《（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.4.3 第2課時 圓、橢圓的參數(shù)方程的應用學案 蘇教版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.4.3 第2課時 圓、橢圓的參數(shù)方程的應用學案 蘇教版選修4-4（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2課時　圓、橢圓的參數(shù)方程的應用 1．能用曲線的參數(shù)方程去研究曲線的性質． 2．會用參數(shù)法解決圓錐曲線中的最值、定值等問題． [基礎·初探] 1．圓的參數(shù)方程 圓的參數(shù)方程的常見形式為(α為參數(shù))．其中，參數(shù)α的幾何意義是以圓心A(a，b)為頂點，且與x軸同向的射線按逆時針方向旋轉到圓上一點P所在半徑成的角． 2．橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程的常見形式為(θ為參數(shù))． [思考·探究] 1．橢圓的參數(shù)方程與圓的參數(shù)方程有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 【提示】　橢圓＋＝1(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故參數(shù)方程都運用了三角代換法，只是

2、參數(shù)方程的常數(shù)不同． 2．橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)φ的幾何意義是什么？ 【提示】　從幾何變換的角度看，通過伸縮變換，令 橢圓＋＝1可以變成圓x′2＋y′2＝1. 利用圓x′2＋y′2＝1的參數(shù)方程 (φ是參數(shù))可以得到橢圓＋＝1的參數(shù)方程(φ是參數(shù))．因此，參數(shù)φ的幾何意義應是橢圓上任意一點M所對應的圓的半徑OA(或OB)的旋轉角(稱為離心角)，而不是OM的旋轉角，如圖． [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____

3、________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問4：____________

4、_________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圓的參數(shù)方程的應用 　在圓x2＋2x＋y2＝0上求一點，使它到直線2x＋3y－5＝0的距離最大． 【自主解答】　圓的方程x2＋2x＋y2＝0可化為(x＋1)2＋y2＝1，所以設圓的參數(shù)方程為 設P(－1＋cos θ，sin θ)，則點P到直線2x＋3y－5＝0的距離為 d＝ ＝ ＝(其中sin α＝， cos α＝)． 當sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝， 即θ＝－

5、α時，d取到最大值，此時x＝－1＋cos θ＝－1－，y＝sin θ＝－， 即點P(－1－，－)即為所求． [再練一題] 1．已知點P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值． 【解】　圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． ∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α ＝＋sin 2α＋3× ＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋sin(2α－)． 則當α＝kπ＋(k∈Z)時，x2＋2xy＋3y2取最大值為2＋， 當α＝kπ－(k∈Z)時，x2＋2xy＋3y2取最小值為2－. 橢圓參數(shù)方程的應用 　已知實

6、數(shù)x，y滿足3x2＋2y2＝6x，求： (1)x＋y的最大值； (2)x2＋y2的取值范圍． 【導學號：98990035】 【思路探究】　本題表面上看是代數(shù)題，但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一個橢圓，故可以用橢圓的參數(shù)方程來解． 【自主解答】　方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋＝1.設 (1)x＋y＝1＋cos θ＋ sin θ ＝1＋ sin(θ＋α)(其中tan α＝，θ∈[0,2π))． 所以x＋y的最大值為1＋. (2)x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2 ＝1＋2cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝－cos2θ＋2cos θ＝－(co

7、s θ－2)2＋， 因為cos θ∈[－1,1]，所以0≤x2＋y2≤4. 利用橢圓的參數(shù)方程(φ是參數(shù))，將問題轉化為三角函數(shù)問題處理． [再練一題] 2．在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． 【解析】　由已知可得橢圓標準方程為＋＝1(a>b>0)． 由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直線的普通

8、方程為x＋y＝m.又圓的普通方程為x2＋y2＝b2，不妨設直線l經過橢圓C的右焦點(c,0)，則得c＝m.又因為直線l與圓O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故橢圓C的離心率為e＝. 【答案】　 [真題鏈接賞析] 　(教材第47頁例1)如圖4-4-5，已知M是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的點，A(a,0)和B(0，b)是橢圓的兩個頂點，O為原點，求四邊形MAOB的面積的最大值． 圖4-4-5 在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 【

9、命題意圖】　知識：考查直線與橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線與橢圓的位置關系等．能力：通過參數(shù)方程與普通方程的互化及求線段AB長的過程，考查了運算求解能力． 【解】　橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝. 1．已知圓的方程為x2＋y2＝4x，則它的參數(shù)方程是________． 【解析】　x2＋y2＝4x可化為(x－2)2＋y2＝4， ∴圓心為(2,0)，半徑r＝2. ∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)． 【答案】　(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)

10、 2．橢圓(φ為參數(shù))的焦距是________． 【解析】　根據(jù)參數(shù)方程，可知a＝3，b＝2. ∴c＝ ＝＝， ∴焦距為2c＝2. 【答案】　2 3．橢圓＋y2＝1上的點到直線x－y＋6＝0的距離的最小值為________． 【導學號：98990036】 【解析】　設P(cos θ，sin θ)是橢圓上的點，則點P到直線x－y＋6＝0的距離 d＝＝， 當cos(θ＋)＝－1時，d取到最小值，最小值為2. 【答案】　2 4．點P(x，y)在圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上運動，則3x＋4y的最大值為________，的最小值為________． 【解析】　設x＝1＋

11、cos θ，y＝1＋sin θ， 所以3x＋4y＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝，cos α＝)， 所以當sin(θ＋α)＝1時，3x＋4y取到最大值12. 設t＝＝，則sin θ－tcos θ＝t－1， 從而sin(θ－α)＝t－1(其中sin α＝， cos α＝)，＝sin(θ－α)， 所以≤1，解得t≥0，即的最小值為0. 【答案】　12　0 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 6