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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案:第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
對應(yīng)學(xué)生用書P42
1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
在不等關(guān)系的證明中,方法多種多樣,其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時,由n=k成立,推導(dǎo)n=k+1成立時,常常要與其他方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行.
2.歸納—猜想—證明的思想方法
數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法,常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中.一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論;更重要的是,要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)
2、歸納法證明其正確性,形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法.
對應(yīng)學(xué)生用書P42
利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
[例1] 證明:2n+2>n2,n∈N+.
[思路點(diǎn)撥]
―→―→
[證明] (1)當(dāng)n=1時,左邊=21+2=4;右邊=1,
左邊>右邊;
當(dāng)n=2時,左=22+2=6,右=22=4,所以左邊>右邊;
當(dāng)n=3時,左=23+2=10,右=32=9,所以左邊>右邊.
因此當(dāng)n=1,2,3時,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N+)時,不等式成立.
當(dāng)n=k+1時,
2k
3、+1+2
=2·2k+2
=2(2k+2)-2>2k2-2
=k2+2k+1+k2-2k-3
=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k≥3,則k-3≥0,
k+1>0)≥k2+2k+1=(k+1)2.
所以2k+1+2>(k+1)2.故當(dāng)n=k+1時,原不等式也成立.
根據(jù)(1)(2),原不等式對于任何n∈N都成立.
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧
(1)證明不等式時,由n=k到n=k+1時的推證過程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關(guān)系,需要我們在證明時,對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時的假設(shè),所以需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮,才能使問題簡單化,這
4、是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一.
(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:++…+>(n≥2,n∈N+).
證明:(1)當(dāng)n=2時,左邊=+++>,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時,不等式成立.即
++…+>.當(dāng)n=k+1時,
++…++++>+>+=.
∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(2)知,原不等式對一切n≥2,n∈N+均成立.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1+++…+<2-(n≥2,n∈N+).
證明:(1)當(dāng)n=
5、2時,1+=<2-=,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時不等式成立,即1+++…+<2-,
當(dāng)n=k+1時,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,不等式成立.
由(1)(2)知原不等式在n≥2,n∈N+時均成立.
3.設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.
解:(1)當(dāng)n=1,2時,Pn=Qn.
(2)當(dāng)n≥3時,(以下再對x進(jìn)行分類).
①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.
②若x=0,則Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),
則P3-Q3=x3<0,所以P3
6、
P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P40(n∈N+),對任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又f(2)=4.
(1)求f(1),f(3)的值.
(2)猜想f(n)的表達(dá)式,并證明你的猜想.
[思路點(diǎn)撥] 利用f
7、(n1+n2)=f(n1)f(n2)可求出f(1),f(3)再猜想f(n),利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.
[解] (1)由于對任意自然數(shù)n1和n2,
總有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
取n1=n2=1,得f(2)=f(1)·f(1),即f2(1)=4.
∵f(n)>0(n∈N+),
∴f(1)=2.
取n1=1,n2=2,得f(3)=23.
(2)由f(1)=21,f(2)=4=22,f(3)=23,
猜想f(n)=2n.
證明:①當(dāng)n=1時f(1)=2成立;
②假設(shè)n=k時,f(k)=2k成立.
f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1,
這就是
8、說當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
由①②知猜想正確,即f(n)=2n.
利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是:觀察——?dú)w納——猜想——證明.即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn).進(jìn)行歸納,判斷并猜想出一般結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
4.在數(shù)列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4的值,由此猜測{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)證明你的結(jié)論.
解:(1)由條件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1.
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,
9、b3=16,a4=20,b4=25.
猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時,由上知結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立.
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=2bk-ak=
2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2).
bk+1==(k+2)2.
所以當(dāng)n=k+1時, 結(jié)論也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立.
5.是否存在常數(shù)a,b,c使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)對于一切n∈N+都成立
10、,若存在,求出a,b,c并證明;若不存在,試說明理由.
解:假設(shè)存在a,b,c使12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c),對于一切n∈N+都成立.
當(dāng)n=1時,a(b+c)=1;
當(dāng)n=2時,2a(4b+c)=6;
當(dāng)n=3時,3a(9b+c)=19.
解方程組解得
證明如下:
①當(dāng)n=1時,由以上知存在常數(shù)a,b,c使等式成立.
②假設(shè)n=k(k∈N+)時等式成立,
即12+22+32+…+k2+(k-1)2+…+22+12
=k(2k2+1);
當(dāng)n=k+1時,
12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+2
11、2+12
=k(2k2+1)+(k+1)2+k2
=k(2k2+3k+1)+(k+1)2
=k(2k+1)(k+1)+(k+1)2
=(k+1)(2k2+4k+3)
=(k+1)[2(k+1)2+1].
即n=k+1時,等式成立.
因此存在a=,b=2,c=1使等式對一切n∈N+都成立.
對應(yīng)學(xué)生用書P44
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x>0和正整數(shù)n,都有xn+xn-2+xn-4+…+++≥n+1”時,需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為( )
A.n0=1 B.n0=2
12、C.n0=1,2 D.以上答案均不正確
解析:需驗(yàn)證:n0=1時,x+≥1+1成立.
答案:A
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取( )
A.2 B.3
C.5 D.6
解析:n取1,2,3,4時不等式不成立,起始值為5.
答案:C
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+1)”時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是( )
A.2k-1 B.2k-1
C.2k D.2k+1
解析:由n=k到n=k+1,應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k
13、-1)=2k項(xiàng).
答案:C
4.若不等式++…+>對大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為( )
A.12 B.13
C.14 D.不存在
解析:令f(n)=++…+,取n=2,3,4,5等值,發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的,所以[f(n)]min>,所以由f(2)>,求得m的最大值為13.
答案:B
5.證明<1+++…+1),當(dāng)n=2時.要證明的式子為________.
解析:當(dāng)n=2時,要證明的式子為
2<1+++<3.
答案:2<1+++<3
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“…>”時,n的最小取值n0為________.
解析:左邊為(n-1)
14、項(xiàng)的乘積,故n0=2.
答案:2
7.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù)(n∈N+),已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,則M,N的大小關(guān)系為________
解析:當(dāng)n=1時,M=a+b=N.
當(dāng)n=2時,M=(a+b)2,N=a2+2ab22,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時不等式成立,即(1+2+…+k)≥k2.
15、
則當(dāng)n=k+1時,有
左邊=[(1+2+…+k)+(k+1)]
=(1+2+…+k)+(1+2+…+k)+(k+1)×+1≥k2++1+(k+1).
∵當(dāng)k≥2時,1++…+≥1+=,(*)
∴左邊≥k2++1+(k+1)×=k2+2k+1+≥(k+1)2.
這就是說當(dāng)n=k+1時,不等成立,由(1)、(2)可知當(dāng)n≥1時,不等式成立.
9.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=a-nan+1,n=1,2,3….
(1)當(dāng)a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)a≥3時,證明對所有的n≥1,有an≥n+2.
解:(1)由a1=2,得a2=a-a1+
16、1=3,
由a2=3,得a3=a-2a2+1=4,
由a3=4,得a4=a-3a3+1=5.
由此猜想an的一個通項(xiàng)公式:
an=n+1(n≥1).
(2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1,a1≥3=1+2,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立,
即ak≥k+2,那么,當(dāng)n=k+1時.
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,
也就是說,當(dāng)n=k+1時,
ak+1≥(k+1)+2.
根據(jù)①和②,對于所有n≥1,有an≥n+2.
10.設(shè)a∈R,f(x)=是奇函數(shù),
(1)求a的值;(2)如果g(n)=(n∈N+),試比較f(
17、n)與g(n)的大小(n∈N+).
解:(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0.故a=1.
(2)f(n)-g(n)=-=.
只要比較2n與2n+1的大?。?
當(dāng)n=1,2時,f(n)2n+1,f(n)>g(n).
下面證明,n≥3時,2n>2n+1,即f(x)>g(x).
①n=3時,23>2×3+1,顯然成立,
②假設(shè)n=k(k≥3,k∈N+)時,2k>2k+1,
那么n=k+1時,2k+1=2×2k>2(2k+1).
2(2k+1)-[2(k+1)+1]=4k+2-2k-3=2k-1>0(∵k≥3),
有2k+1>2(k+1)+1.
∴n=k+1時,不等式也成立,由①②可以判定,n≥3,n∈N+時,2n>2n+1.
所以n=1,2時,f(n)g(n).