2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.2 數(shù)列求和與綜合應(yīng)用練習(xí) 1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則正整數(shù)k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：　因?yàn)镾k＋2－Sk＝24，所以ak＋1＋ak＋2＝24，所以a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，所以2a1＋(2k＋1)d＝24，所以2×1＋(2k＋1)×2＝24，解得k＝5. 答案：　D 2．若數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使ak·ak＋1＜0的k值為(　　) A．22 B．21 C．24 D．23 解析：　因?yàn)?an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值為23. 答案：　D 3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝a·3n－1＋b，則＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：　因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝a·3n－1＋b， 所以a1＝S1＝a＋b， a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a， a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a， 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a＝a1a3， 所以(2a)2＝(a＋b)×6a， 解得＝－3. 答案：　A 4．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn＝anan＋1，則2k＝(　　) A. B． C. D． 解析：　當(dāng)n＝1時(shí)，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，兩式相減得，3an＝an(an＋1－an－1)，又an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝. 答案：　B 5．(2018·鄭州市第一次質(zhì)量測(cè)試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，記Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，則T2 018＝(　　) A. B． C. D． 解析：　由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，則其前n項(xiàng)和Sn＝＝，所以＝＝2，Tn＝＋＋…＋＝2 ＝2＝，故T2 018＝＝，故選C. 答案：　C 6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，若a4＝32，則a1＝________. 解析：　因?yàn)镾n＝，a4＝32，即S4－S3＝32. 所以－＝32， 所以a1＝. 答案：　 7．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋…＋a100＝________. 解析：　a1＋a2＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋[f(3)＋f(4)]＋…＋[f(99)＋f(100)]＋[f(100)＋f(101)]＝f(101)－f(1)＋2[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(99)＋f(100)]＝(1012－1)＋2(12－22＋32－42＋…＋992－1002)＝10200－2(3＋7＋11＋…＋199)＝100. 答案：　100 8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<－4成立的最小自然數(shù)n的值為________． 解析：　因?yàn)閍n＝log2， 所以Sn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2 ＝log2＝log2， 若Sn<－4，則<，即n>15， 則使Sn<－4成立的最小自然數(shù)n的值為16. 答案：　16 9．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋1＝an＋n2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：　(1)由Sn＋1＝an＋n2　①，得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2?、冢? 由②－①得an＝2n＋1. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1) ＝＋ ＝＋(4n－1) ＝＋－. 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝－的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn }的前n項(xiàng)和Tn. 解析：　(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝－的圖象上， 所以3n2－n＝2Sn，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，3(n－1)2－(n－1)＝2Sn－1，② 由①－②，得6n－4＝2an，所以an＝3n－2. 因?yàn)閚＝1時(shí)，3×12－1＝2a1，所以a1＝1，符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2. (2)因?yàn)閎n＝＝＝， 則Tn＝＋＋＋…＋，③ 3Tn＝1＋＋＋…＋，④ 由④－③，得2Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝－， 所以Tn＝－－＝－. B級(jí) 1．《張邱建算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個(gè)圈．頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③，逐圈少分三．④一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”(注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長(zhǎng)為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺)問：此民謠提出的問題的答案是(　　) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 解析：　因?yàn)槊抗?jié)間的長(zhǎng)相差0.03尺，設(shè)從地面往上，每節(jié)竹長(zhǎng)為a1，a2，a3，…，a30，所以{an}是以0.5為首項(xiàng)，以0.03為公差的等差數(shù)列．設(shè)從地面往上，每圈的周長(zhǎng)為b1，b2，b3，…，b30.由題意知竹節(jié)圈長(zhǎng)，后一圈比前一圈細(xì)0.013尺，所以{bn}是以1.3為首項(xiàng)，以－0.013為公差的等差數(shù)列．一螞蟻往上爬，遇圈則繞圈，爬到竹子頂，行程是數(shù)列{an＋bn}的前30項(xiàng)和，S30＝＋ ＝61.395.故選B. 答案：　B 2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝2，對(duì)任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，則f(n)＝(n∈N*)的最小值為________． 解析：　因?yàn)閷?duì)任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，令p＝n，q＝1，可得an＋1＝an＋a1，則an＋1－an＝2， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為2. 所以Sn＝2n＋×2＝n＋n2. 則f(n)＝＝＝n＋1＋－1， 令g(x)＝x＋(x≥2)，則g′(x)＝1－＝，可得x∈[2，]時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；x∈[，＋∞)時(shí)， 函數(shù)g(x)單調(diào)遞增． 又f(7)＝＝14＋，f(8)＝＝14＋. 所以f(7)<f(8)． 所以f(n)＝(n∈N*)的最小值為. 答案：　 3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. 解析：　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， 得解得 ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n＋1，bn＝2n－1，∴Sn＝n(n＋2)， ∴cn＝ ∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－＋＝＋(4n－1)． 4．(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2＋n. (1)求q的值； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 解析：　(1)由a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)， 得a3＋a5＝2a4＋4， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28， 解得a4＝8. 由a3＋a5＝20，得8＝20， 解得q＝2或q＝. 因?yàn)閝>1，所以q＝2. (2)設(shè)cn＝(bn＋1－bn)an，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. 由cn＝解得cn＝4n－1. 由(1)可得an＝2n－1， 所以bn＋1－bn＝(4n－1)×n－1， 故bn－bn－1＝(4n－5)×n－2，n≥2， bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1) ＝(4n－5)×n－2＋(4n－9)×n－3＋…＋7×＋3. 設(shè)Tn＝3＋7×＋11×2＋…＋(4n－5)×n－2，n≥2， 則Tn＝3×＋7×2＋…＋(4n－9)×n－2＋(4n－5)×n－1， 所以Tn＝3＋4×＋4×2＋…＋4×n－2－(4n－5)×n－1， 因此Tn＝14－(4n＋3)×n－2，n≥2. 又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)×n－2.