2022年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.2 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞 1.2.1 邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”、“且”和“或”講義（含解析）湘教版選修2-1 [讀教材·填要點] 1．聯(lián)結(jié)詞“非” 設(shè)p是一個命題，用聯(lián)結(jié)詞“非”對命題p作全盤否定，得到新命題，記作綈p，讀作“非p”或“不是p”． 2．聯(lián)結(jié)詞“且” 用聯(lián)結(jié)詞“且”把兩個命題p，q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題，記作p∧q，讀作“p且q”． 3．聯(lián)結(jié)詞“或” 用聯(lián)結(jié)詞“或”把兩個命題p，q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題，記作p∨q，讀作“p或q”． 4．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷 p q p∨q p∧q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 [小問題·大思維] 1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”意思是否相同？ 提示：有所不同．日常用語中的“或”帶有“不可兼有”的意思．而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時兼有”的意思． 2．“或”“且”聯(lián)結(jié)詞的否定形式分別是什么？ 提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”． 3．命題“綈p”與命題“p的否命題”有何不同？ 提示：命題“綈p”與“否命題”完全不同，前者是對命題的結(jié)論否定，后者是既否定條件又否定結(jié)論． 如：若命題p為“若s，則t”，則綈p：若s，則綈t，否命題：若綈s，則綈t. 邏輯聯(lián)結(jié)詞“非” 寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假． (1)p：3＋4>6； (2)p：楊振寧是數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家； (3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}． [自主解答]　(1)3＋4>6是一個簡單命題，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6. 由于p是真命題，故命題“非p”是假命題． (2)命題是一個“p∨q”形式的命題，其否定為“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：楊振寧既不是數(shù)學(xué)家又不是物理學(xué)家． 由于p是真命題，故命題“非p”是假命題． (3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}． 由于p是假命題，故命題“非p”是真命題． 若將例1(2)中的“或”改為“且”，如何解答？ 解：綈p：楊振寧不是數(shù)學(xué)家或楊振寧不是物理學(xué)家，由于p是假命題，故命題綈p是真命題． 寫“非p”應(yīng)先弄清p的條件與結(jié)論．另外，要注意改變原命題的真假，一般用否定詞語對正面敘述的詞語進(jìn)行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”． 1．寫出下列各命題的否定及否命題，并判斷它們的真假． (1)若a，b都是奇數(shù)，則a＋b是偶數(shù)； (2)全等的三角形是相似三角形． 解：原命題的否定： (1)若a，b都是奇數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)，為假命題． (2)全等三角形不是相似三角形，為假命題． 原命題的否命題： (1)若a，b不都是奇數(shù)，則a＋b不是偶函數(shù)，為假命題． (2)不全等的三角形不是相似三角形，為假命題． 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” 對下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)造新命題，并判斷它們的真假． (1)p：12是3的倍數(shù)，q：12是4的倍數(shù)； (2)p：π>3，q：π<2； (3)p：x≠0，則xy≠0，q：y≠0，則xy≠0. [自主解答]　(1)p∧q：“12是3的倍數(shù)且是4的倍數(shù)”，是真命題． (2)p∧q：“π大于3且小于2”，是假命題． (3)p∧q：“x≠0，則xy≠0，且y≠0，則xy≠0”，是假命題． 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)的是兩個命題，若兩個命題具有相同的條件，則聯(lián)結(jié)后可以省略一個條件，而用“且”聯(lián)結(jié)兩個結(jié)論；若兩個命題的條件不同，但結(jié)論相同，則不可以用“且”聯(lián)結(jié)兩個條件而省略一個結(jié)論(注：在不改變命題真假性的前提下，可以用)，要完整地寫出兩個命題，用“且”聯(lián)結(jié)． 2．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”改寫下列命題，并判斷它們的真假． (1)24既是8的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)； (2)y＝x＋1和y＝x3都是單調(diào)增函數(shù)； (3)函數(shù)y＝sin x不僅是奇函數(shù)，還是周期函數(shù)． 解：(1)命題“24既是8的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)”可以改寫為“24是8的倍數(shù)且是9的倍數(shù)”，因為“24是9的倍數(shù)”是假命題，所以這個命題是假命題． (2)命題“y＝x＋1和y＝x3都是單調(diào)增函數(shù)”可以改寫為“y＝x＋1是單調(diào)增函數(shù)且y＝x3是單調(diào)增函數(shù)”．因為“y＝x＋1是單調(diào)增函數(shù)”與“y＝x3是單調(diào)增函數(shù)”都是真命題，所以這個命題是真命題． (3)命題“函數(shù)y＝sin x不僅是奇函數(shù)，還是周期函數(shù)”可以改寫為“函數(shù)y＝sin x是奇函數(shù)且是周期函數(shù)”．因為“函數(shù)y＝sin x是奇函數(shù)”與“函數(shù)y＝sin x是周期函數(shù)”都是真命題，所以這個命題是真命題． 邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” 對下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)造新命題，并判斷它們的真假． (1)p：正數(shù)的平方大于0，q：負(fù)數(shù)的平方大于0； (2)p：4＞5，q：4＜5； (3)p：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1， q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2. [自主解答]　(1)p∨q：“正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方大于0”，即“非零實數(shù)的平方大于0”，是真命題． (2)p∨q：“4＞5或4＜5”，即“4≠5”，是真命題； (3)p∨q：“方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝2”，是假命題． p∨q形式的命題與p∧q形式的命題不同的是：兩命題的條件相同時，p∧q形式的命題可以省去一個條件，而p∨q形式的命題則不可以(注：在不改變命題真假性的前提下，可以用)；兩命題的結(jié)論相同時，p∧q形式的命題有時不能用“且”聯(lián)結(jié)兩個條件，而p∨q形式的命題卻可以． 3．判斷下列命題的真假． (1)4≥4； (2)僅有一組對邊平行的四邊形是梯形或是平行四邊形． 解：(1)命題“4≥4”的含義是“4>4或4＝4”，其中“4＝4”是真命題，所以“4≥4”是真命題． (2)命題“僅有一組對邊平行的四邊形是梯形或是平行四邊形”是“p∨q”形式的命題， 其中p：僅有一組對邊平行的四邊形是梯形， q：僅有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形． 因為p真q假，所以p∨q為真，故原命題是真命題． 解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡單、高效、不走彎路 設(shè)有兩個命題．命題p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命題q：函數(shù)f(x)＝(a＋1)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．如果p∧q為假命題，p∨q為真命題，求a的取值范圍． [巧思]　因為p∧q為假命題，p∨q為真命題，故p和q必有一真一假．因此可先求出p，q為真命題時a的取值范圍，然后分“p真q假”“p假q真”兩種情況即可求出a的取值范圍． [妙解]　對于p：因為不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?， 所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a<1. 對于q：f(x)＝(a＋1)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)， 則有a＋1>1，所以a>0. 又p∧q為假命題，p∨q為真命題， 所以p，q必是一真一假． 當(dāng)p真q假時有－3<a≤0，當(dāng)p假q真時有a≥1. 綜上所述，a的取值范圍是(－3,0]∪[1，＋∞)． 1．“xy≠0”是指(　　) A．x≠0且y≠0　　　　 B．x≠0或y≠0 C．x，y至少有一個不為0 D．不都是零 解析：xy≠0是指“x≠0，且y≠0”． 答案：A 2．若命題p：x∈A∩B，則綈p為(　　) A．x∈A且x?B B．x?A或x?B C．x?A且x?B D．x∈A∪B 解析：“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故綈p：x?A或x?B. 答案：B 3．(2017·山東高考)已知命題p：對任意x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧綈q C．綈p∧q D．綈p∧綈q 解析：當(dāng)x>0時，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p為真命題；取a＝1，b＝－2，這時滿足a>b，顯然a2>b2不成立，因此q為假命題．由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題． 答案：B 4．已知命題p：6是12的約數(shù)，q：6是24的約數(shù)，則p∧q是________，p∨q是________，綈p是________． 解析：p∧q：6是12和24的約數(shù)； p∨q：6是12或24的約數(shù)； 綈p：6不是12的約數(shù)． 答案：6是12和24的約數(shù)　6是12或24的約數(shù)　6不是12的約數(shù) 5．命題p：0不是自然數(shù)，命題q：是無理數(shù)，則在命題“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命題是________，假命題是____________． 解析：顯然p為假命題，q是真命題，故“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，“非p”為真命題，“非q”為假命題． 答案：p或q, 非p　p且q，非q 6．對命題p：1是集合{x|x2<a}中的元素；q：2是集合{x|x2<a}中的元素，則a為何值時，“p或q”為真？a為何值時，“p且q”為真？ 解：若p為真，則1∈{x|x2<a}， 所以12<a，即a>1； 若q為真，則2∈{x|x2<a}，即a>4. 若“p或q”為真，則a>1或a>4，即a>1； 若“p且q”為真，則a>1且a>4，即a>4. 一、選擇題 1．“p∨q為假命題”是“綈p為真命題”的(　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：p∨q為假命題，則p，q均為假命題，故p∨q為假命題?綈p為真命題，但綈p為真命題 p∨q為假命題． 答案：A 2．已知p：點P在直線y＝2x－3上，q：點P在直線y＝－3x＋2上，則使命題p∧q為真命題的一個點P(x，y)是(　　) A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) 解析：因為p∧q為真命題，所以p，q均為真命題，即點P為直線y＝2x－3與y＝－3x＋2的交點， 故有解得故選C. 答案：C 3．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命題p：∈(A∪B)，則命題“綈p”是(　　) A.?A B.∈(?UA)∩(?UB) C.∈?UB D.?(A∩B) 解析：由p：∈(A∪B)，可知綈p：?(A∪B)， 即∈?U(A∪B)，而?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 答案：B 4．下列各組命題中，滿足“p或q”為真，且“非p”為真的是(　　) A．p：0＝?；q：0∈? B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，則A＝B；q：函數(shù)y＝sin x在第一象限是增函數(shù) C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集為(－∞，0) D．p：圓(x－1)2＋(y－2)2＝1的面積被直線x＝1平分；q：過點M(0,1)且與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直線有兩條 解析：A中，p，q均為假命題，故“p或q”為假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p為真，從而“非p”為假，排除B；C中，p為假，從而“非p”為真，q為真，從而“p或q”為真；D中，p為真，故“非p”為假，排除D.故選C. 答案：C 二、填空題 5．命題“若abc＝0，則a，b，c中至少有一個為零”的否定為：________，否命題為：________. 解析：否定形式：若abc＝0，則a，b，c全不為零． 否命題：若abc≠0，則a，b，c全不為零． 答案：若abc＝0，則a，b，c全不為零　若abc≠0，則a，b，c全不為零 6．已知命題p：x≤1，命題q：＜1，則綈p是q的________條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一個)． 解析：p：x≤1?綈p：x＞1?＜1，但＜1 x＞1. ∴綈p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 7．若命題p：不等式ax＋b＞0的解集為，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集為{x|a＜x＜b}，則“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的復(fù)合命題中的真命題是________． 解析：因命題p，q均為假命題，所以“p∨q”“p∧q”為假命題，“綈p”為真命題． 答案：綈p 8．已知條件p：(x＋1)2>4，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． 解析：由綈p是綈q的充分而不必要條件，可知綈p?綈q，但綈q 綈p，又一個命題與它的逆否命題等價，可知q?p，但pq，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答題 9．寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假． (1)p：1是質(zhì)數(shù)，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根； (2)p：平行四邊形的對角線一定相等，q：平行四邊形的對角線互相垂直； (3)p：N?Z，q：0∈N. 解：(1)因為p假q真，所以p或q：1是質(zhì)數(shù)或1是方程x2＋2x－3＝0的根，為真命題；p且q：1是質(zhì)數(shù)且1是方程x2＋2x－3＝0的根，為假命題；非p：1不是質(zhì)數(shù)，為真命題． (2)因為p假q假，所以p或q：平行四邊形的對角線一定相等或互相垂直，為假命題；p且q：平行四邊形的對角線一定相等且互相垂直，為假命題；非p：平行四邊形的對角線不一定相等，為真命題． (3)因為p真q真，所以p或q：N?Z或0∈N，為真命題；p且q：N?Z且0∈N，為真命題；非p：NZ，為假命題． 10．設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；q：關(guān)于x的方程x2＋2x＋loga＝0(a>0，且a≠1)的解集只有一個子集．若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍． 解：當(dāng)命題p是真命題時，應(yīng)有a>1. 當(dāng)命題q是真命題時， 關(guān)于x的方程x2＋2x＋loga＝0無解， 所以Δ＝4－4loga<0，解得1<a<. 由于p∨q為真，則p和q中至少有一個為真， 又p∧q為假，則p和q中至少有一個為假， 所以p和q中一真一假， 當(dāng)p假q真時，有 不存在符合條件的實數(shù)a； 當(dāng)p真q假時，有解得a≥， 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.