(浙江專(zhuān)用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)(一)學(xué)案 新人教A版必修2
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1、 1.2.1 任意角的三角函數(shù)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過(guò)借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,了解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).2.借助任意角三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).3.通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 知識(shí)點(diǎn)一 任意角的三角函數(shù) 使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,在終邊上任取一點(diǎn)P,作PM⊥x軸于M,設(shè)P(x,y),|OP|=r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分別等于什么? 答案 sin α=,cos α=,tan α=. 思考2 對(duì)確定的銳角α,sin α,co
2、s α,tan α的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變? 答案 不會(huì).因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值,其大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān). 思考3 在思考1中,當(dāng)取|OP|=1時(shí),sin α,cos α,tan α的值怎樣表示? 答案 sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=. 梳理 (1)單位圓 在直角坐標(biāo)系中,我們稱(chēng)以原點(diǎn)O為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓. (2)定義 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么: ①y叫做α的正弦,記作sin_α, 即sin α=y(tǒng);
3、 ②x叫做α的余弦,記作cos_α,即cos α=x; ③叫做α的正切,記作tan_α,即tan α= (x≠0). 對(duì)于確定的角α,上述三個(gè)值都是唯一確定的.故正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù). 知識(shí)點(diǎn)二 正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號(hào) 思考 根據(jù)三角函數(shù)的定義,你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎? 答案 由三角函數(shù)定義可知,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=(x≠0).當(dāng)α為第一象限角時(shí),y>0, x>0,故
4、sin α>0,cos α>0,tan α>0,同理可得當(dāng)α在其他象限時(shí)三角函數(shù)值的符號(hào),如圖所示. 梳理 記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 知識(shí)點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式一 思考 當(dāng)角α分別為30°,390°,-330°時(shí),它們的終邊有什么特點(diǎn)?它們的三角函數(shù)值呢? 答案 它們的終邊重合.由三角函數(shù)的定義知,它們的三角函數(shù)值相等. 梳理 誘導(dǎo)公式一 sin(α+k·2π)=sin α, cos(α+k·2π)=cos α, tan(α+k·2π)=tan α, 其中k∈Z. 1.sin α,cos α,tan α的大小與點(diǎn)P(x,y)在角α的終邊上的位置
5、有關(guān).( × ) 提示 三角函數(shù)的大小由角α終邊位置確定,而與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無(wú)關(guān). 2.終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.( √ ) 提示 由三角函數(shù)的定義可知,終邊相同的角的三角函數(shù)值相等. 類(lèi)型一 三角函數(shù)定義的應(yīng)用 命題角度1 已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值 例1 已知θ終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ,tan θ. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值 解 由題意知r=|OP|=, 由三角函數(shù)定義得cos θ== . 又∵cos θ=x,∴=x. ∵x≠0,∴x=±1. 當(dāng)x=1時(shí),P(
6、1,3), 此時(shí)sin θ==,tan θ==3. 當(dāng)x=-1時(shí),P(-1,3), 此時(shí)sin θ==,tan θ==-3. 反思與感悟 (1)已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法 在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0),則sin α=,cos α=.當(dāng)已知α的終邊上一點(diǎn)求α的三角函數(shù)值時(shí),用該方法更方便. (2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論. 跟蹤訓(xùn)練1 已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值
7、解 r==5|a|. ①若a>0,則r=5a,角α在第二象限, sin α===,cos α===-, ∴2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,則r=-5a,角α在第四象限, sin α==-,cos α==, ∴2sin α+cos α=-+=-1. 綜上所述,2sin α+cos α=±1. 命題角度2 已知角α終邊所在直線(xiàn)求三角函數(shù)值 例2 已知角α的終邊在直線(xiàn)y=-3x上,求10sin α+的值. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值 解 由題意知,cos α≠0. 設(shè)角α的終邊上任一點(diǎn)為P(k,-3k)(k≠0),則 x=k,y=-
8、3k,r==|k|. (1)當(dāng)k>0時(shí),r=k,α是第四象限角, sin α===-,===, ∴10sin α+=10×+3 =-3+3=0. (2)當(dāng)k<0時(shí),r=-k,α是第二象限角, sin α===, ===-, ∴10sin α+=10×+3×(-) =3-3=0. 綜上所述,10sin α+=0. 反思與感悟 在解決有關(guān)角的終邊在直線(xiàn)上的問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意到角的終邊為射線(xiàn),所以應(yīng)分兩種情況處理,取射線(xiàn)上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值分別為sin α=,cos α=,tan α=. 跟蹤訓(xùn)練2 在平面直角坐標(biāo)系中,角α的終邊在直線(xiàn)3x
9、+4y=0上,求sin α-3cos α+tan α的值. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值 解 當(dāng)角α的終邊在射線(xiàn)y=-x(x>0)上時(shí),取終邊上一點(diǎn)P(4,-3), 所以點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r=|OP|=5, 所以sin α===-,cos α==, tan α==-. 所以sin α-3cos α+tan α=---=-. 當(dāng)角α的終邊在射線(xiàn)y=-x(x<0)上時(shí),取終邊上一點(diǎn)P′(-4,3), 所以點(diǎn)P′到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r=|OP′|=5, 所以sin α==,cos α==-, tan α===-. 所以sin α-3cos α+tan α=
10、-3×-=+-=. 綜上,sin α-3cos α+tan α的值為-或. 類(lèi)型二 三角函數(shù)值符號(hào)的判斷 例3 判斷下列各式的符號(hào): (1)sin 145°cos(-210°);(2)sin 3·cos 4·tan 5. 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 解 (1)∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0. ∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角, ∴cos (-210°)<0,∴sin 145°cos(-210°)<0. (2)∵<3<π<4<<5<2π, ∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0,
11、 ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. 反思與感悟 角的三角函數(shù)值的符號(hào)由角的終邊所在位置確定,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定角的終邊所在的象限,同時(shí)牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),記憶口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 跟蹤訓(xùn)練3 已知點(diǎn)P(tan α,cos α)在第三象限,則α是第________象限角. 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案 二 解析 由題意知tan α<0,cos α<0, ∴α是第二象限角. 類(lèi)型三 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用 例4 求下列各式的值: (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 02
12、0°)sin 750°; (2)sin+cos·tan 4π. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 解 (1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=. (2)原式=sin+cos·tan(4π+0)=sin +cos ×0=. 反思與感悟 利用誘導(dǎo)公式一可把負(fù)角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù),也可把大于2π的角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù),即實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正,大化小”. 跟蹤訓(xùn)練4 求下列各式的值: (1
13、)cos +tan; (2)sin 810°+tan 765°-cos 360°. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 解 (1)原式=cos+tan =cos +tan =+1=. (2)原式=sin(90°+2×360°)+tan(45°+2×360°)-cos 360°=sin 90°+tan 45°-1=1+1-1=1. 1.(2018·牌頭中學(xué)月考)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)(-2,1),則cos α的值為( ) A. B. C.- D.- 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義 答案 D 2.sin 的值是( ) A.- B. C.-
14、 D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 答案 B 解析 sin=sin=sin=. 3.(2017·寧波期末)若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-1),則( ) A.tan α=1 B.sin α=-1 C.cos α= D.sin α= 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義 答案 A 解析 由點(diǎn)P的坐標(biāo)計(jì)算得:r==,則 sin α==-,cos α==-,tan α==1. 4.若α是第二象限角,則點(diǎn)P(sin α,cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
15、 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案 D 解析 ∵α為第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴點(diǎn)P在第四象限,故選D. 5.已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(24k,7k),k≠0,求sin α,cos α,tan α的值. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值 解?、佼?dāng)k>0時(shí),令x=24k,y=7k, 則有r==25k, ∴sin α==,cos α==,tan α==. ②當(dāng)k<0時(shí),令x=24k,y=7k,則有r=-25k, ∴sin α==-,cos α==-,tan α==. 1.正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或比
16、值為函數(shù)值的函數(shù). 2.角α的三角函數(shù)值的符號(hào)只與角α的終邊所在象限有關(guān),由角α的終邊所在象限確定,則三角函數(shù)值的符號(hào)一定確定,規(guī)律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 3.終邊相同的三角函數(shù)值一定相等,但兩個(gè)角的某一個(gè)函數(shù)值相等,不一定有角的終邊相同,更不一定有兩角相等. 一、選擇題 1.(2017·長(zhǎng)沙檢測(cè))sin(-315°)的值是( ) A.- B.- C. D. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 答案 C 解析 sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°=. 2.(2017·山西太原外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)如果角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(
17、2sin 30°,-2cos 30°),則sin α等于( ) A. B.- C.- D.- 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義 答案 C 解析 由題意得P(1,-),它與原點(diǎn)的距離r==2,∴sin α=-. 3.已知sin θ<0,且tan θ<0,則θ為( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案 D 4.已知α是第二象限角,P(x,)為其終邊上一點(diǎn),且cos α=x,則x的值為( ) A. B.± C.- D.- 考點(diǎn)
18、 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義 答案 D 解析 ∵cos α===x, ∴x=0或2(x2+5)=16,∴x=0或x2=3, ∴x=0(∵α是第二象限角,∴舍去)或x=(舍去)或x=-.故選D. 5.(2017·嘉興模擬)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案 A 解析 ∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 6.(2017·湖州期末)點(diǎn)P從點(diǎn)(1,0)出發(fā),沿單
19、位圓順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 任意角三角函數(shù)的定義 答案 C 解析 根據(jù)題意可得:xQ=cos=-, yQ=sin=-. 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是. 7.如果點(diǎn)P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的終邊在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案 C 解析 由題意知sin θ+cos θ<0,且sin θcos θ>0, ∴∴θ為第三象限角. 二、填
20、空題 8.tan 405°-sin 450°+cos 750°=________. 考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一 答案 解析 tan 405°-sin 450°+cos 750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+=. 9.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)已知α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸上,終邊與單位圓相交于點(diǎn)M,則cos α=________. 考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值 答案?。? 10.(2017·山東煙臺(tái)一中期末)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3
21、a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
答案 (-2,3]
解析 ∵點(diǎn)(3a-9,a+2)在角α的終邊上,
sin α>0,cos α≤0,
∴解得-2
22、=±1.
當(dāng)x=1時(shí),sin θ=-,cos θ=,
因此sin θ+cos θ=0;
當(dāng)x=-1時(shí),sin θ=-,cos θ=-,
因此sin θ+cos θ=-.
故sin θ+cos θ的值為0或-.
12.已知角α的終邊在直線(xiàn)y=x上,則sin α,cos α,tan α的值分別為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù)
題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值
答案 ,,或-,-,
解析 因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線(xiàn)y=x上,
所以可設(shè)P(a,a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn),
則r==2|a|(a≠0).
若a>0,則α為第一象限角,r=2a,
所以sin α==,co 23、s α==,
tan α==.
若a<0,則α為第三象限角,r=-2a,
所以sin α==-,cos α=-=-,
tan α==.
13.sin π+cos π+cos(-5π)+tan =________.
考點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一
題點(diǎn) 誘導(dǎo)公式一
答案?。?
解析 原式=sin π+cos +cos π+1
=-1+0-1+1=-1.
14.函數(shù)y=+-的值域是________________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
題點(diǎn) 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)
答案 {-4,0,2}
解析 由sin x≠0,cos x≠0知,x的終邊不能落在坐標(biāo)軸上,
當(dāng)x為第 24、一象限角時(shí),sin x>0,cos x>0,
sin xcos x>0,y=0;
當(dāng)x為第二象限角時(shí),sin x>0,cos x<0,
sin xcos x<0,y=2;
當(dāng)x為第三象限角時(shí),sin x<0,cos x<0,
sin xcos x>0,y=-4;
當(dāng)x為第四象限角時(shí),sin x<0,cos x>0,
sin xcos x<0,y=2.
故函數(shù)y=+-的值域?yàn)閧-4,0,2}.
三、解答題
15.已知=-,且lg(cos α)有意義.
(1)試判斷角α所在的象限;
(2)若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)M,求m的值及sin α的值.
考點(diǎn) 任意角的三角函數(shù)
題點(diǎn) 用定義求三角函數(shù)的值
解 (1)∵=-,
∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意義,
∴cos α>0.②
由①②得角α的終邊在第四象限.
(2)∵點(diǎn)M在單位圓上,
∴2+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,∴m<0,∴m=-.
由三角函數(shù)定義知,sin α=-.
13
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