《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點1　函數(shù)的奇偶性 考點2　函數(shù)的周期性 1．周期函數(shù) 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． 2．最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． [必會結(jié)論] 1．函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(

2、x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (4)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．周期性的三個常用結(jié)論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.(a>0) 3．對稱性的三個常用結(jié)論 (1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱； (2)若對于R上的

3、任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱； (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　) (2)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．(　　) (3)函數(shù)y＝＋既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，則f(2018)＝2018.(　　) 答案　(

4、1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[2017·北京高考]已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 答案　A 解析　∵函數(shù)f(x)的定義域為R， f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． ∵函數(shù)y＝x在R上是減函數(shù)， ∴函數(shù)y＝－x在R上是增函數(shù)． 又∵y＝3x在R上是增函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)．故選A. 3．[課本改編]如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一

5、定為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x) 答案　B 解析　設(shè)g(x)＝xf(x)．因為f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)， 所以g(－x)＝g(x)，所以B正確． 4．[課本改編]若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，b＝________. 答案　　0 解析　因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋1為偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對稱軸－＝0，易得b＝0.

6、5．[2016·四川高考]若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)00，則x的取值范圍是________． 答案　(－1,3) 解析　∵f(2)＝0，f(x－1)>0， ∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(|x－1|)>f

7、(2)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴|x－1|<2，∴－2

8、3)易知函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，又當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x<0時，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當(dāng)x<0時，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x>0時，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)． 觸類旁通 判斷函數(shù)奇偶性的必備條件 (1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域． (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立． 【變式訓(xùn)練1

9、】　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝. 解　(1)定義域為{x|x＝±1}，化簡得f(x)＝0， 故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． (2)∵－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)． 考向　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 命題角度1　利用奇偶性求函數(shù)值 例　2　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于(　　) A．－26 B．－18 C．－10 D．10 答案　A 解析　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函數(shù)，從而g(－2)＝－g(2)，又f(

10、x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18. ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 解法二：由已知條件，得 ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10， ∴f(2)＝－26. 命題角度2　利用奇偶性求參數(shù)值 例　3　[2015·全國卷Ⅰ]若函數(shù)f(x)＝xln (x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. 答案　1 解析　解法一：由題意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1. 解法二：由f(x)為偶函數(shù)有l(wèi)n (x＋)為奇函數(shù)，令g(

11、x)＝ln (x＋)，有g(shù)(－x)＝－g(x)，以下同解法一． 命題角度3　利用奇偶性求解析式 例　4　f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解　當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以當(dāng)x<0時，f(x)＝2x2＋3x－1. 因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為 f(x)＝ 命題角度4　利用奇偶性的圖象特征解不等式 例　5　已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x

12、，若f(2－a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x)是奇函數(shù)， ∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2

13、，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值． (4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性． 考向　函數(shù)奇偶性與周期性的綜合問題 例　6　(1)[2017·山東高考]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 答案　6 解析　∵f(x＋4)＝f(x

14、－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. (2)奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2，則f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值為________． 答案?。? 解析　函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期為4，所以f(2018)

15、＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 觸類旁通 奇偶性與周期性綜合問題的解題策略 函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 【變式訓(xùn)練2】　已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝_______. 答案　2.5 解析　由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－＝－＝f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)

16、＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5. 核心規(guī)律 1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性． 2.奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應(yīng)用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)． 滿分策略 1.函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，因此判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)定義域． 2.函數(shù)f(

17、x)是奇函數(shù)，必須滿足對定義域內(nèi)的每一個x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同樣偶函數(shù)也是如此． 3.判斷分段函數(shù)奇偶性時，要以整體觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇(偶)函數(shù)，而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列3——利用函數(shù)的奇偶性解抽象不等式 [2016·天津高考]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________． 解題視點　由已知可得出f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－)＝f(

18、)，利用單調(diào)性將f(2|a－1|)>f()轉(zhuǎn)化為2|a－1|<，解該不等式即可． 解析　∵f(x)是偶函數(shù)且在(－∞，0)上單調(diào)遞增， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－)＝f()， ∴原不等式可化為f(2|a－1|)>f()． 故有2|a－1|<，即|a－1|<，解得

19、且當(dāng)x>0時，f(x)＝x3－8，則{x|f(x－2)>0}＝(　　) A．{x|－22} B．{x|04} C．{x|x<0或22} 答案　B 解析　當(dāng)x＝2時，有f(2)＝0，又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致圖象，由圖象可知，當(dāng)－22，即04時，有f(x－2)>0.故選B. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．[2018·合肥質(zhì)檢]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　) A．y＝x3 B．

20、y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| 答案　B 解析　因為y＝x3是奇函數(shù)，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均為偶函數(shù)，所以A錯誤；又因為y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝|x|在(0，＋∞)上均為減函數(shù)，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以C，D兩項錯誤，只有B正確． 2．[2018·南寧模擬]設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) C．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函

21、數(shù) 答案　B 解析　f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)．故選B. 3．[2017·齊魯名校模擬]已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 答案　A 解析　因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3. 4．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則滿足不等式f(2x－1)>f成

22、立的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因為偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f(2x－1)>f，則－<2x－1<，解得－0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　) A．－x(1－x) B．x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 答案　B 解析　當(dāng)x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 6．[2018·貴陽模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3＋s

23、inx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　) A．3 B．0 C．－1 D．－2 答案　B 解析　設(shè)F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.故選B. 7．[2018·德州模擬]設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式>0的解集為(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 答案　A 解析　由>0，可得>0，即>0

24、， 當(dāng)x<0時，f(x)<0，即f(x)0時，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1. 故不等式>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)． 8．[2017·全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 答案　12 解析　令x>0，則－x<0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x>0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. f(2)＝－f(－2)＝－[2×(

25、－2)3＋(－2)2]＝12. 9．[2017·豫東十校聯(lián)考]若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________. 答案　 解析　依題意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝. 10．[2018·衡水模擬]已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________. 答案?。? 解析　∵y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1， ∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. [B級　知能提升] 1．[2018·金版創(chuàng)新]已知函數(shù)f(x)是定義在R

26、上的函數(shù)，若函數(shù)f(x＋2016)為偶函數(shù)，且f(x)對任意x1，x2∈[2016，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，則(　　) A．f(2019)f(2018)>f(2019)．又因為f(x＋2016)為偶函數(shù)，所以f(－x＋2016)＝f(x

27、＋2016)，所以f(－2＋2016)＝f(2＋2016)，即f(2014)＝f(2018)，所以f(2017)>f(2014)>f(2019)．故選A. 2．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 答案　D 解析　由f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，可得f(x)－g(x)＝e－x，則兩式相減，可得g(x)＝.選D. 3．[2018·蘇州模擬]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿

28、足f(x＋2)·f(x)＝1對于x∈R恒成立，且f(x)>0，則f(119)＝________. 答案　1 解析　∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4，f(119)＝f(3)．令x＝－1，f(1)f(－1)＝1， ∴f(1)＝1，f(3)＝＝1. 4．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]上遞減，求滿足f(1－m)＋f(1－m2)<0的實數(shù)m的取值范圍． 解　∵f(x)的定義域為[－2,2]， ∴解得－1≤m≤.① 又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減， ∴f(x)在[－2,2]上遞減， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(

29、m2－1) ?1－m>m2－1，解得－2