《（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第48講 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第48講 空間幾何體的表面積與體積學(xué)案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第48講　空間幾何體的表面積與體積 考試要求　1.空間幾何體的表面積(A級要求)，體積(A級要求)；2.高考對本講內(nèi)容的考查以填空題為主.應(yīng)關(guān)注空間幾何體表面積、體積的計算問題. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(　　) (3)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.(　　) (4)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.(　　) (5)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝a.(　　) 解析　如圖中的幾何體有兩個面平行，其

2、余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個側(cè)面的公共邊互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)錯；(2)有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故(2)錯. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2.(必修2P69復(fù)習(xí)題5改編)若長方體相鄰的三個面的面積分別是，，，則長方體的體積為________. 解析　可求三棱長為1，，，則體積為1××＝. 答案　 3.(2017·天津卷)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________. 解析　設(shè)正方體棱長為a，則6a2＝18?a2＝3，a＝.

3、外接球直徑為2R＝a＝3，R＝，V＝πR3＝π×＝π. 答案　 4.(必修2P71復(fù)習(xí)題20改編)設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四點，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝，PC＝3，則球O的表面積是________. 解析　可把PA，PB，PC看成長方體從同一個頂點出發(fā)的三條棱，則球O的半徑的大小為＝2，所以球O的表面積為16π. 答案　16π 5.(2017·全國Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為________. 解析　如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝. ∴

4、底面圓半徑r＝＝， 故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝. 答案　 6.將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為________. 解析　取AC的中點O，連接DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.因為DO＝BO＝＝a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.又因為DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱錐D－ABC的高.因為S△ABC＝a2，所以三棱錐D－ABC的體積為×a2×a＝a3. 答案　a3 知 識 梳 理 1.多面體的結(jié)構(gòu)特征 2.旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形

5、旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 3.柱、錐、臺和球的表面積和體積 　　名稱 幾何體 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 4.常用結(jié)論 (1)與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 ①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. ②底面面積及高都相等的兩

6、個同類幾何體的體積相等. (2)幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 a.正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. b.若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 考點一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 【例1】 給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③存在每個面都是直角三角形的四面體； ④棱臺的

7、側(cè)棱延長后交于一點. 其中正確命題的序號是________. 解析　①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形；④正確，由棱臺的概念可知. 答案?、冖邰? 規(guī)律方法　(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷. (2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會利用

8、反例對概念類的命題進行辨析. 【訓(xùn)練1】 (1)以下命題： ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面； ④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺. 其中正確命題的個數(shù)為________. (2)給出下列四個命題： ①有兩個側(cè)面是矩形的幾何體是直棱柱； ②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； ③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體； ④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正確的命題為________(填序號). 解析　(1)命題①錯，因為這條邊若是直角

9、三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯，因為這條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對；命題④錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，故正確的命題個數(shù)為1. (2)對于①，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確. 綜上，命題①②③不正確. 答案　(1)1　(2)①②③ 考點二　求空間幾何體的表面積 【例2】 (1)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________. (2)(2018·蘇

10、州模擬)如圖，斜三棱柱ABC－A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB與AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面積. (1)解析　由題意知該六棱錐為正六棱錐，∴設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××2××h＝2， ∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12. 答案　12 (2)解　如圖，過A′作A′D⊥平面ABC于D，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 連接A′E，A′F，AD. 則由∠A′AE＝∠A′AF， AA′＝AA′， 又由題意知A′E⊥AB，A′F⊥AC， 得Rt△A′AE≌Rt△A

11、′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， 又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四邊形BCC′B′是矩形， ∴斜三棱柱的側(cè)面積為2×a×bsin 45°＋ab＝(＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面積為2×a2＝a2， ∴斜三棱柱的表面積為(＋1)ab＋a2. 規(guī)律方法　(1)解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡單的幾何體組成的以及這些簡單的幾何體的組合情況. (2)在求多面體的側(cè)面積時，應(yīng)對每一側(cè)面分別求解后再相加，對于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. (3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算

12、側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 【訓(xùn)練2】 一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3 cm和6 cm，高是 cm. (1)求三棱臺的斜高； (2)求三棱臺的側(cè)面積和表面積. 解　(1)設(shè)O1、O分別為正三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O＝，作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，則D1D為三棱臺的斜高； 過D1作D1E⊥AD于E，則D1E＝O1O＝， 因為O1D1＝×3＝，OD＝×6＝， 則DE＝OD－O1D1＝－＝. 在Rt△D1DE中， D1D＝＝＝(cm). 故三棱臺的斜高為 cm. (2

13、)設(shè)c、c′分別為上、下底的周長，h′為斜高， S側(cè)＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝ (cm2)， S表＝S側(cè)＋S上＋S下＝＋×32＋×62 ＝ (cm2). 故三棱臺的側(cè)面積為 cm2，表面積為 cm2. 考點三　空間幾何體的體積 【例3】 (1)(2015·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________． (2)(2018·鹽城模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2 cm，E為C1D1的中點，則三棱錐

14、EA1BC的體積為________ cm3. 解析　(1)設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. (2)V三棱錐EA1BC＝V三棱錐EA1D1C＝V三棱錐A1－D1EC＝S△D1EC· A1D1＝××1×2×2＝. 答案　(1)　(2) 規(guī)律方法　空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用換底法、分割法、補形法等方法進行求解． 【訓(xùn)練3】 如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是

15、邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________. 解析　如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH， 容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝， ∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝， ∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝. 答案　 考點四　與球有關(guān)的問題 【例4】 (2018·揚州模擬)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為_____

16、___. 解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線， 則垂足為BC的中點M. 又AM＝BC＝， OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 答案　 規(guī)律方法　空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解. (2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解. 【訓(xùn)練4】 (1)已知棱長為4的

17、正方體，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？ (2)已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？ (3)已知側(cè)棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？ 解　(1)由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r. 又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4， 從而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π， V內(nèi)切球＝πr3＝π×23＝. (2)正四面體的表面積為S1＝4··a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積

18、為S2＝4πr2＝，則＝＝. (3)依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3×＝6，高為 ＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3. 一、必做題 1.用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為________. 解析　依題意，設(shè)球半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25， ∴S球＝4πR2＝100π. 答案　100π 2.(2018·連云港模擬)五棱柱中不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)為________. 解析　如圖，在

19、五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點A出發(fā)的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點出發(fā)的對角線均有兩條，共2×5＝10(條). 答案　10 3.給出下列命題： ①在正方體上任意選擇4個不共面的頂點，它們可能是正四面體的4個頂點； ②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐； ③若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱. 其中正確命題的序號是________. 解析　對于②，如圖，底面ABC為等邊三角形，且AB＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；對于③，必須是相鄰

20、的兩個側(cè)面才是直四棱柱. 答案　① 4.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為________. 解析　由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長為.∵ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側(cè)面ABB1A1的面積為×1＝. 答案　 5.(2018·鹽城一模)一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為

21、________. 解析　設(shè)等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝·πa2·a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝·(a)3＝a3， 則其體積比為. 答案　 6.如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.則三棱錐P－ABC體積的最大值為________. 解析　VP－ABC＝PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值.當(dāng)CO⊥AB時，△ABC的面積最大，最大值為×2×1＝1，此時VP－ABC＝PO·S△ABC＝. 答案　 7.(2018·徐州、

22、連云港、宿遷聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面是邊長為2的正三角形，則此三棱柱的體積為________. 解析　因為AA1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝＝，同理可得AC1＝，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高為h＝＝，其面積S△AB1C1＝×2×＝，于是三棱錐A－A1B1C1的體積V三棱錐A－A1B1C1＝V三棱錐A1－AB1C1＝×S△AB1C1×AA1＝，進而可得此三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝3V三棱錐A－A1B1C

23、1＝3×＝. 答案　 8.已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________. 解析　(圖略)在四面體ABCD中，取線段CD的中點為E，連接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中點為F，連接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中點為O，連接OA，則OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是，∴外接球的表面積是7π. 答案　7π

24、9.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和為________. 解析　由題意，圖中弧為過球心的平面與球面相交所得大圓的一段弧，因為∠A1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧長公式知弧的長為2×＝.弧為不過球心的平面與球面相交所得小圓的一段弧，其圓心為B，因為球心到平面BCC1B1的距離d＝，球的半徑R＝2，所以小圓的半徑r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧的長為1×＝.故兩段弧長之和為. 答案　π 10.如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△AD

25、C沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示. (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積. (1)證明　在題圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC， BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為. 二、選做題 11.(2017·全國Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 c

26、m，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________. 解析　如圖，設(shè)正三角形的邊長 x，則OG＝×x＝x， ∴FG＝SG＝5－x， SO＝h＝＝＝， ∴三棱錐的體積V＝S△ABC·h＝×x2×＝， 令n(x)＝5x4－x5，則n′(x)＝20x3－x4， 令n′(x)＝0，4x3－＝0，x＝4， Vm

27、ax＝×48×＝4. 答案　4 12.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： (1)該幾何體的體積； (2)截面ABC的面積. 解　(1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于A2，B2. 由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，則V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2 ＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC中， AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝2. 則S△ABC＝×2× ＝. 15