《2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第17講 數(shù)列概念及等差數(shù)列 課題 數(shù)列概念及等差數(shù)列（共 3 課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標 1．數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)； 2．通過實例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。 命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目

2、主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計算技能要求比較高。 預(yù)測xx年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 教學(xué)準備 多媒體課件 教學(xué)過程 一．知識梳理： 1．數(shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項

3、，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如，數(shù)列①的通項公式是= （7，），數(shù)列②的通項公式是= （）。 說明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5

4、 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。 （4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 （5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個

5、 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數(shù)列的通項公式：； 說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 （3）等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數(shù)列。 （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 二．典例分析 　(xx·天津南開中學(xué)月考)下列公式可作為數(shù)列{an}：1

6、,2,1,2,1,2，…的通項公式的是(　　) A．a(chǎn)n＝1　　　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝2－ D．a(chǎn)n＝ 　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2， a3＝1，a4＝2，…. 　C 若本例中數(shù)列變?yōu)椋?,1,0,1，…，則{an}的一個通項公式為________． 答案： an＝ 由題悟法 1．根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整． 2．根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公

7、式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想． 以題試法 1．寫出下面數(shù)列的一個通項公式． (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，，－，，－，，…. 解：(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝. (3)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…. 所以an＝(10n－1)． (4)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式的符號為(－1)n；各項絕對值的分母

8、組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1， 所以an＝(－1)n·，也可寫為 an＝ 由an與Sn的關(guān)系求通項an 典題導(dǎo)入 　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，根據(jù)下列條件分別求它們的通項an. (1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. 　(1)由題可知，當n＝1時，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－＝4n＋1. 當n＝1時，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1. (2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4， 當n≥2時， a

9、n＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 當n＝1時，2×31－1＝2≠a1， 故an＝ 由題悟法 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式； (3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫． 以題試法 2．(xx·聊城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，則＝(　　)

10、 A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D．30 解析：選D　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，則a5＝＝. 數(shù)列的性質(zhì) 典題導(dǎo)入 　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－21n＋20. (1)n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)n為何值時，該數(shù)列的前n項和最?。? 　(1)因為an＝n2－21n＋20＝2－，可知對稱軸方程為n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11時，an有最小值，其最小值為112－21×11＋20＝－90. (2)設(shè)數(shù)列的前n項和最小，則有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，

11、故數(shù)列{an}從第21項開始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項和最小． 在本例條件下，設(shè)bn＝，則n為何值時，bn取得最小值？并求出最小值． 解：bn＝＝＝n＋－21， 令f(x)＝x＋－21(x>0)，則f′(x)＝1－，由f′(x)＝0解得x＝2或x＝－2(舍)．而4<2<5，故當n≤4時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減；當n≥5時，數(shù)列{bn}單調(diào)遞增．而b4＝4＋－21＝－12，b5＝5＋－21＝－12，所以當n＝4或n＝5時，bn取得最小值，最小值為－12. 由題悟法 1．數(shù)列中項的最值的求法 根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)an＝f(n)，利用求解函數(shù)最值的方

12、法求解，但要注意自變量的取值． 2．前n項和最值的求法 (1)先求出數(shù)列的前n項和Sn，根據(jù)Sn的表達式求解最值； (2)根據(jù)數(shù)列的通項公式，若am≥0，且am＋1<0，則Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，則Sm最小，這樣便可直接利用各項的符號確定最值. 以題試法 3．(xx·江西七校聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是(　　) A．3 B．19 C. D. 解析：選C　an＝，由基本不等式得，≤，由于n∈N*，易知當n＝9或10時，an＝最大． 　在數(shù)列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．

13、 (1)求a2，a3的值； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列． 　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13. (2)證明：對于任意n∈N*， ∵bn＋1－bn＝－＝＝＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項為＝＝0，公差為1的等差數(shù)列． 由題悟法 1．證明{an}為等差數(shù)列的方法： (1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列； (2)用等差中項證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列； (3)通項法：an為n的一次函數(shù)?{an}為等

14、差數(shù)列； (4)前n項和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 2．用定義證明等差數(shù)列時，常采用的兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義． 以題試法 1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn是n的二次函數(shù)，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn； (2)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 解：(1)設(shè)Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)， 則 解得A＝2，B＝－4，C＝0.故Sn＝2n2－4n. (2)證明：∵當n＝1時，a1＝S1＝－2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－＝4n－6. ∴

15、an＝4n－6(n∈N*)．a(chǎn)n＋1－an＝4， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 等差數(shù)列的基本運算 典題導(dǎo)入 　(xx·重慶高考)已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通項公式； (2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值． 　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)． 因為a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，所以a＝a1Sk＋2. 從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－

16、5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 由題悟法 1．等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d及前n項和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想． 2．數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法． 以題試法 2．(1)在等差數(shù)列中，已知a6＝10， S5＝5，則S8＝________. (2)(xx·江西聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若－＝1，則公差為________． 解析：(1)∵a6＝10，S5＝5，

17、 ∴ 解方程組得 則S8＝8a1＋28d＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依題意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差為6. 答案：(1)44　(2)6 等差數(shù)列的性質(zhì) 典題導(dǎo)入 　(1)等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則前9項和S9等于(　　) A．66　　　　　　　　　　　 B．99 C．144 D．297 (2)(xx·天津模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若S4＝8，S8＝20，則a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．

18、18 B．17 C．16 D．15 　(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)及a1＋a4＋a7＝39，可得3a4＝39，所以a4＝13.同理，由a3＋a6＋a9＝27，可得a6＝9. 所以S9＝＝＝99. (2)設(shè){an}的公差為d，則a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 　(1)B　(2)A 由題悟法 1．等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．

19、 2．應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項的序號之間的關(guān)系． 以題試法 3．(1)(xx·江西高考)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. (2)(xx·海淀期末)若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：(1)設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為{cn}，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c1＝7，c3＝21，則c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35. (2)∵an＋1－an＝－3，∴

20、數(shù)列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè)前k項和最大，則有即 解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故滿足條件的n的值為7. 答案：(1)35　(2)B 板書設(shè)計 數(shù)列概念及等差數(shù)列 1．數(shù)列的概念 （1）數(shù)列定義 （2）通項公式的定義 （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示 （4）數(shù)列分類： （5）遞推公式定義 2．等差數(shù)列 （1）等差數(shù)列定義。 （2）等差數(shù)列的通項公式：； （3）等差中項的概念： （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 教學(xué)反思 等差數(shù)列是數(shù)列的一種常見類型，是研究、解決較復(fù)雜數(shù)列問題的基礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)時，要讓學(xué)生主動復(fù)習(xí)相關(guān)概念、公式及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容。 遞推公式在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，除由遞推公式計算數(shù)列的前幾項，由遞推公式求通項公式是數(shù)列中?？碱}型，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握項與和的關(guān)系。 對等差數(shù)列求最值問題，學(xué)生應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生概況總結(jié)求解的各種情況，這樣既可以是學(xué)生更好地把握等差數(shù)列的概念，也能把不同的知識串起來，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。