(渝皖瓊)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.1 平行關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2
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1、 5.1 平行關(guān)系的判定 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的含義.2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡單問題. 知識點(diǎn)一 直線與平面平行的判定定理 思考 如圖,一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi),把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動,在轉(zhuǎn)動過程中,AB的對邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系? 答案 平行. 梳理 判定定理 表示 定理 圖形 文字 符號 直線與平面平行的判定定理
2、 若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行 ?a∥α 知識點(diǎn)二 平面與平面平行的判定定理 思考1 三角板的一條邊所在平面與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行嗎? 答案 不一定. 思考2 三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行嗎? 答案 平行. 梳理 判定定理 表示 定理 圖形 文字 符號 平面與平面平行的判定定理 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行 ?α∥β 1.若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等,則l∥平面α.( × )
3、2.若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行.( × ) 3.若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行.( × ) 4.若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行.( √ ) 類型一 直線與平面平行的判定問題 命題角度1 以錐體為背景證明線面平行 例1 如圖,S是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是SA,BD上的點(diǎn),且=. 求證:MN∥平面SBC. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的證明 證明 連接AN并延長交BC于點(diǎn)P,連接SP. 因?yàn)锳D∥BC,所以=, 又因?yàn)椋剑?/p>
4、所以=,所以MN∥SP, 又MN?平面SBC,SP平面SBC, 所以MN∥平面SBC. 引申探究 本例中若M,N分別是SA,BD的中點(diǎn),試證明MN∥平面SBC. 證明 連接AC,由平行四邊形的性質(zhì)可知,AC必過BD的中點(diǎn)N,在△SAC中,M,N分別為SA,AC的中點(diǎn),所以MN∥SC,又因?yàn)镾C平面SBC,MN?平面SBC,所以MN∥平面SBC. 反思與感悟 利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟 上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:利用三角形、梯形中位線的性質(zhì);利用平行四邊形的性質(zhì);利用平行線分線段成比例定理. 跟蹤訓(xùn)練1 在四面體A-BCD中,M,N分
5、別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是________. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的證明 答案 平面ABD與平面ABC 解析 如圖,取CD的中點(diǎn)E,連接AE,BE,MN. 則EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2, 所以MN∥AB. 又AB平面ABD,MN?平面ABD, 所以MN∥平面ABD, 同理,AB平面ABC,MN?平面ABC, 所以MN∥平面ABC. 命題角度2 以柱體為背景證明線面平行 例2 在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE∥平面
6、A1MC?請證明你的結(jié)論. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的證明 解 存在.證明如下: 如圖,取線段AB的中點(diǎn)為M, 連接A1M,MC,A1C,AC1, 設(shè)O為A1C,AC1的交點(diǎn). 由已知得,O為AC1的中點(diǎn), 連接MD,OE, 則MD,OE分別為△ABC,△ACC1的中位線, 所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC, 因此MD∥OE且MD=OE. 連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形, 則DE∥MO. 因?yàn)橹本€DE?平面A1MC,MO平面A1MC, 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中
7、點(diǎn)), 使直線DE∥平面A1MC. 反思與感悟 證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題時,常用線面平行的判定定理,遇到題目中含有線段中點(diǎn)時,常利用取中點(diǎn)去尋找平行線. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,已知長方體ABCD-A1B1C1D1. (1)求證:BC1∥平面AB1D1; (2)若E,F(xiàn)分別是D1C,BD的中點(diǎn),求證:EF∥平面ADD1A1. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的證明 證明 (1)∵BC1?平面AB1D1,AD1平面AB1D1,BC1∥AD1,∴BC1∥平面AB1D1. (2)∵點(diǎn)F為BD的中點(diǎn),∴F為AC的中點(diǎn),又∵點(diǎn)E為D1C的中點(diǎn)
8、,∴EF∥AD1,∵EF?平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,∴EF∥平面ADD1A1. 類型二 平面與平面平行的判定 例3 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證: (1)B,C,H,G四點(diǎn)共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的證明 證明 (1)因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn), 所以GH是△A1B1C1的中位線, 所以GH∥B1C1. 又因?yàn)锽1C1∥BC,所以GH∥BC, 所以B,C,H,G四點(diǎn)共面. (2)因?yàn)镋,F(xiàn)分別是
9、AB,AC的中點(diǎn), 所以EF∥BC. 因?yàn)镋F?平面BCHG,BC平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG. 因?yàn)锳1G∥EB,A1G=EB, 所以四邊形A1EBG是平行四邊形, 所以A1E∥GB. 因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB平面BCHG, 所以A1E∥平面BCHG. 因?yàn)锳1E∩EF=E, 所以平面EFA1∥平面BCHG. 反思與感悟 判定平面與平面平行的四種常用方法 (1)定義法:證明兩個平面沒有公共點(diǎn),通常采用反證法. (2)利用判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.證明時應(yīng)遵循先找后作的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相
10、交直線,若找不到再作輔助線. (3)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β. (4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,已知A為平面BCD外一點(diǎn),M,N,G分別是△ABC,△ABD,△BCD的重心. 求證:平面MNG∥平面ACD. 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的證明 證明 如圖,設(shè)BM,BN,BG分別交AC,AD,CD于點(diǎn)P,F(xiàn),H,連接PF,PH. 由三角形重心的性質(zhì),得===2, ∴MG∥PH,又PH平面ACD,MG?平面ACD, ∴MG∥平面ACD. 同理可
11、證MN∥平面ACD, 又MN∩MG=M,MN平面MNG,MG平面MNG, ∴平面MNG∥平面ACD. 1.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E,F(xiàn)分別為底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,則正方體的六個面中與EF平行的平面有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 D 解析 由直線與平面平行的判定定理知,EF與平面AB′,平面BC′,平面CD′,平面AD′均平行.故與EF平行的平面有4個. 2.直線a,b為異面直線,過直線a與直線b平行的平面( ) A.有且只有一個
12、 B.有無數(shù)多個 C.至多一個 D.不存在 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 A 解析 在直線a上任選一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作b′∥b,則b′是唯一的,因?yàn)閍∩b′=A,所以a與b′確定一個平面并且只有一個平面. 3.在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對平面彼此平行的一對是( ) A.平面E1FG1與平面EGH1 B.平面FHG1與平面F1H1G C.平面F1H1H與平面FHE1 D.平面E1HG1與平面EH1G 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 答案 A 解析 如圖,∵EG∥E1G1,EG?平面E1F
13、G1, E1G1平面E1FG1, ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E, 同理可證H1E∥平面E1FG1, 又H1E∩EG=E,H1E,EG平面EGH1, ∴平面E1FG1∥EGH1. 4.經(jīng)過平面α外兩點(diǎn),作與α平行的平面,則這樣的平面可以作( ) A.1個或2個 B.0個或1個 C.1個 D.0個 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 答案 B 解析?、佼?dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面α平行時,可作出一個平面β,使β∥α. ②當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與平面α相交時,由于作出的平面又至少有一個公共點(diǎn),故經(jīng)過兩點(diǎn)的平面都與平面α相交,
14、不能作出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個或1個. 5.如圖,四棱錐P-ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,CD⊥AD,F(xiàn),E分別是PA,AD的中點(diǎn),求證:平面PCD∥平面FEB. 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 證明 連接BD,在△ABD中,∠BAD=60°,AB=AD, ∴△ABD是等邊三角形,E為AD的中點(diǎn), ∴BE⊥AD,又CD⊥AD, ∴在四邊形ABCD中,BE∥CD. 又CD?平面FEB,BE平面FEB,∴CD∥平面FEB. 在△APD中,EF∥PD, 同理可得PD∥平面FEB. 又CD∩PD=D, ∴平面
15、PCD∥平面FEB. 1.直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行,即要證直線和平面平行,先證直線和直線平行,即由立體向平面轉(zhuǎn)化,由高維向低維轉(zhuǎn)化. 2.證明面面平行的一般思路:線線平行?線面平行?面面平行. 3.準(zhǔn)確把握線面平行及面面平行兩個判定定理,是對線面關(guān)系及面面關(guān)系作出正確推斷的關(guān)鍵. 一、選擇題 1.能保證直線a與平面α平行的條件是( ) A.bα,a∥b B.bα,c∥α,a∥b,a∥c C.bα,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD D.a(chǎn)?α,bα,a∥b 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案
16、 D 解析 由線面平行的判定定理可知,D正確. 2.如果兩直線a∥b且a∥α,則b與α的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.b∥α C.bα D.b∥α或bα 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 D 解析 由a∥b且a∥α知,b與α平行或bα. 3.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如圖所示,則BC與α的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.相交 C.異面 D.BCα 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 A 解析 在△ABC中,因?yàn)锳D∶DB=AE
17、∶EC,所以BC∥DE.因?yàn)锽C?α,DEα,所以BC∥α. 4.若六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形,則此六棱柱的面中互相平行的有( ) A.1對 B.2對 C.3對 D.4對 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 答案 D 解析 由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1, ∴此六棱柱的面中互相平行的有4對. 5.在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AB,AD上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,
18、又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),則( ) A.BD∥平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形 B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形 D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是梯形 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 B 解析 易證EF∥平面BCD. 由AE∶EB=AF∶FD知,EF∥BD,且EF=BD. 又因?yàn)镠,G分別為BC,CD的中點(diǎn), 所以HG∥BD,且HG=BD. 綜上可知,EF∥HG,EF≠HG, 所以四邊形EFGH是梯形,且EF∥平面BCD. 6.如圖,下列正三棱柱AB
19、C-A1B1C1中,若M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),則不能得出AB∥平面MNP的是( ) 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 C 解析 在圖A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,所以AB∥平面MNP;在圖D中,易知AB∥PN,所以AB∥平面MNP.故選C. 7.平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零,則α與β的位置關(guān)系為( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 答案 C 解析 若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè),則α與β平行,若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè),則α
20、與β相交. 8.已知直線l,m,平面α,β,下列說法正確的是( ) A.l∥β,lα?α∥β B.l∥β,m∥β,lα,mα?α∥β C.l∥m,lα,mβ?α∥β D.l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=M?α∥β 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 答案 D 解析 如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD, 則AB∥平面DC1,AB平面AC, 但是平面AC與平面DC1不平行, 所以A錯誤;取BB1的中點(diǎn)E,CC1的中點(diǎn)F,可證EF∥平面AC, B1C1∥平面AC.EF平面BC1,B1C1平面BC1,但
21、是平面AC與平面BC1不平行,所以B錯誤;AD∥B1C1,AD平面AC,B1C1平面BC1,但是平面AC與平面BC1不平行,所以C錯誤;很明顯D是面面平行的判定定理,所以D正確. 二、填空題 9.設(shè)m,n是平面α外的兩條直線,給出下列三個推斷: ①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中兩個為條件,余下的一個為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個________. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 ①②?③(或①③?②) 解析 若m∥n,m∥α,則n∥α,同樣,若m∥n,n∥α,則m∥α. 10.如圖,在五面體FEABCD中,四邊形CDEF為矩形,M
22、,N分別是BF,BC的中點(diǎn),則MN與平面ADE的位置關(guān)系是________. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 平行 解析 ∵M(jìn),N分別是BF,BC的中點(diǎn), ∴MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形, ∴CF∥DE, ∴MN∥DE.又MN?平面ADE,DE平面ADE, ∴MN∥平面ADE. 11.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中,①BM∥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF. 以上四個說法中正確的是________. 考點(diǎn) 平行問題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化
23、 答案?、佗冖邰? 解析 以ABCD為下底面還原正方體,如圖. 則易知四個說法都是正確的. 12.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動,則M滿足________時,有MN∥平面B1BDD1. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 答案 M∈線段FH 解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,∴平面NHF∥平面B1BDD1, 故線段FH上任意一點(diǎn)M與N連接, 都有MN∥平面B1BDD1
24、. 三、解答題 13.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB,A1D1的中點(diǎn)分別為M,N,求證:MN∥平面B1D1DB. 考點(diǎn) 直線與平面平行的判定 題點(diǎn) 直線與平面平行的判定 證明 如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接MO,D1O,則OM∥AD且OM=AD,∵ND1=A1D1,AD∥A1D1,且AD=A1D1, ∴OM∥ND1,且OM=ND1, ∴四邊形OMND1為平行四邊形, ∴MN∥OD1.又MN?平面B1D1DB,OD1平面B1D1DB, ∴MN∥平面B1D1DB. 四、探究與拓展 14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別是A1B1
25、,B1C1,BB1的中點(diǎn),給出下列四個推斷: ①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推斷正確的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考點(diǎn) 平行問題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案 A 解析 ∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是棱A1B1,B1C1,BB1的中點(diǎn),∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,∵FG?平面AA1D1D, AD1平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故①正確;∵EF∥A1C1,A1C1與平面B
26、C1D1相交,∴EF與平面BC1D1相交,故②錯誤; ∵FG∥BC1,F(xiàn)G?平面BC1D1,BC1平面BC1D1, ∴FG∥平面BC1D1,故③正確; ∵EF與平面BC1D1相交,∴平面EFG與平面BC1D1相交,故④錯誤.故選A. 15.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO? 考點(diǎn) 平面與平面平行的判定 題點(diǎn) 平面與平面平行的判定 解 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時,平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q為CC1的中點(diǎn),P為DD1的中點(diǎn), ∴QB∥PA, 又O為DB的中點(diǎn), ∴D1B∥PO. 又PO∩PA=P,BQ∩D1B=B, ∴平面D1BQ∥平面PAO. 16
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