=2,則y1=-1, 所以n1=(0,-1,2). 因?yàn)椤1=-2+2=0, 所以⊥n1. 又因?yàn)镕C1?平面ADE, 所
8、以FC1∥平面ADE. (2)因?yàn)椋?2,0,0),設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.由n2⊥,n2⊥, 得得 令z2=2,得y2=-1, 所以n2=(0,-1,2), 因?yàn)閚1=n2, 所以平面ADE∥平面B1C1F. 反思與感悟 利用向量證明平行問題,可以先建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量和平面的法向量,然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,問在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE∥平面P
9、AB?若存在,求出E點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 解 存在點(diǎn)E使CE∥平面PAB. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz, ∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 設(shè)E(0,y,z),則=(0,y,z-1), =(0,2,-1), ∵∥,∴y(-1)-2(z-1)=0,① ∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量, 又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB, ∴⊥,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0. ∴y=1,代入①得z=,
10、∴E是PD的中點(diǎn), ∴存在E點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí),CE∥平面PAB. 1.已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ等于( ) A.1B.2C.3D.4 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 B 解析 由l1∥l2,得v1∥v2,得==,故λ=2. 2.已知直線l1,l2的方向向量分別為a,b,且a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若l1∥l2,則λ與μ的值可以分別是( ) A.2,B.-,C.-3,2D.2,2 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的
11、方向向量 答案 A 解析 由題意知解得或 3.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 A 解析 因?yàn)椋?2,4,6),所以與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量. 4.若直線l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為,則m為( ) A.-4B.-6C.-8D.8 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 C 解析 ∵l∥α
12、,平面α的法向量為, ∴(2,m,1)·=0, ∴2+m+2=0,∴m=-8. 5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ACD1的一個(gè)法向量為________. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一) 解析 不妨設(shè)正方體的棱長為1,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量a=(x,y,z), 則a·=0, a·=0. 因?yàn)椋?-1,1,0),=(-1,0,1), 所以 所
13、以所以不妨取x=1, 則a=(1,1,1). (注:答案不唯一,只要與所給答案共線都對) 1.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線. (3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個(gè)不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行. 2.證明面面平行的方法 設(shè)平面α的法向量為n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量為n2=(a2,b2,c2),則α∥β?n1∥n2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). 一、選擇題 1.若直線l的方向向量為a,平面α的
14、法向量為μ,則能使l∥α的是( ) A.a(chǎn)=(1,0,0),μ=(-2,0,0) B.a(chǎn)=(1,3,5),μ=(1,0,1) C.a(chǎn)=(0,2,1),μ=(-1,0,1) D.a(chǎn)=(1,-1,3),μ=(0,3,1) 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 D 解析 由l∥α,故a⊥μ,即a·μ=0,故選D. 2.已知直線l1的方向向量a=(2,-3,5),直線l2的方向向量b=(-4,x,y),若兩直線l1∥l2,則x,y的值分別是( ) A.6和-10 B.-6和10 C.-6和-10 D.6和10 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量
15、 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 A 解析 由兩直線l1∥l2,得兩向量a,b平行,即==,所以x,y的值分別是6和-10. 3.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的一個(gè)法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥α,則x的值為( ) A.-2B.-C.D.± 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 D 解析 依題意得,-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0, 解得x=±. 4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 直線的方向
16、向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 D 解析?。?-1,1,0),=(-1,0,1). 設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z). ∵ ∴ 令x=1,則y=1,z=1,∴n=(1,1,1), 單位法向量為或. 5.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為b,若a·b=0,則( ) A.l∥α B.l?α C.l⊥α D.l?α或l∥α 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求直線的方向向量 答案 D 解析 當(dāng)a·b=0時(shí),l?α或l∥α. 6.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,則λ的值是( )
17、 A.-B.6C.-6D. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 B 解析 ∵α∥β,∴α的法向量與β的法向量也互相平行. ∴==,∴λ=6. 7.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 A 解析 c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),
18、 由c為平面α的法向量,得即 解得 二、填空題 8.若A,B,C是平面α內(nèi)三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量為a=(x,y,z),則x∶y∶z=________. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 2∶3∶(-4) 解析 由已知得,=, =, ∵a是平面α的一個(gè)法向量,∴a·=0,a·=0, 即解得 ∴x∶y∶z=y(tǒng)∶y∶=2∶3∶(-4). 9.已知l∥α,且l的方向向量為m=(2,-8,1),平面α的法向量為n=(1,y,2),則y=________. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 解析 ∵l∥α,∴l(xiāng)
19、的方向向量m=(2,-8,1)與平面α的法向量n=(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,∴y=. 10.設(shè)平面α的法向量為m=(1,2,-2),平面β的法向量為n=(-2,-4,k),若α∥β,則k=________. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 4 解析 由α∥β得==,解得k=4. 三、解答題 11.已知平面α經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),試求平面α的一個(gè)法向量. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), ∴=
20、(1,-2,-4),=(2,-4,-3). 設(shè)平面α的法向量是n=(x,y,z), 依題意有即 解得令y=1,則x=2, ∴平面α的一個(gè)法向量是n=(2,1,0). 12.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).AB=AP=1,AD=,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求平面ACE的一個(gè)法向量. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 解 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形, 所以AB,AD,AP兩兩垂直. 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則D(
21、0,,0), E,B(1,0,0), C(1,,0), 于是=,=(1,,0). 設(shè)n=(x,y,z)為平面ACE的法向量, 則即 所以 令y=-1,則x=z=. 所以平面ACE的一個(gè)法向量為n=(,-1,). 13.已知空間四邊形ABCD,P,Q分別是△ABC和△BCD的重心,求證:PQ∥平面ACD. 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 證明 如圖,連接AP并延長交BC于點(diǎn)E,連接ED,易知Q在線段ED上, ∵P,Q分別是△ABC和△BCD的重心, ∴=- =-=(-)=, ∴∥,即PQ∥AD, 又AD?平面ACD,PQ?平面ACD,
22、 ∴PQ∥平面ACD. 四、探究與拓展 14.已知直線l過點(diǎn)P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是( ) A.(1,-4,2) B. C. D.(0,-1,1) 考點(diǎn) 直線的方向向量與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 答案 D 解析 因?yàn)椋?0,2,4),直線l平行于向量a,若n是平面α的一個(gè)法向量,則必須滿足把選項(xiàng)代入驗(yàn)證,只有選項(xiàng)D不滿足,故選D. 15.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,AD=5.求證:平面A1BD∥平面B1D1C. 考點(diǎn) 直線的方向向量
23、與平面的法向量 題點(diǎn) 求平面的法向量 證明 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 則D(0,0,0),A1(5,0,4), B(5,3,0),D1(0,0,4), B1(5,3,4),C(0,3,0), ∴=(-5,0,-4), =(0,3,-4), =(0,3,-4),=(-5,0,-4). 設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z), 則即 取z=1,得x=-,y=,則m=. 設(shè)平面B1D1C的一個(gè)法向量為n=(a,b,c), 則得n=. ∵m=n,即m∥n,∴平面A1BD∥平面B1D1C. 12
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