回顧4　平面向量 [必記知識] 平面向量共線的坐標表示的兩種形式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，此形式對任意向量a，b(b≠0)都適用． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，則a∥b?＝. 需要注意的是可以利用＝來判定a∥b，但是反過來不一定成立． 向量法證明三點共線 (1)對于＝λ ＋μ (λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1，反之，也成立． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點共線，則(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．同樣地，當這些條件中有一個成立時，A，B，C三點共線． 平面向量的數(shù)量積 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| (當且僅當a∥b 時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤· 兩向量的夾角與數(shù)量積 設兩個非零向量a與b的夾角為θ，則 當θ＝0°時，cos θ＝1，a·b＝|a||b|； 當θ為銳角時，cos θ>0，a·b>0； 當θ為直角時，cos θ＝0，a·b＝0； 當θ為鈍角時，cos θ<0，a·b<0； 當θ＝180°時，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|. [必會結論] 三點共線的判定 A，B，C三點共線?，共線； 向量，，中三終點A，B，C共線?存在實數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. 三角形“四心”向量形式的充要條件 設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. [必練習題] 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m)，且(a＋b)∥(a－b)，則實數(shù)m的值為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C. D．－ 解析：選D.因為a＝(2，1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，1＋m)，a－b＝(3，1－m)．又因為(a＋b)∥(a－b)，所以1×(1－m)＝(1＋m)×3，解得m＝－.故選D. 2．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，2＝＋，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選D.依題意知，圓心O為BC的中點，即BC是△ABC的外接圓的直徑，AC⊥AB.又AO＝OB＝AB＝1，因此∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，||＝，在方向上的投影為||cos 30°＝×＝，故選D. 3．若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.因為|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b與a的夾角為. 4．已知單位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝，若向量a＝e1－2e2，則|a|＝________． 解析：因為|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1|·|e2|cos＋4|e2|2＝1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝. 答案： - 3 -