3x,故C錯誤;“若sinα≠,則α≠”的逆否命題為“若α=,則sinα=”,且其逆否命題為真命題,所以原命題為真命題,故選D.
4.根據(jù)如圖所示程序框圖,當輸入x為2020時,輸出的y等于( )
A.2 B.4 C.10 D.28
答案 C
解析 x每執(zhí)行一次循環(huán)減少2,當x變?yōu)椋?/p>
4、2時,跳出循環(huán)y=3-x+1=32+1=10,故選C.
5.已知f(x)=,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則( )
A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)
C.f(e)>f(2)>f(3) D.f(e)>f(3)>f(2)
答案 D
解析 f(x)=,f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=e,當x∈(0,e)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當x∈(e,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,故f(x)在x=e處取得最大值f(e),f(2)-f(3)=-==<0,∴f(2)f(3)>f(2),故選D.
6.某
5、廣播電臺只在每小時的整點和半點開始播放新聞,時長均為5分鐘,則一個人在不知道時間的情況下打開收音機收聽該電臺,能聽到新聞的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由題意可知,該廣播電臺在一天內(nèi)播放新聞的時長為24×2×5=240分鐘,即4個小時,所以所求的概率為=,故選D.
7.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=,a2a6=8(a4-2),則S2018=( )
A.22017- B.1-2017
C.22018- D.1-2018
答案 A
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)及a2a6=8(a4-2),得a=8a4-16,解得a4=4.又a4=q
6、3,故q=2,所以S2018==22017-,故選A.
8.將函數(shù)y=2sincos的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)恰為奇函數(shù),則φ的最小值為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根據(jù)題意可得y=sin,將其圖象向左平移φ個單位長度,可得y=sin的圖象,因為該圖象所對應的函數(shù)恰為奇函數(shù),所以+2φ=kπ(k∈Z),φ=-(k∈Z),又φ>0,所以當k=1時,φ取得最小值,且φmin=,故選B.
9.設P,Q分別為x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是( )
A.5 B.+
C.7+ D.6
7、答案 D
解析 依題意,P,Q兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑.
設Q(x,y),則+y2=1,x2=10-10y2,所以圓心到橢圓的最大距離d===≤5.所以P,Q兩點間的最大距離是6.故選D.
10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由三視圖知,該幾何體是在長、寬、高分別為2,1,1的長方體中,截去一個三棱柱AA1D1-BB1C1和一個三棱錐C-BC1D后剩下的幾何體,即如圖所示的四棱錐D-ABC1D1,四棱錐D-ABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D1=2×=2,高h=,
8、其體積V=S四邊形ABC1D1h=×2×=.故選D.
11.若P是函數(shù)f(x)=(x+1)ln (x+1)圖象上的動點,點A(-1,-1),則直線AP斜率的取值范圍為( )
A.[1,+∞) B.[0,1]
C.(e-1,e] D.(-∞,e-1]
答案 A
解析 由題意可得,f′(x)=ln (x+1)+1,結(jié)合函數(shù)f(x)的定義域可知,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且f=->-1,繪制f(x)大致圖象如圖所示,當直線AP與函數(shù)f(x)的圖象相切時直線AP的斜率取得最小值.設切點坐標(x0,(x0+1)ln (x0+1)),則切線的斜率k=ln (x0+1)+1
9、,切線方程為y-(x0+1)ln (x0+1)=[ln (x0+1)+1](x-x0),則切線過點(-1,-1),則-1-(x0+1)ln (x0+1)=[ln (x0+1)+1](-1-x0),解得x0=0,則切線的斜率k=ln (x0+1)+1=1.綜上可得,直線AP斜率的取值范圍為[1,+∞),故選A.
12.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且圖象關于點(2,0)對稱,且當x∈(0,2)時,f(x)=x3,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2018,2021]上( )
A.無最大值 B.最大值為0
C.最大值為1 D.最大值為-1
答案 C
解析 因為函數(shù)f(x)的圖象關于點
10、(2,0)對稱,所以f(4-x)=-f(x).又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(4-x)=f(-x).令t=-x,得f(4+t)=f(t),所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).又函數(shù)f(x)的定義域為R,且函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,f(-2)=-f(2),由函數(shù)f(x)的周期為4,得f(-2)=f(2),所以-f(2)=f(2),解得f(2)=0.所以f(-2)=0.依此類推,可以求得f(2n)=0(n∈Z).作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,
根據(jù)周期性,可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[2018,2021]上的圖象與在區(qū)間[-2,1]上的圖象完全一樣
11、. 觀察圖象可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,1]上單調(diào)遞增,且f(1)=13=1,又f(-2)=0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值是1,故函數(shù)f(x)在區(qū)間[2018,2021]上的最大值也是1.
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22~23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知單位向量e1,e2,且〈e1,e2〉=,若向量a=e1-2e2,則|a|=________.
答案
解析 因為|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=,所以|a|2=|e1-2e2|
12、2=1-4|e1||e2|cos+4|e2|2=1-4×1×1×+4=3,即|a|=.
14.設變量x,y滿足約束條件則z=2x+2y的取值范圍為________.
答案 [6,+∞)
解析 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.
目標函數(shù)z=2x+2y可化為y=-x+z,直線的縱截距與z同號,故當直線y=-x+z經(jīng)過點A(3,0)時,縱截距取得最小值,z也取得最小值,為2×3+2×0=6,隨著直線y=-x+z向上移動,縱截距變大,z也隨之變大,但取不到最大值,所以z=2x+2y的取值范圍為[6,+∞).
15.若直線l:ax-3y+12=0(a∈R)與圓M:x2+y2-4
13、y=0相交于A,B兩點,且∠ABM的平分線過線段MA的中點,則實數(shù)a=________.
答案 ±
解析 如圖,易知直線l過定點(0,4),且該點在圓M上,即直線l與圓M的一個交點是A(0,4).圓M的圓心M(0,2),半徑r=2.在△MAB中,MA=MB=2,又∠ABM的平分線過線段MA的中點,由平面幾何知識,得△MAB為正三角形,則∠ABM=60°.于是直線l的傾斜角為30°或150°,斜率k=±,所以=±,即a=±.
16.對任一實數(shù)序列A={a1,a2,a3,…},定義新序列ΔA=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),它的第n項為an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有
14、項都是1,且a12=a22=0,則a2=________.
答案 100
解析 令bn=an+1-an,依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,所以bn=b1+(n-1)×1,
a1=a1,
a2-a1=b1,
a3-a2=b2,
…
an-an-1=bn-1,
累加得an=a1+b1+…+bn-1
=a1+(n-1)b1+
=(n-1)a2-(n-2)a1+,
分別令n=12,n=22,
得解得a1=,a2=100.
三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
15、=tanA+tanB.
(1)求角A的大??;
(2)設AD為BC邊上的高,a=,求AD的取值范圍.
解 (1)在△ABC中,∵=tanA+tanB,
∴=+,
即=,
∴=,則tanA=,∴A=.
(2)∵S△ABC=AD·BC=bcsinA,
∴AD=bc.
由余弦定理得cosA==≥,
∴0
16、電視,另外35人主要的休閑方式是運動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下,認為主要的休閑方式與性別有關?
(3)在主要的休閑方式為看電視的人中按分層抽樣的方法選取6人參加某機構組織的健康講座,講座結(jié)束后再從這6人中選取2人做反饋交流,求參加交流的恰好為2位女性的概率.
附:
P(K2≥k)
0.05
0.025
0.010
k
3.841
5.024
6.635
K2=.
解 (1)2×2列聯(lián)表如下表.
(2)由題意得K2=≈5.328.
因為5.328>5.024,所以能在犯錯誤的概率不超過
17、0.025的前提下認為主要的休閑方式與性別有關.
(3)主要的休閑方式為看電視的共60人,按分層抽樣的方法選取6人,則男性有×20=2人,可記為A,B,女性有×40=4人,可記為c,d,e,f.
現(xiàn)從6人中選取2人,總的基本事件有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15個,選取的2人恰好都是女性的基本事件有cd,ce,cf,de,df,ef,共6個,故所求概率P==.
19. (本小題滿分12分)如圖,在四面體ABCD中,AC=6,BA=BC=5,AD=CD=3.
(1)求證:AC⊥BD;
(2)當四面體ABCD的體積最大時
18、,求點A到平面BCD的距離.
解 (1)證明:如圖,取AC的中點O,連接OB與OD,
∵BA=BC,∴AC⊥OB,
∵AD=CD,∴AC⊥OD,
又OD∩OB=O,
∴AC⊥平面OBD,又BD?平面OBD,
∴AC⊥BD.
(2)由題可知,當四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC,
∵DO⊥AC,
∴DO⊥平面ABC,又OB?平面ABC,
∴DO⊥OB,
∵DA=DC=3,AC=6,AB=BC=5,
∴OD===3,
OB===4,
∴DB===5,
又BC=5,
∴在△BCD中,CD邊上的高
h= = =,
∴S△BCD=×CD×h=×3×
19、=,
S△ABC=×AC×OB=×6×4=12.
設點A到平面BCD的距離為d,
∵VA-BCD=VD-ABC,
即S△BCD×d=S△ABC×OD,
∴d===,
∴點A到平面BCD的距離為.
20.(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過焦點F的直線交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且y1y2=-4.
(1)求拋物線C的方程;
(2)如圖,點B在準線l上的投影為E,D是C上一點,且AD⊥EF,求△ABD面積的最小值及此時直線AD的方程.
解 (1)依題意F,
當直線AB的斜率不存在時,y1y2=-p2=-4,
20、p=2.
當直線AB的斜率存在時,設AB:y=k,
由化簡得y2-y-p2=0.
由y1y2=-4得p2=4,p=2.
綜上所述,拋物線方程為y2=4x.
(2)設D(x0,y0),B,則E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A.
因為kEF=-,AD⊥EF,
所以kAD=,故直線AD:y+=,
化簡得2x-ty-4-=0.
由化簡得y2-2ty-8-=0,
所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.
所以|AD|= |y1-y0|
=·
= .
設點B到直線AD的距離為d,則
d==.
所以S△ABD=|AD|·d= ≥16,當且僅當t4=16,即t=±2時取
21、最小值.
當t=2時,直線AD:x-y-3=0;當t=-2時,直線AD:x+y-3=0.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex-x+a(其中a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828……).
(1)若f(x)≥0對任意的x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設t為整數(shù),對于任意正整數(shù)n,n+n+n+…+n0時,x>0;f′(x)=ex-1<0時,x<0.
所以f(x)=ex-x+a在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)
22、遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=ex-x+a的最小值為f(0)=e0-0+a=1+a.由f(x)≥0對任意的x∈R恒成立,得f(x)min≥0,即1+a≥0,所以a≥-1,即實數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞).
請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.
22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)已知曲線C3
23、的極坐標方程為θ=α(0<α<π,ρ∈R),點A是曲線C3與C1的交點,點B是曲線C3與C2的交點,且A,B均異于原點O,且|AB|=4,求實數(shù)α的值.
解 (1)由消去參數(shù)φ,
可得C1的普通方程為(x-2)2+y2=4.
∵ρ=4sinθ,∴ρ2=4ρsinθ,
由得曲線C2的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4.
(2)由(1)得曲線C1:(x-2)2+y2=4,其極坐標方程為ρ=4cosθ,
由題意設A(ρ1,α),B(ρ2,α),
則|AB|=|ρ1-ρ2|=4|sinα-cosα|
=4=4,
∴sin=±1,∴α-=+kπ(k∈Z),
∵0<α<π,∴α=.
24、
23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)解不等式f(x)≤3;
(2)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域為M,若t∈M,證明t2+1≥+3t.
解 (1)依題意,得f(x)=
∴f(x)≤3?或或
解得-1≤x≤1,
即不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤1}.
(2)證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|
≥|2x-1-2x-2|=3,
當且僅當(2x-1)(2x+2)≤0時取等號,
∴M=[3,+∞).
t2+1-3t-==,
∵t∈M,∴t-3≥0,t2+1>0,
∴≥0,∴t2+1≥+3t.