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(浙江專用)2019高考數學二輪復習 專題一 三角函數、解三角形與平面向量 第3講 平面向量學案

上傳人:彩*** 文檔編號:105846763 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數:20 大小:588.50KB
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1、 第3講 平面向量 [考情考向分析] 1.考查平面向量的基本定理及基本運算,多以熟知的平面圖形為背景進行考查,多為選擇題、填空題,且為基礎題.2.考查平面向量數量積及模的最值問題,以選擇題、填空題為主,難度為中高檔,是高考考查的熱點內容.3.向量作為工具,還常與解三角形、不等式、解析幾何等結合,進行綜合考查. 熱點一 平面向量的線性運算 1.在平面向量的化簡或運算中,要根據平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉化. 2.在用三角形加法法則時,要保證“首尾相接”,結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量的終點所得的向量;在用三角形減法法則時,要保證“同起點”,結果向量的

2、方向是指向被減向量. 例1 (1)如圖,在△ABC中,AB=3DB,AE=2EC,CD與BE交于點F.設=a,=b,=xa+yb,則(x,y)為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由D,F,C三點共線,可得存在實數λ,使得=λ,即-=λ(-), 則=(1-λ)+λ=(1-λ)+λ =(1-λ)a+λb. 由E,F,B三點共線,可得存在實數μ,使得=μ, 即-=μ(-), 則=μ+(1-μ)=μ+(1-μ) =μa+(1-μ)b. 又a,b不共線,由平面向量基本定理可得 解得 所以=a+b. 所以x=,y=,即(x,y)=,故選A. (

3、2)已知A(-1,0),B(1,0),C(0,1),過點P(m,0)的直線分別與線段AC,BC交于點M,N(點M,N不同于點A,B,C),且=x+y(x,y∈R),若2≤|m|≤3,則x+y的取值范圍是____________. 答案 ∪ 解析 設=λ,則有|λ|==|m|. ∵M,N,P三點共線,且點O不在直線MN上, ∴=n+(1-n). 從而有n+(1-n)=λx+λy, 又與是不共線向量, ∴得x+y=. 由2≤|λ|≤3,得x+y的取值范圍是∪. 思維升華 (1)對于平面向量的線性運算,要先選擇一組基底,同時注意平面向量基本定理的靈活運用. (2)運算過程中重視數

4、形結合,結合圖形分析向量間的關系. 跟蹤演練1 (1)在△ABC中,=,P是直線BN上的一點,若=m+,則實數m的值為(  ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 答案 B 解析 因為=+=+k =+k=(1-k)+, 且=m+,又,不共線, 所以解得k=2,m=-1,故選B. (2)如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M,N分別為線段BC,CD上的點,且滿足+=1,若=x+y,則x+y的最小值為________. 答案  解析 連接MN交AC于點G.由勾股定理知,MN2=CM2+CN2, 所以1=+=, 即MN=CM·CN,所以C到直線MN的距

5、離為定值1,此時MN是以C為圓心,1為半徑的圓的一條切線(如圖所示).=x+y=(x+y)·. 由向量共線定理知, =(x+y),所以x+y==, 又因為||max=5-1=4,所以x+y的最小值為. 熱點二 平面向量的數量積 1.數量積的定義:a·b=|a||b|cos θ. 2.三個結論 (1)若a=(x,y),則|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=. (3)若非零向量a=(x1,y1),非零向量b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ==. 例2 (1)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°,若點M在

6、線段AC上,則|+|的取值范圍為________. 答案  解析 建立如圖所示的平面直角坐標系, 則A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2), 設=λ(0≤λ≤1),則M(λ,2λ), 故=(-λ,2-2λ),=(2-λ,-2λ), 則+=(2-2λ,2-4λ), ∴|+|= =, 當λ=0時,|+|取得最大值2, 當λ=時,|+|取得最小值, ∴|+|∈. (2)已知⊥,||=,||=t,若點P是△ABC所在平面內的一點,且=+,則·的最大值為________. 答案 13 解析 建立如圖所示的平面直角坐標系,則 B,C(0,t),=,=

7、(0,t), =+=t+(0,t)=(1,4), ∴P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,當且僅當t=時“=”成立. 思維升華 (1)數量積的計算通常有三種方法:數量積的定義,坐標運算,數量積的幾何意義. (2)可以利用數量積求向量的模和夾角,向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算. 跟蹤演練2 (1)如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為1,E為AB的中點,若F為正方形內(含邊界)任意一點,則·的最大值為________. 答案  解析 ∵E為AB的中點,正方形OABC的邊長為1, ∴E,得=,又F為正方形內(含邊界)任意一點,設F(

8、x,y),∴=(x,y),滿足則·=x+y,結合線性規(guī)劃知識可知,當F點運動到點B(1,1)處時,·取得最大值. (2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,∠ADC=45°,AD=2,BC=1,P是腰CD上的動點,則的最小值為__________. 答案  解析 以DA為x軸,D為原點,過D與DA垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示. 由AD∥BC,∠BAD=90°,∠ADC=45°,AD=2,BC=1, 可得D(0,0),A(2,0),B(2,1),C(1,1), ∵P在CD上,∴可設P(t,t)(0≤t≤1), 則=(2-t,-t),=(t-2

9、,t-1), 3+=(4-2t,-2t-1), ∴= =≥= (當且僅當t=時取等號), 即的最小值為. 真題體驗 1.(2017·浙江)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________. 答案 4 2 解析 設a,b的夾角為θ, ∵|a|=1,|b|=2, ∴|a+b|+|a-b|=+ =+. 令y=+. 則y2=10+2. ∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1], ∴y2∈[16,20], ∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2]. 2.(2017·浙江改編)如圖

10、,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記I1=·,I2=·,I3=·,則I1,I2,I3的大小關系是________________. 答案 I30,即I1>I3.∴I3

11、 3.(2016·浙江)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大值是________. 答案  解析 由于e是任意單位向量,可設e=, 則|a·e|+|b·e|=+ ≥ ==|a+b|. ∵|a·e|+|b·e|≤,∴|a+b|≤, ∴(a+b)2≤6,∴|a|2+|b|2+2a·b≤6. ∵|a|=1,|b|=2,∴1+4+2a·b≤6, ∴a·b≤,∴a·b的最大值為. 4.(2017·北京)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則·的最大值為________. 答案 6 解

12、析 方法一 根據題意作出圖象,如圖所示,A(-2,0),P(x,y). 由點P向x軸作垂線交x軸于點Q,則點Q的坐標為(x,0). ·=||·||cos θ, ||=2,||=, cos θ==, 所以·=2(x+2)=2x+4. 點P在圓x2+y2=1上,所以x∈[-1,1]. 所以·的最大值為2+4=6. 方法二 因為點P在圓x2+y2=1上, 所以可設P(cos α,sin α)(0≤α<2π), 所以=(2,0),=(cos α+2,sin α), ·=2cos α+4≤2+4=6, 當且僅當cos α=1,即α=0,P(1,0)時“=”成立. 押題預測

13、 1.已知向量a,b滿足|a|=3,且向量b在向量a方向上的投影為2,則a·(a-b)的值為(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 押題依據 向量的數量積是高考命題的熱點,常??疾槠矫嫦蛄康倪\算、化簡、證明及其幾何意義和平面向量平行、垂直的充要條件及其應用等幾個方面. 答案 B 解析 由向量b在向量a方向上的投影為2,得=2,即a·b=6,則a·(a-b)=a2-a·b=9-6=3. 2.如圖,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于點E,BC邊上的中線AM交DE于點N,設=a,=b,用a,b表示向量,則等于(  ) A.(a+b) B.(a+b) C.(a+b)

14、 D.(a+b) 押題依據 平面向量基本定理是向量表示的基本依據,而向量表示(用基底或坐標)是向量應用的基礎. 答案 C 解析 因為DE∥BC,所以DN∥BM, 則△AND∽△AMB,所以=. 因為=,所以=. 因為M為BC的中點, 所以=(+)=(a+b), 所以==(a+b).故選C. 3.已知兩個單位向量,的夾角為60°,向量=λ+μ,且1≤λ≤2,1≤μ≤2,設向量,的夾角為α,則cos α的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 押題依據 平面向量基本定理在向量中應用廣泛,可與數量積等知識結合起來應用. 答案 C 解析 如圖,由題意知,動點P在

15、平行四邊形CDEF區(qū)域(含邊界)內運動. 易知∠AOD≤α≤∠FOA. ∵||=|+2| ==, ∴cos∠FOA===. ∵||=|2+| ==, ∴cos∠DOA===. 故≤cos α≤,故選C. 4.如圖,在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧上的動點,AB與OC交于點P,則·的最小值是_________________________________________________. 押題依據 本題將向量與平面幾何、最值問題等有機結合,體現了高考在知識交匯點命題的方向,本題解法靈活,難度適中. 答案?。? 解析 因為=+,所以·=(+)·=·

16、+2. 又因為∠AOB=60°,OA=OB, 所以∠OBA=60°,OB=1. 所以·=||cos 120°=-||. 所以·=-||+||2 =2-≥-, 當且僅當||=時,·取得最小值-. A組 專題通關 1.(2018·全國Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則等于(  ) A.- B.- C.+ D.+ 答案 A 解析 作出示意圖如圖所示. =+=+ =×(+)+(-)=-. 故選A. 2.設向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),則λ+x的值為(  ) A.- B. C.

17、- D. 答案 C 解析 由已知可得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x) ???λ+x=-,故選C. 3.已知向量a,b,其中a=(-1,),且a⊥(a-3b),則b在a方向上的投影為(  ) A. B.- C. D.- 答案 C 解析 由a=(-1,),且a⊥(a-3b),得a·(a-3b)=0, 即a2-3a·b=4-3a·b=0,a·b=, 所以b在a方向上的投影為==,故選C. 4.(2018·天津)在如圖所示的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,則·的值為(  ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0

18、答案 C 解析 如圖,連接MN. ∵=2, =2, ∴==, ∴MN∥BC,且=, ∴=3=3(-), ∴·=3(·-2)=3(2×1×cos 120°-12)=-6.故選C. 5.(2018·寧波模擬)已知向量,滿足||=1,||=2,∠AOB=,M為△OAB內一點(包括邊界),=x+y,若·≤-1,則以下結論一定成立的是(  ) A.≤2x+y≤2 B.x≤y C.-1≤x-3y D.≤x+y≤1 答案 B 解析 因為||=1,||=2,∠AOB=, 則不妨設=(1,0),=(1,), 則=x+y=(x+y,y),=(0,-), 所以·=-3y≤-

19、1,解得y≥. 又因為點M為△OAB內一點(包含邊界), 所以x,y滿足的關系式為 取x=0,y=,此時2x+y=<,故A選項不一定成立;由y≥,x+y≤1,得x≤,所以≤≤y,故B選項一定成立;取x=0,y=1,此時x-3y=-3<-1,故C選項不一定成立;取x=0,y=,此時x+y=<,故D選項不一定成立,綜上所述,選B. 6.(2018·浙江省金麗衢十二校聯考)已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為,則|a+2b|=________;a與a-2b的夾角為__________. 答案 2  解析 由題意得a·b=|a|·|b|cos=1,所以|a+2b|===

20、2,|a-2b|===2,則cos〈a,a-2b〉===,所以a與a-2b的夾角為. 7.若平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值是________. 答案?。? 解析 由向量減法的三角形法則知,當a與b共線且反向時,|2a-b|的最大值為3. 此時設a=λb(λ<0),則有|2a-b|=|2λb-b|=3, ∴|b|=,|a|=. 又由a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,知 當a與b共線且反向時,a·b最?。? ∴a·b=|a|·|b|·cos π =-==≥-, ∴a·b的最小值為-. 8.如圖,半圓的直徑AB=6,O點為圓心,C為半圓上不同于A,B的任

21、意一點,若P為半徑OC上的動點,則(+)·的最小值是________. 答案?。? 解析 ∵+=2, ∴(+)·=2· =2||·||cos π=-2||·||, 由AB=6,得||=3. 設||=x(0≤x≤3), 則-2||·||=-2x(3-x)=22-, 當x=時有最小值,最小值為-. 9.已知平面內三個單位向量,,,〈,〉=60°,若=m+n,則m+n的最大值是______. 答案  解析 由已知條件=m+n,兩邊平方可得1=m2+mn+n2=(m+n)2-mn ,∴(m+n)2-1=mn,根據向量加法的平行四邊形法則,判斷出m,n>0, ∴(m+n)2-1

22、=mn≤(m+n)2,當且僅當m=n時取等號. ∴(m+n)2≤1,則m+n≤, 即m+n的最大值為. 10.(2018·浙江省重點中學聯考)已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,點E是AB的中點,點P是對角線BD上的動點,若=x+y,則·的最小值是________,x+y的最大值是________. 答案 1 5 解析 如圖,建立平面直角坐標系,則=(2,1),=(1,-1),直線BD的方程為+y=1, ∴設點P(2-2t,t)(0≤t≤1), 則=(2-2t,t), ∴·=4-4t+t=4-3t(0≤t≤1), ∴當t=1時,·取得最小值1. 由=x+y,得 ?

23、 ∴x+y==-4(0≤t≤1), ∴當t=1時,x+y取得最大值5. B組 能力提高 11.(2018·天津)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點,則·的最小值為(  ) A. B. C. D.3 答案 A 解析 如圖,以D為坐標原點,DA,DC所在直線分別為x軸,y軸,建立平面直角坐標系. 連接AC,由題意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,則D(0,0),A(1,0),B,C(0,).設E(0,y)(0≤y≤), 則=(-1,y),=, ∴·=+y2-y=2+

24、(0≤y≤), ∴當y=時,·有最小值. 故選A. 12.如圖,已知圓O的半徑為2,A,B是圓O上任意兩點,且∠AOB=,PQ是圓O的直徑,若點C滿足=3λ+3(1-λ)(λ∈R),當·取得最小值時,λ的值為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由已知得+=0,·=-4,·=2×2×cos =-2,2=2=4, 所以·=(+)·(+)=2+(+)·+·=2+·=[3λ+3(1-λ)·]2-4=9λ22+9(1-λ)22+18λ(1-λ)·-4=36λ2+36(1-λ)2-36λ(1-λ)-4=36(3λ2-3λ+1)-4=1082+5≥5,當且僅當λ=時

25、取等號,所以當λ=時,·取得最小值5.故選A. 13.(2018·嘉興市、麗水市教學測試)已知|c|=2,向量b滿足2|b-c|=b·c.當b,c的夾角最大時,|b|=________________________________________________________________________. 答案 2 解析 設〈b,c〉=θ,則由2|b-c|=b·c得 4(b-c)2=(b·c)2, 即4|b|2sin2θ-16|b|cos θ+16=0, 則4cos θ=|b|sin2θ+≥2=4sin θ, 當且僅當|b|sin2θ=, 即|b|=時,等號成立, 則

26、tan θ=≤1,所以θ≤, 當θ=時,|b|=2. 14.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120°,則|α|的取值范圍是________. 答案  解析 如圖所示,記θ=〈β,β-α〉, 由正弦定理得=, ∴|α|=sin θ×=sin θ. 又0°<θ<120°,∴0

27、α的值. 解 (1)因為a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x), c=(-cos x,-sin x), 所以b-c=(sin x+cos x,sin x-cos x), f(x)=a·(b-c)=sin x(sin x+cos x)+cos x(sin x-cos x) =sin2x+2sin xcos x-cos2x =sin 2x-cos 2x=sin. 當2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z時,函數f(x)單調遞減. 所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間是,k∈Z. (2)由(1)知,f(x)=sin, 又f?=,

28、 則sin=,sin=. 因為sin2+cos2=1, 所以cos=±. 又sin α=sin =sincos +cossin , 所以當cos=時, sin α=×+×=; 當cos=-時, sin α=×-×=. 綜上,sin α=. 16.已知向量m=(sin x,-1),向量n=,函數f(x)=(m+n)·m. (1)求f(x)的單調遞減區(qū)間; (2)已知a,b,c分別為△ABC內角A,B,C的對邊,A為銳角,a=2,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b和△ABC的面積S. 解 (1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+1+sin xcos x+ =+1+sin 2x+ =sin 2x-cos 2x+2 =sin+2. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z). (2)由(1)知f(A)=sin+2, 當x∈時,-≤2x-≤, 由正弦函數圖象可知,當2x-=時f(x)取得最大值3.所以2A-=,A=. 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 得12=b2+16-2×4b×,所以b=2. 所以S=bcsin A=×2×4sin 60°=2. 20

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