(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1
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1、 §2.5 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 學(xué)習(xí)目標 1.了解直線與圓錐曲線的交點個數(shù)與相應(yīng)方程組的解的對應(yīng)關(guān)系.2.能用判別式法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.掌握直線與橢圓、雙曲線、拋物線位置關(guān)系的簡單問題的基本解法.4.掌握直線與圓錐曲線有關(guān)的綜合問題的解決方法. 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)相離?直線與圓錐曲線無公共點. (2)相切?直線與圓錐曲線有一個公共點. (3)相交? 2.弦長公式 當直線與圓錐曲線相交時,往往涉及弦的長度,可利用弦長公式表示弦長,從而研究相關(guān)的問題,弦長公式為: 若直線l的斜率為k,與圓錐曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩
2、點,則 |AB|=|x1-x2|==|y1-y2|=. 3.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定 直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消元得方程ax2+bx+c=0. 方程特征 交點個數(shù) 位置關(guān)系 直線與橢圓 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 直線與雙曲線 a=0 1 直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 直線與拋物線 a=0 1 直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0
3、1 相切 a≠0,Δ<0 0 相離 應(yīng)用弦長公式時注意的問題 直線與圓錐曲線的弦長問題一定注意直線斜率不存在的情況,同時,當直線過x軸上一個定點(c,0)時,直線方程設(shè)為x=my+c,此種設(shè)法,在拋物線中運用,顯得更為方便. (1)橢圓+=1上的點到焦點距離的最大值是a+c.(√) (2)過點(2,4)的直線與橢圓+y2=1只有一條切線.(×) (3)設(shè)點P(x0,y0)為雙曲線-=1上的任一點,則|x0|≥a.(×) 類型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1 直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個交點,求m2的值. 解 因為直線與橢圓只有一個交點
4、,由消去y,得(1+4m2)x2+8mx+3=0,所以由Δ=64m2-12(1+4m2)=16m2-12=0,解得m2=. 引申探究 1.典例中若直線與橢圓相交,弦的中點的軌跡方程是什么? 解 由得(4m2+1)x2+8mx+3=0, Δ=64m2-12(4m2+1)=16m2-12>0,即m2>, 設(shè)中點M(x,y),交點A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 消去m,得x2+4y2-4y=0. 2.典例中若直線與橢圓相交于A,B兩點,求弦AB的長. 解 由得(4m2+1)x2+8mx+3=0, Δ=64m2-12(4m2+1)=16m2-12>0, 即m>或m<-
5、,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則
因此|AB|==
=.
反思與感悟 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法
跟蹤訓(xùn)練1 已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:
(1)有兩個不重合的公共點;
(2)有且只有一個公共點;
(3)沒有公共點.
解 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,
得方程組
將①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判別式Δ=64m2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)當Δ>0,即-3 6、橢圓C有兩個不重合的公共點.
(2)當Δ=0,即m=±3時,方程③有兩個相同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點,即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.
(3)當Δ<0,即m<-3或m>3時,方程③沒有實數(shù)根,可知原方程組沒有實數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點.
類型二 弦長問題
例2 (2017·寧波檢測)設(shè)橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù),且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若直線y=x+m交橢圓M于A,B兩點,P(1,)為橢圓M上一點,求△PAB面積的最大值.
解 (1) 7、由題意可知,雙曲線的離心率為,
則橢圓的離心率e==.
由得a=2,c=,b=,
故橢圓M的方程為+=1.
(2)聯(lián)立方程消去y,得4x2+2mx+m2-4=0,
由Δ=8m2-16(m2-4)>0,
得-2 8、0),直線l1:-=1被橢圓C截得的弦長為2,過橢圓C的右焦點且斜率為的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的,求橢圓C的方程.
解 由l1被橢圓C截得的弦長為2,得a2+b2=8.
設(shè)l2:y=(x-c),代入橢圓C的方程并化簡,得
(b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0.
設(shè)直線l2與橢圓C交于點M(x1,y1),N(x2,y2).
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,
x1x2=,
從而|x1-x2|=
=
=,
則由弦長公式,得|MN|=·=.
化簡,得a2=3b2.
聯(lián)立a2+b2=8,a2=3b2,得a2=6,b2=2,
故橢圓C的方程 9、為+=1.
類型三 圓錐曲線中的綜合問題
例3 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N.求證:|AN|·|BM|為定值.
(1)解 由已知=,ab=1.
又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=.
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明 由(1)知,A(2,0),B(0,1).
設(shè)橢圓上一點P(x0,y0),則+y=1.
當x0≠0時,直線PA的方程為y=(x-2),
令x=0得yM=.
從而|B 10、M|=|1-yM|=.
直線PB的方程為y=x+1.
令y=0得xN=.
∴|AN|=|2-xN|=.
∴|AN|·|BM|=·
=·
=
==4.
當x0=0時,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,
∴|AN|·|BM|=4.
故|AN|·|BM|為定值.
反思與感悟 定值問題類型及常見解法
(1)直線過定點型,一般通過運算使直線方程中只含一個參數(shù)來求定點.
(2)參數(shù)和為定值型,往往把參數(shù)用交點坐標表示,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡為某一常數(shù).
跟蹤訓(xùn)練3 橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A, 11、B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2m-k為定值.
(1)解 因為e==,故==1-=,
所以a=2b.
再由a+b=3,得a=2,b=1,
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明 因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則可設(shè)BP的方程為y=k(x-2).①
將①代入+y2=1,解得P.
又直線AD的方程為y=x+1,②
①與②聯(lián)立解得M.
由D(0,1),P,N(x,0)三點共線可解得N.
所以MN的斜率為m=,
則2m-k=-k=(定值).
例4 (2017·杭州 12、檢測)已知點A(0,-2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求直線l的方程.
解 (1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故橢圓E的方程為+y2=1.
(2)當直線l⊥x軸時不合題意,故設(shè)直線l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
將y=kx-2代入+y2=1得,
(1+4k2)x2-16kx+12=0.
當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>時,
x1,2 13、=.
從而|PQ|=|x1-x2|
=.
又點O到直線PQ的距離d=,
所以△OPQ的面積
S△OPQ=d·|PQ|=.
設(shè)=t,則t>0,S△OPQ==.
因為t+≥4,當且僅當t=2,即k=±時等號成立,且滿足Δ>0,
所以當△OPQ的面積最大時,直線l的方程為
y=±x-2.
反思與感悟 最值問題的兩種常見求法
(1)數(shù)形結(jié)合法:當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(如雙曲線的范圍,直線與圓錐曲線相交時Δ>0等),通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍.
(2)目標函數(shù)法:當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù) 14、關(guān)系時,則可先建立目標函數(shù),進而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域,最后確定最值.
跟蹤訓(xùn)練4 已知橢圓+=1,動直線l與橢圓交于B,C兩點.若點B的坐標為,求△OBC面積的最大值.
解 直線OB的方程為y=x,即3x-2y=0,
設(shè)經(jīng)過點C且平行于直線OB的直線l′的方程為y=x+b,
則當l′與橢圓只有一個公共點時,△OBC的面積最大.
聯(lián)立化為3x2+3bx+b2-3=0,
由Δ=9b2-12(b2-3)=0,解得b=±2.
當b=2時,C;
當b=-2時,C.
所以△OBC面積的最大值為××=.
1.平面上到定點A(1,0)和到定直線l:x+2y+3=0的距離相等的點的軌跡為 15、( )
A.直線B.拋物線C.雙曲線D.橢圓
答案 B
2.一條直線與雙曲線的兩支交點個數(shù)最多為( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
3.拋物線與直線只有一個公共點是直線與拋物線相切的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
4.若直線ax-y+1=0與拋物線y2=4x有兩交點,則實數(shù)a的取值范圍是______________.
答案 (-∞,0)∪(0,1)
5.已知橢圓+=1(a>b>0),F(xiàn)(,0)為其右焦點,過F且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點,|AB|=2,則該橢圓的方程為________ 16、,離心率為________.
答案?。?
1.解決直線與圓錐曲線的交點問題時,主要方法是構(gòu)建一元二次方程,判斷其解的個數(shù).確定斜率與直線的傾斜角時,應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形,以及在雙曲線和拋物線中,直線和圓錐曲線有一個公共點并不一定相切.
2.在探求最值時,常結(jié)合幾何圖形的直觀性,充分利用平面幾何結(jié)論,借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解.同時,要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件.
一、選擇題
1.(2017·金華檢測)直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為( )
A.1 B.1或3
C.0 D.1或0
答案 D 17、
2.(2017·臺州檢測)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與直線y=2x有交點,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(1,) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
答案 C
3.過拋物線y2=8x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,交拋物線的準線于C,若|AF|=6,=λ,則λ的值為( )
A.B.C.D.3
答案 D
4.已知雙曲線-=1 (b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 18、D
5.已知雙曲線方程為-=1,過點(2,0)作直線l與雙曲線交于兩點A,B,記滿足|AB|=m的直線l的條數(shù)為f(m),則f(m)的可能取值為( )
A.0,2,4 B.1,2,3,4
C.0,1,2,3,4 D.2,4
答案 A
6.(2017·金華檢測)過拋物線x2=4y的焦點F作直線AB,CD與拋物線交于A,B,C,D四點,且AB⊥CD,則·+·的最大值等于( )
A.-4B.-16C.4D.-8
答案 B
二、填空題
7.若斜率為的直線l與橢圓+=1(a>b>0)有兩個不同的交點,且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點,則該橢圓的離心率為________ 19、.
答案
8.拋物線焦點在y軸上,截得直線y=x+1的弦長為5,則拋物線的標準方程為________________,準線方程為______________.
答案 x2=4y或x2=-20y y=-1或y=5
9.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍為________________.
答案 (2,4)
解析 如圖,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
則
兩式相減得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
當l的斜率 20、k不存在時,符合條件的直線l必有兩條.
當k存在時,x1≠x2,
則有·=2,
又y1+y2=2y0,所以y0k=2.
由CM⊥AB,得k·=-1,
即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,
即M必在直線x=3上.將x=3代入y2=4x,
得y2=12,則有-2 21、點,則·=________.若直線l的傾斜角為45°,則·=________.
答案?。? 16
三、解答題
11.(2017·紹興檢測)如圖所示,橢圓C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距為2,過點M(4,0)的直線l與橢圓C交于點A,B,點B在AM之間,又點A,B的中點橫坐標為,且=λ.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求實數(shù)λ的值.
解 (1)由條件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,橢圓的標準方程是+=1.
(2)由=λ,可知A,B,M三點共線,
設(shè)點A(x1,y1),點B(x2,y2),顯然AB所在直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-4 22、).
由消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,①
由①的判別式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12)
=144(1-4k2)>0,解得k2<,且
由(x1+x2)==,可得k2=,
將k2=代入方程①,得7x2-8x-8=0,
x1,2=,
又因為=(4-x1,-y1),=(x2-4,y2),
=λ.
所以λ=,所以λ=.
12.(2017·溫州檢測)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,其離心率e=,點M為橢圓上的一個動點,△MAB面積的最大值是2.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過橢圓C右頂點B的直線l與橢圓 23、的另一個交點為D,線段BD的垂直平分線與y軸交于點P,當·=0時,求點P的坐標.
解 (1)由題意可知
解得a=2,b=,
所以橢圓方程是+=1.
(2)由(1)知B(2,0),設(shè)直線BD的方程為y=k(x-2),
D(x1,y1),
把y=k(x-2)代入橢圓方程+=1.
整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0,
所以2+x1=,即x1=,
則D,
所以BD中點的坐標為,
則直線BD的垂直平分線方程為
y-=-,
得P,又·=0,
即·=0,
化簡得=0,即16k4+7k2-9=0,
解得k=±.
故P或.
13.(2017·紹興檢測)如 24、圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.
(1)求點A,B的坐標;
(2)求△PAB的面積.
解 (1)由題意可知,直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),
由消去y整理得
x2-4kx+4kt=0.
因為直線PA與拋物線相切,所以Δ=16k2-16kt=0,解得k=t.所以x=2t,即點A(2t,t2).
圓C2的圓心為D(0,1),設(shè)點B的坐標為(x0,y0),由題意知,點B,O關(guān)于直線PD對稱,故有
解得x0=,y0=.
即點B 25、.
(2)由(1)知,|AP|=t,
直線AP的方程為tx-y-t2=0,所以點B到直線PA的距離為d=.
所以△PAB的面積為S=|AP|·d=.
四、探究與拓展
14.已知雙曲線x2-=1,過點P(2,1)作一條直線交雙曲線于A,B兩點,并使P為AB的中點,則直線AB的斜率為________,方程為________________________________.
答案 6 6x-y-11=0
15.(2017·杭州檢測)已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且經(jīng)過點P,過它的兩個焦點F1,F(xiàn)2分別作直線l1與l2,l1交橢圓于A,B兩點,l2交橢圓于C,D兩點,且l1⊥l 26、2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
解 (1)由=,得a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2,
將點P的坐標代入橢圓方程得c2=1,故所求橢圓方程為+=1.
(2)若l1與l2中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,此時四邊形的面積S=6.
若l1與l2的斜率都存在,設(shè)l1的斜率為k,則l2的斜率為-.
不妨設(shè)直線l1的方程為y=k(x+1),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立
消去y整理得,(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,
Δ=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+144>0,
x1+x2=-,x1·x2=,
所以|x1-x2|==.
|AB|=|x1-x2|=.
同理可得|CD|=,
所以S=|AB|·|CD|=,
令k2=t∈(0,+∞),
S=
==6-
≥6-=,
故S∈,
綜上可知,四邊形ACBD面積S的取值范圍是.
17
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