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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 專題研究2 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 2．(2017·山東德州一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊的式子為(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　D 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23.故選D. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋

2、…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7. ∴初始值至少應(yīng)取8. 4．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案　D 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D

3、．25(34k＋1＋52k＋1) 答案　A 解析　因?yàn)橐褂脷w納假設(shè)，必須將34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解為歸納假設(shè)和能被8整除的兩部分．所以應(yīng)變形為56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 6．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn＝__________． 答案　 解析　c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝， c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝， 故由歸納推理得cn

4、＝. 7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有：(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3； (2)猜想Sn的表達(dá)式并證明． 答案　(1)S1＝，S2＝，S3＝ (2)Sn＝，證明略 解析　(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝. (2)猜想：Sn＝. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，Sk＝成立． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝. 從而n＝k＋1時(shí)，猜想也

5、成立． 綜合①②得結(jié)論成立． 8．已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，數(shù)列{an}滿足：00， 所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)． 又f(x)在[0，1]上連續(xù)， 從而f(0)

6、正整數(shù)都成立． 又因?yàn)?

7、k＋1＜－·＋－＝－＜. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任何n∈N＋，不等式an＜成立． 10．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)． 證明：an

8、1＋ak) ＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)． 而ak－1－ak<0，4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0. 又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2. 所以n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N時(shí)有an

9、(4－ak)<×2×(4－2)． 也即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak

10、bn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立． (2)＝<. 當(dāng)n≥2時(shí)，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋

11、1)·n. 故＋＋…＋ <＋(＋＋…＋) ＝＋(－＋－＋…＋－) ＝＋(－)<＋＝. 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 答案　 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N*，＋＋…＋＝. 答案　略 解析　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)

12、可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立． 3．(2017·湖北宜昌一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 答案?。?1 解析　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 于是由a1≥1， 得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1， 進(jìn)而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1. 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立， 即ak≥2k－1， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知， ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①、②知，對(duì)任意n∈N*， 都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n， ∴≤. ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n＜1.