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1、2022高考數(shù)學一本策略復習 專題五 解析幾何 第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質課后訓練 文
一、選擇題
1.(2018·廣西南寧模擬)雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:在雙曲線 -=1中,a=5,b=2,而其漸近線方程為y=±x,∴其漸近線方程為y=±x,故選D.
答案:D
2.已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為( )
A.2 B.2
C.8
2、 D.2
解析:根據(jù)已知條件得c=,則點在橢圓+=1(m>0)上,∴+=1,可得m=2.
答案:B
3.(2018·張掖模擬)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C.2 D.3
解析:雙曲線-=1的漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,則圓心(0,2)到直線bx-ay=0的距離為1,所以=1,即=1,所以雙曲線的離心率e==2,故選C.
答案:C
4.(2017·高考全國卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切
3、,則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標原點O(0,0),半徑為a.由題意,圓心到直線bx-ay+2ab=0的距離為=a,即a2=3b2.又e2=1-=,所以e=.
答案:A
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為4,漸近線方程為2x±y=0,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:易知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點在x軸上,所以由漸近線方程為2x±y=0,得=2,因為雙曲線的焦距為4,所以c=2,結合c2=a2+b2,可得a=2,b=4,所以雙曲線的方程為-=1,故選A.
4、
答案:A
6.(2018·長春模擬)已知O為坐標原點,設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y2=1的左、右焦點,P為雙曲線上任意一點,過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|=( )
A.1 B.2
C.4 D.
解析:不妨設P在雙曲線的左支,如圖,延長F1H交PF2于點M,由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M,故△PF1M為等腰三角形,|PF1|=|PM|且H為F1M的中點,所以OH為△MF1F2的中位線,所以|OH|=|MF2|=(|PF2|-|PM|)=(|PF2|-|PF1|)=1.故選A.
答案:A
7.(2018·高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線
5、C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為( )
A. B.2
C. D.2
解析:由題意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因為a>0,b>0,所以a=b,漸近線方程為x±y=0,點(4,0)到漸近線的距離為=2,
故選D.
答案:D
8.(2018·石家莊一模)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:+=1(a>b>0)截得的弦長為7,有下列直線:①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-3;④y=-2x+3.其中被橢圓C截得的弦長一定為7的有( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
解析:易知直線y=2x-3與直線l關于
6、原點對稱,直線y=-2x-3與直線l關于x軸對稱,直線y=-2x+3與直線l關于y軸對稱,故由橢圓的對稱性可知,有3條直線被橢圓C截得的弦長一定為7.選C.
答案:C
9.(2018·洛陽模擬)設雙曲線C:-=1的右焦點為F,過F作雙曲線C的漸近線的垂線,垂足分別為M,N,若d是雙曲線上任意一點P到直線MN的距離,則的值為( )
A. B.
C. D.無法確定
解析:雙曲線C:-=1中,a=4,b=3,c=5,右焦點F(5,0),漸近線方程為y=±x.不妨設M在直線 y=x上,N在直線y=-x上,則直線MF的斜率為-,其方程為y=-(x-5),設M(t,t),代入直線MF的方程,得
7、t=-(t-5),解得t=,即M(,).由對稱性可得N(,-),所以直線MN的方程為x=.設P(m,n),則d=|m-|,-=1,即n2=(m2-16),則|PF|==|5m-16|.故==,故選B.
答案:B
10.(2018·高考全國卷Ⅰ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點,則·=( )
A.5 B.6
C.7 D.8
解析:由題意知直線MN的方程為y=(x+2),
聯(lián)立直線與拋物線的方程,得
解得或
不妨設M為(1,2),N為(4,4).
又∵拋物線焦點為F(1,0),∴=(0,2),=(3,4),
∴·=0×3+
8、2×4=8.
故選D.
答案:D
11.(2018·廣西五校聯(lián)考)已知點F1,F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M,N兩點,若·1>0,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A.(,+1) B.(1,+1)
C.(1,) D.(,+∞)
解析:設F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
依題意可得-=1,得到y(tǒng)=,
不妨設M,N,
則1·1=·=4c2->0,
得到4a2c2-(c2-a2)2>0,
即a4+c4-6a2c2<0,
故e4-6e2+1<0,
解得3-2<e2<3+2,
又e>1,所以1<e2<3+
9、2,
解得1<e<1+
答案:B
12.(2018·南昌模擬)拋物線y2=8x的焦點為F,設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個動點,若x1+x2+4=|AB|,則∠AFB的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析:由拋物線的定義可得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,又x1+x2+4=|AB|,
得|AF|+|BF|=|AB|,
所以|AB|=(|AF|+|BF|).
所以cos∠AFB=
=
=
=-≥×2-=-,而0<∠AFB<π,
所以∠AFB的最大值為.
答案:D
二、填空題
13.(2018·成都模擬)已知雙曲線-=1(a>0
10、)和拋物線y2=8x有相同的焦點,則雙曲線的離心率為________.
解析:易知拋物線y2=8x的焦點為(2,0),所以雙曲線-=1的一個焦點為(2,0),則a2+2=22,即a=,所以雙曲線的離心率e===.
答案:
14.(2018·武漢調研)雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)的焦距為10,焦點到漸近線的距離為3,則Γ的實軸長等于________.
解析:雙曲線的焦點(0,5)到漸近線y=x,即ax-by=0的距離為==b=3,所以a=4,2a=8.
答案:8
15.(2018·唐山模擬)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=2|BF|
11、=6,則p=________.
解析:設AB的方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,將直線AB的方程代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,4x1x2=p2.設拋物線的準線為l,過A作AC⊥l,垂足為C,過B作BD⊥l,垂足為D,因為|AF|=2|BF|=6,根據(jù)拋物線的定義知,|AF|=|AC|=x1+=6,|BF|=|BD|=x2+=3,所以x1-x2=3,x1+x2=9-p,所以(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x1x2=p2,即18p-72=0,解得p=4.
答案:4
16.(2017·高考全國卷Ⅰ改編)設A,B是橢圓C:
12、+=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是________.
解析:當0<m<3時,焦點在x軸上,
要使C上存在點M滿足∠AMB=120°,
則≥tan 60°=,即≥ ,
解得0<m≤1.
當m>3時,焦點在y軸上,
要使C上存在點M滿足∠AMB=120°,
則≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞).
答案:(0,1]∪[9,+∞)
三、解答題
17.(2018·遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為B,若△BF1F2的周長為6,且點F1到直線BF2
13、的距離為b.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設A1,A2是橢圓C長軸的兩個端點,P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點,直線A1P交直線x=m于點M,若以MP為直徑的圓過點A2,求實數(shù)m的值.
解析:(1)由題意得F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),
則2a+2c=6,①
直線BF2的方程為bx+cy-bc=0,
所以=b,即2c=a,②
又a2=b2+c2,③
所以由①②③可得a=2,b=,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)不妨設A1(-2,0),A2(2,0),P(x0,y0),
則直線A1P的方程為y=(x+2),
所以M(m,(m+2)),
又點
14、P在橢圓C上,所以y=3(1-),
若以MP為直徑的圓過點A2,則A2M⊥A2P,·=0,
所以(m-2,(m+2))·(x0-2,y0)=(m-2)(x0-2)+(m+2)=(m-2)(x0-2)+(m+2)=(x0-2)(m-)=0.
又點P不同于點A1,A2,所以x0≠±2,
所以m=14.
18.(2018·廣州模擬)如圖,在直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的上焦點為F1,橢圓C的離心率為,且過點(1,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓C交于點B(B不在y軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與x軸交于點H,若·=0,且|
15、MO|=|MA|,求直線l的方程.
解析:(1)因為橢圓C的離心率為,所以=,即a=2c.
又a2=b2+c2,所以b2=3c2,即b2=a2,所以橢圓C的方程為+=1.
把點(1,)代入橢圓C的方程中,解得a2=4.
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)由(1)知,A(0,2),設直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=kx+2,
由得(3k2+4)x2+12kx=0.
設B(xB,yB),得xB=,
所以yB=,
所以B(,).
設M(xM,yM),因為|MO|=|MA|,所以點M在線段OA的垂直平分線上,
所以yM=1,因為yM=kxM+2,所以xM=-,即M(-,1).
設H(xH,0),又直線HM垂直于直線l,所以kMH=-,即=-.
所以xH=k-,即H(k-,0).
又F1(0,1),所以=(,),=(k-,-1).
因為·=0,所以·(k-)-=0,
解得k=±.
所以直線l的方程為y=±x+2.