2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第13講 正、余弦定理及應(yīng)用 課題 正、余弦定理及應(yīng)用（共 6 課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) （1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題； （2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。 命題走向 對本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一．知識梳理： 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°； （3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。 （1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 。 （R為外接圓半徑） （3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面積公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝r·s。 4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。 解斜三角形的主要依據(jù)是： 設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C。 （1）角與角關(guān)系：A+B+C = π； （2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）邊與角關(guān)系： 正弦定理 （R為外接圓半徑）； 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA； 它們的變形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。 （1）角的變換 因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。 r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。 （3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。 二．典例分析 　(xx·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理 ＝，得sin B＝cos B， 所以tan B＝，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝，c＝2. 在本例(2)的條件下，試求角A的大?。? 解：∵＝， ∴sin A＝＝＝. ∴A＝. 由題悟法 1．應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷． 2．已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷． 以題試法 1．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 解：(1)由正弦定理得， sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ sin A，即 sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝ sin A，所以＝ . (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2， 故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝， 又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°. 利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀 典題導(dǎo)入 　在△ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀． 　(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，∵0<A<180°，∴A＝120°. (2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝. 又sin B＋sin C＝1， 解得sin B＝sin C＝. ∵0°<B<60°，0°<C<60°，故B＝C， ∴△ABC是等腰的鈍角三角形． 由題悟法 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論． 　在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解． 以題試法 2．(xx·安徽名校模擬)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝. (1)求角A的大?。? (2)若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀． 解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝， ∴m·n＝4cos2－cos 2A＝4·－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cos A＋3. 又∵m·n＝， ∴－2cos2A＋2cos A＋3＝， 解得cos A＝. ∵0<A<π，∴A＝. (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.① 又∵b＋c＝2， ∴b＝2－c，代入①式整理得c2－2c＋3＝0，解得c＝，∴b＝ ，于是a＝b＝c＝，即△ABC為等邊三角形． 與三角形面積有關(guān)的問題 典題導(dǎo)入 　(xx·新課標(biāo)全國卷)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因為B＝π－A－C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2. 　鄭州市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的長度； (2)若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費用最低(請說明理由)． 　(1)在△ABC中，由余弦定理得 cos C＝＝，① 在△ABD中，由余弦定理得 cos D＝＝，② 由∠C＝∠D得cos C＝cos D. 解得AB＝7，所以AB的長度為7米． (2)小李的設(shè)計使建造費用最低． 理由如下： 易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C， 因為AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD>S△ABC. 故選擇△ABC的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費用較低． 若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5 000元，試求最低造價為多少？ 解：因為AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等邊三角形， ∠D＝60°，∠C＝60°. 故S△ABC＝AC·BCsin C＝10， 所以所求的最低造價為5 000×10＝50 000 ≈86 600元． 由題悟法 求距離問題要注意： (1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解． (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理． 以題試法 1.如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m. (1)求sin ∠CAB的值； (2)求該河段的寬度． 解：(1)sin ∠CAB＝sin 105° ＝sin(60°＋45°) ＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝×＋×＝. (2)因為∠CAB＝105°，∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°. 由正弦定理，得＝， 則BC＝＝50(＋)(m)． 如圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則CD的長就是該河段的寬度．在Rt△BDC中， CD＝BC·sin 45°＝50(＋)×＝50(＋1)(m)． 所以該河段的寬度為50(＋1)m. 測量高度問題 典題導(dǎo)入 　(xx·九江模擬)如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對于山坡的斜度為α，從A處向山頂前進l米到達B后，又測得CD對于山坡的斜度為β，山坡對于地平面的坡角為θ. (1)求BC的長； (2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度． 　(1)在△ABC中，∠ACB＝β－α， 根據(jù)正弦定理得＝， 所以BC＝. (2)由(1)知BC＝＝＝12(－)米． 在△BCD中，∠BDC＝＋＝，sin ∠BDC＝， 根據(jù)正弦定理得＝， 所以CD＝24－8米． 由題悟法 求解高度問題應(yīng)注意： (1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角； (2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖； (3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用． 以題試法 2．(xx·西寧模擬)要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔的高度． 解：如圖，設(shè)電視塔AB高為x m， 則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°， 則BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°， 解得x＝40，所以電視塔高為40米． 測量角度問題 典題導(dǎo)入 　(xx·太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進，若偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值． 　如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為. 由題悟法 1．測量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義． 2．在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的特點． 以題試法 3.(xx·無錫模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是________． 解析：∵AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500. 在△CAD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝45°. 答案：45° 板書設(shè)計 正、余弦定理及應(yīng)用 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系： 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： （1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 。（R為外接圓半徑） （3）余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面積公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 教學(xué)反思 解三角形時，需要把握解三角形所具備的條件，求解途徑。對正弦定理和余弦定理的變形形式也要很好地掌握，熟練地利用它們進行邊角統(tǒng)一。 對涉及空間問題的解三角形題目，學(xué)生在求解時還存在一定的困難。主要原因是空間想象能力不強，還需要選擇適當(dāng)題目加強訓(xùn)練。 有些解三角形需要考慮一解還是兩解問題，學(xué)生還缺乏足夠的意識。要提醒學(xué)生注意。