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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 文 A組 小題提速練 一、選擇題 1.已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為 (  ) A.(1,)       B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞) 解析:∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x,則由題意得>2,∴e==>=. 答案:C 2.(2018·河南八市聯(lián)考)已知點(diǎn)M(-3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn),若拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),則|MQ|-|QF|的最小值是(  ) A. B.3 C. D.2 解析:拋物線的

2、準(zhǔn)線方程為x=-,依據(jù)拋物線的定義,得|QM|-|QF|≥|xQ+3|-==,選C. 答案:C 3.已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l,設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為m,則m+|PC|的最小值為(  ) A.5 B. C.-2 D.4 解析:由題得,圓C的圓心坐標(biāo)為(-3,-4),拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0).根據(jù)拋物線的定義,得m+|PC|=|PF|+|PC|≥|FC|=. 答案:B 4.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為(  ) A.1 B. C.2 D.2 解析:設(shè)橢圓C:

3、+=1(a>b>0),則使三角形面積最大時(shí),三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn), 所以S=×2c×b=bc=1≤=. 所以a2≥2.所以a≥. 所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a≥2,故選D. 答案:D 5.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2. ∵|AB|=4,|DE|=2, 拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-, ∴不妨設(shè)A,D. ∵點(diǎn)A,D在圓x2+y2=r2上, ∴∴+8=+5,∴p=4(

4、負(fù)值舍去). ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. 答案:B 6.(2018·贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為(  ) A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2) 解析:過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足是N,則|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,當(dāng)A,M,N三點(diǎn)共線時(shí),|MF|+|MA|取得最小值,此時(shí)M(2,2). 答案:D 7.(2018·湖南師大附中月考)設(shè)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與拋物線y2=x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,若x0>1,則雙曲線C的離心率e

5、的取值范圍是(  ) A. B.(,+∞) C.(1,) D. 解析:聯(lián)立消去y得x2=x,由x0>1知<1,即<1,故e2<2,又e>1,所以1

6、P的面積為(  ) A. B.1 C. D.2 解析:設(shè)P(xP,yP),由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2,∴由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2,∴xP+1=2,∴xP=1,代入拋物線方程得|yP|=2,∴△OFP的面積為S=·|OF|·|yP|=×1×2=1. 答案:B 10.已知圓:C1(x-4)2+y2=169,圓C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(  ) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 解析:設(shè)圓M的半徑為r, 則|MC1|+|MC

7、2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=16,2c=8,故所求的軌跡方程為+=1. 答案:D 11.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1消去y,得(+b2)x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,選擇

8、D. 答案:D 12.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率e=,點(diǎn)A(0,1)與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是,則該雙曲線的方程為(  ) A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.-=1 解析:由c=,知==,解得a=2b,所以雙曲線的方程為-=1,即為x2-4y2=4b2.設(shè)B(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn),故|AB|2=x2+(y-1)2=4b2+4y2+(y-1)2=52+4b2+,當(dāng)y=時(shí),|AB|取得最小值 =,解得b=1,所以該雙曲線的方程為-y2=1. 答案:C 二、填空題 13.若橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形,且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離

9、為1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析:由題意可知 ∴∴b2=a2-c2=3. 橢圓方程為+=1或+=1. 答案:+=1或+=1 14.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=________. 解析:雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,由已知可得兩條漸近線方程互相垂直,由雙曲線的對(duì)稱性可得=1.又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,所以c=2,所以a2+b2=c2=(2)2,解得a=2. 答案:2 15.已知直線l:y=kx+t與圓:x2+(y+1)2=1相切,且與拋物線C:x2=

10、4y交于不同的兩點(diǎn)M,N,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________. 解析:因?yàn)橹本€l與圓相切,所以=1?k2=t2+2t.再把直線l的方程代入拋物線方程并整理得x2-4kx-4t=0,于是由Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,得t>0或t<-3. 答案:t>0或t<-3 16.過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為________. 解析:設(shè)直線方程為y=(x-c), 由,得x=, 由=2a,e=, 解得e=2+(e=2-舍去). 答案:2+ B組 大題規(guī)范練 1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到

11、定點(diǎn)F1(-2,0)和F2(2,0)的距離之和為4. (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)設(shè)N(0,2),過點(diǎn)P(-1,-2)作直線l,交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A,B,直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值. 解析:(1)由橢圓的定義,可知點(diǎn)M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓. 由c=2,a=2,得b=2. 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為+=1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y+2=k(x+1), 由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0. Δ=[4k(k-2)]2-4(1+2k2)(2k2-8k)>0,則k>0或k<-.

12、設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=. 從而k1+k2=+ = =2k-(k-4)=4. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),得A,B, 所以k1+k2=4. 綜上,恒有k1+k2=4. 2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左焦點(diǎn)為F(-1,0),過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)在y軸上,是否存在定點(diǎn)E,使·恒為定值?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值;若不存在,說明理由. 解析:(1)由已知可得解得a2=2,b2=1, 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)設(shè)過點(diǎn)D(0,2)且斜

13、率為k的直線l的方程為y=kx+2, 由消去y整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-. y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=. 設(shè)存在點(diǎn)E(0,m),則=(-x1,m-y1), =(-x2,m-y2), 所以·=x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y2=+m2-m·-=. 要使得·=t(t為常數(shù)), 只需=t,從而(2m2-2-2t)k2+m2-4m+10-t=0, 即解得m=,從而t=

14、, 故存在定點(diǎn)E,使·恒為定值. 3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍. 解析:(1)由題意,得c=1, 所以a2=b2+1. 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上, 所以+=1,所以a2=4,b2=3. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(4k2+3)x2+16kx+4=0. 因?yàn)棣ぃ?8(4k2-1)>0,所以k2>,

15、 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=. 因?yàn)椤螦OB為銳角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0. 所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0, 即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 所以(1+k2)·+2k·+4>0, 即>0, 所以k2<. 綜上可知

16、平行四邊形OASB中||=|-|?若存在,求出所有滿足條件的直線 l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析:(1)圓C1的方程可化為(x+3)2+y2=9. 設(shè)圓C1的圓心C1(-3,0)關(guān)于直線l1:y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C(a,b),則kCC1·2=-1,且線段CC1的中點(diǎn)在直線l1:y=2x+1上, 所以有 解得 所以圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9. (2)因?yàn)閨|=|-|=||,所以平行四邊形OASB為矩形,所以O(shè)A⊥OB,即·=0. ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),可得直線l:x=-1,與圓C:(x-1)2+(y+2)2=9交于兩點(diǎn)A(-1,-2),B(-1,--2

17、). 因?yàn)椤ぃ?-1)×(-1)+(-2)×(--2)=0,所以O(shè)A⊥OB,所以當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l:x=-1滿足條件. ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí), 可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0. 由于點(diǎn)(-1,0)在圓C內(nèi)部,所以Δ>0恒成立. x1,2=, x1+x2=-,x1·x2=. 要使OA⊥OB,必須使·=0,即x1x2+y1y2=0, 也就是+k2(x1+1)(x2+1)=0. 整理得:(1+k2)-k2·+k2=0. 解得k=1,所以直線l的方程為y=x+1. 故存在直線x=-1和y=x+1,它們與圓C交于A,B兩點(diǎn),使得在平行四邊形OASB中||=|-|.

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