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(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 專題探究課二學(xué)案 理

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1、 第五章 平面向量 專題探究課二 高考導(dǎo)航 從近幾年的高考試題看,試卷交替考查三角函數(shù)、解三角形、向量與三角綜合以及三角應(yīng)用題.該部分解答題是高考得分的基本組成部分,不能掉以輕心.該部分的解答題考查的熱點(diǎn)題型有:一考查三角函數(shù)的恒等變形以及單調(diào)性、最值等;二考查解三角形問(wèn)題;三是考查三角函數(shù)、解三角形與平面向量的交匯性問(wèn)題;四是考查三角應(yīng)用題.在解題過(guò)程中抓住平面向量作為解決問(wèn)題的工具,要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈活性,注意題目中隱含的各種限制條件,選擇合理的解決方法,靈活地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì) 注意對(duì)基本三角函數(shù)y=sin x,y=cos x的

2、圖象與性質(zhì)的理解與記憶,有關(guān)三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖、圖象的平移、由圖象求解析式、周期、單調(diào)區(qū)間、最值和奇偶性等問(wèn)題的求解,通常先將給出的函數(shù)恒等變形轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整體代換的方法求解. 【1】 (2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)、宿遷五市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=sin- sin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈時(shí),試求函數(shù)f(x)的最值,并寫出取得最值時(shí)自變量x的值. 解 (1)由題意知f(x)=sin+cos =2sin, 所以f(x)的最小正周期為T==π. 當(dāng)-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,

3、解得x∈(k∈Z), 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)因?yàn)閤∈,所以≤2x+≤, 當(dāng)2x+=,即x=-時(shí),f(x)取得最大值2; 當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最小值-. 探究提高 此類題目的答題模板為: 第一步:三角函數(shù)式的恒等變形,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式; 第二步:由T=求最小正周期; 第三步:確定f(x)的單調(diào)性; 第四步:確定各單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值; 第五步:明確規(guī)范地表達(dá)結(jié)論. 【訓(xùn)練1】 (2018·江蘇大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin 2x-2cos2x. (1)β∈,求f(β)的取值

4、范圍; (2)若tan α=2,求f(α)的值. 解 (1)f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1, 所以f(β)=2sin-1. 因?yàn)棣隆剩?β-∈, 所以sin∈, 故f(β)的取值范圍是[-2,1]. (2)由題可得f(α)=sin 2α-2cos2α ==, 因?yàn)閠an α=2,所以f(α)==. 熱點(diǎn)二 解三角形與三角函數(shù)結(jié)合 高考對(duì)解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用為主.其命題規(guī)律可以從以下兩方面看:(1)從內(nèi)容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式,一般是以三角形或其他平面圖形為背景,結(jié)合

5、三角形的邊角關(guān)系考查學(xué)生利用三角函數(shù)公式處理問(wèn)題的能力;(2)從命題角度看,主要是在三角恒等變換的基礎(chǔ)上融合正弦定理、余弦定理在知識(shí)的交匯處命題. 【例2】 (2018·蘇州測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx(ω>0)的周期為π. (1)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的值域; (2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若f=,且a=4,b+c=5,求△ABC的面積. 解 (1)f(x)=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx=sin+. 因?yàn)閒(x)的周期為π,且ω>0,所以=π,解得ω=1.所以f(x)=sin+. 又0≤x≤,得≤2x+≤

6、π,-≤sin≤1,0≤sin+≤+1,即函數(shù)y=f(x)在x∈上的值域?yàn)? (2)因?yàn)閒=,所以sin=.由A∈(0,π),知

7、a,b,c,且tan B=2,tan C=3. (1)求角A的大?。? (2)若c=3,求b的長(zhǎng). 解 (1)因?yàn)閠an B=2,tan C=3,A+B+C=π, 所以tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C) =-=-=1, 又A∈(0,π),所以A=. (2)因?yàn)閠an B==2,且sin2B+cos2B=1, 又B∈(0,π),所以sin B=, 結(jié)合(1)可得sin C=. 由正弦定理得b===2. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)與平面向量結(jié)合 三角函數(shù)、解三角形與平面向量的結(jié)合主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:(1)以三角函數(shù)式作為向量的坐標(biāo),由兩個(gè)向量共線、垂直、求?;?/p>

8、求數(shù)量積獲得三角函數(shù)解析式;(2)根據(jù)平面向量加法、減法的幾何意義構(gòu)造三角形,然后利用正、余弦定理解決問(wèn)題. 【例3】 (滿分14分)(2017·江蘇卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值. 滿分解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 本題第(1)問(wèn)滿分為6分,具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下: 法一 因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b, 所以-cos x=3sin x,………………………………………………2分 于是tan x=-.…………………………………

9、………………………………2分 又x∈[0,π],所以x=π. ……………………………………………………2分 法二 因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b, 所以-cos x=3sin x, ①……………………………………………………2分 則2=0,即2sin=0. …………………………2分 所以x+=π,即x=π. ………………………………………………2分 法三 因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b, 所以-cos x=3sin x, 因?yàn)閟in2x+cos2x=1,所以sin2x=,即sin x=±, 所以x=或π→ 本題第(

10、2)問(wèn)滿分為8分,具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下: 法一 f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x……………………2分 =2cos.…………………………………………………………………2分 因?yàn)閤∈[0,π],所以x+∈, 則-1≤cos≤. ………………2分 ……………2分 法二 (本題第二問(wèn)有考生采用了導(dǎo)數(shù)的方法求最值) f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x,……………………2分 則f′(x)=-3sin x-cos x,則f′(x)=0,tan x=-. 因?yàn)閤∈[0,π],所以x=.………………

11、…………………………2分 又f(0)=3,f=-2,f(π)=-3. ……………………………2分 ……………………………2分 探究提高 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一步應(yīng)該是審題,審題“審什么?”首先應(yīng)該是題目的條件是什么?結(jié)論是什么?有沒(méi)有隱含條件?由條件可以得出什么結(jié)論?要得出結(jié)論需要什么條件? 本題的第二問(wèn):求函數(shù)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.不少考生就在這里出現(xiàn)了審題不清的問(wèn)題:只顧求出了函數(shù)的最大值和最小值,沒(méi)有求出對(duì)應(yīng)的x的值. 根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):最大值及其對(duì)應(yīng)的x值都寫對(duì)得2分,最小值及其對(duì)應(yīng)的x值都寫對(duì)再得2分.這塊原有4分的分值,若只求對(duì)了最大值和最小值,沒(méi)有求出對(duì)應(yīng)的x

12、的值,這4分將全部扣掉. 【訓(xùn)練3】 (2018·蘇北四市調(diào)研)已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n. (1)求角B的大?。? (2)若b=,求a+c的范圍. 解 (1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n, ∴(2a+c)cos B+bcos C=0, ∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, ∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0. 即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A. ∵A∈

13、(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-. ∵0<B<π,∴B=. (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-=(a+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào). ∴(a+c)2≤4,故a+c≤2. 又a+c>b=,∴a+c∈(,2].即a+c的取值范圍是(,2]. 熱點(diǎn)四 三角函數(shù)應(yīng)用題 三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題,二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題. 【例4】 如圖為一個(gè)纜車示意圖,該纜車半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m

14、,且60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB,設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式; (2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過(guò)t s后到達(dá)OB,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少? 解 (1)以圓心O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角θ-, 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為, ∴h=5.6+4.8sin(θ∈[0,+∞)). (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是 rad/s, 故t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t, ∴h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞). 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),h=10.4 m

15、. 由sin=1,得t-=,∴t=30 s, 答:纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),用的最少時(shí)間為30 s. 探究提高 三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問(wèn)題,根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型,再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值,進(jìn)而使實(shí)際問(wèn)題得到解決. 步驟可記為:審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問(wèn)題. 這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù),再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù),然后寫出具體的三角函數(shù)解析式. 【訓(xùn)練4】 一半徑為4 m的水輪(如圖),水輪圓心O距離水面2 m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí). (1)將點(diǎn)P距離水面

16、的高度h(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù); (2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)4 m. 解 (1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 依題意,如圖|φ|=, 易知OP在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為 t=t, 故角t-是以O(shè)x為始邊,OP與終邊的角, 故P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4sin, 故所求函數(shù)關(guān)系式為h=4sin+2(t≥0); (2)令4sin+2>4, 即sin>, ∴+2kπ

17、超過(guò)4 m. 一、必做題 1.(2018·蘇北四市模擬)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,-1),則 |2a-b|的最大值與最小值的和為_(kāi)_______. 解析 由題意可得a·b=cos θ-sin θ=2cos,則|2a-b|===∈[0,4],所以|2a-b|的最大值與最小值的和為4. 答案 4 2.(2018·蘇州調(diào)研)已知m=(cos α,sin α),n=(2,1),α∈,若m·n=1,則sin=________. 解析 因?yàn)閙·n=2cos α+sin α=1,所以sin α=1-2cos α,代入sin2α+cos2α=1中,整理得5cos2α

18、-4cos α=0,解得cos α=或cos α=0(舍去),故sin=-cos 2α=1-2cos2α=-. 答案?。? 3.(2018·南京、鹽城模擬)設(shè)a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)是平面上兩個(gè)向量,若a·b=,且tan β=,則tan α=________. 解析 由a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=, 且0<α<β<,即α-β∈, ∴sin(α-β)=-, tan(α-β)==-=, 代入tan β=,得tan α=. 答案  4.(2018·南京、鹽城模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a

19、,b,c,已知a+c=2b,sin B=sin C,則cos A=________. 解析 由sin B=sin C結(jié)合正弦定理可得b=c,又a+c=2b,則a=c,由余弦定理可得cos A===. 答案  5.(2018·南京調(diào)研)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下:對(duì)任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np,下面說(shuō)法正確的有________(填序號(hào)). ①若a與b共線,則a⊙b=0; ②a⊙b=b⊙a(bǔ); ③對(duì)任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b); ④(a⊙b)2+(a·b)2=a2b2. 解析?、谥校琣⊙b=mq-np=-(np-mq)=-b⊙a(bǔ),

20、 故②不正確;①③④逐個(gè)代入驗(yàn)證,皆成立,故填①③④. 答案 ①③④ 6.(2018·海門中學(xué)月考)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與B的距離為_(kāi)_______ km. 解析 由題圖可知,∠ACB=120°,由余弦定理, 得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·=3a2,解得AB=a(km). 答案 a 7.(2018·鹽城診斷)在△ABC中,cos2=(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則△ABC的形狀為_(kāi)_______. 解

21、析 因?yàn)閏os2=, 所以2cos2-1=-1,所以cos B=, 所以=,所以c2=a2+b2. 所以△ABC為直角三角形. 答案 直角三角形 8.(2018·如東中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)=sin(ωπx-)(ω>0)在區(qū)間(-1,0)上有且僅有一條平行于y軸的對(duì)稱軸,則ω的最大值是________. 解析 令ωπx-=kπ+(k∈Z), 則得x=(k∈Z), ∴當(dāng)k=-1時(shí),得y軸左側(cè)第1條對(duì)稱軸為-;當(dāng)k=-2時(shí),得y軸左側(cè)第2條對(duì)稱軸為-,因此-1<-<0且-1≥-,解得<ω≤,故ωmax=. 答案  9.(2018·泰州中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=sin xcos

22、 x-cos2x. (1)求f(x)的值域和最小正周期; (2)若f(x)=-1,求cos的值. 解 (1)因?yàn)閒(x)=sin 2x-=sin 2x--=sin-, 所以f(x)的值域?yàn)?,最小正周期有為T==π. (2)因?yàn)閒(x)=-1,所以sin-=-1, 即sin=-, 所以cos=cos =sin=-. 10.(2018·泰州模擬)在△ABC中,角A,B的對(duì)邊分別為a,b,向量m=(cos A, sin B),n=(cos B,sin A). (1)若acos A=bcos B,求證:m∥n; (2)若m⊥n,a>b,求tan的值. (1)證明 因?yàn)閍cos

23、 A=bcos B, 所以sin Acos A=sin BcosB,所以m∥n. (2)解 因?yàn)閙⊥n,所以cos Acos B+sin Asin B=0, 即cos(A-B)=0, 因?yàn)閍>b,所以A>B, 又A,B∈(0,π),所以A-B∈(0,π), 則A-B=,所以tan =tan=1. 二、選做題 11.(2015·江蘇卷)設(shè)向量ak=(k=0,1,2,…,12),則 (ak·ak+1)的值為_(kāi)_______. 解析 ak·ak+1=· =coscos+· =+ + cos cos =cos +sin +cos cos =+sin +cos

24、2 -cos sin =+sin+-sin =+sin +cos . 因?yàn)閟in ,cos 的周期皆為6,一個(gè)周期的和皆為零, 因此 (ak·ak+1)=×12=9. 答案 9 12.如圖,某大風(fēng)車的半徑為2 m,每12 s旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)O離地面0.5 m.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開(kāi)始,運(yùn)動(dòng)t(s)后與地面的距離為h(m). (1)求函數(shù)h=f(t)的關(guān)系式; (2)畫出函數(shù)h=f(t)(0≤t≤12)的大致圖象. 解 (1)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的圓的切線為x軸,建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則h=y(tǒng)+0.5. 設(shè)∠OO1A=θ,則cos θ=, y=-2cos θ+2. 又θ=×t, 即θ=t, 所以y=-2cost+2, h=f(t)=-2cost+2.5(t≥0). (2)函數(shù)h=-2cost+2.5(0≤t≤12)的大致圖象如下. 14

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