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1、2022年高一數(shù)學(xué)必修4 第三章 簡單的三角恒等變換小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案
一、【教學(xué)目標】
重點:引導(dǎo)學(xué)生在已有的公式基礎(chǔ)上進行簡單的三角恒等變換,體會三角變換的特點.
難點:認識三角變換的特點,并能運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計,不斷提高從整體上把握變換過程的能力.
知識點:三角恒等變換.
能力點:通過變換,使學(xué)生在變換的思想和方法的過程中,發(fā)展推理能力和運算能力.
教育點:通過公式的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生嚴謹規(guī)范的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點.
自主探究點:利用已有公式證明積化和差、和差化積公式.
訓(xùn)練(應(yīng)用)點:利用公式進行化簡、求值與證明
考試點:簡單的三角恒等變換.
易錯易
2、混點:和(差)角公式,倍角公式的符號以及特殊角的三角函數(shù)值.
拓展點:所有公式之間的內(nèi)在聯(lián)系.
兩角和與差的正弦、
余弦、正切公式
二、【知識梳理】
二倍角的正弦、
余弦、正切公式
公式
公式
兩 弦
角 余
和 弦
與 正
差 切
的 公
正 式
公式的運用
公式
注意角度的各種存在形式
公式
利用三角函數(shù)求最值問題
公式
給角求值
三角函數(shù)式的化簡
給值求值
簡恒單等的變?nèi)?換角
三角函數(shù)式的求值
給式求值
給值求角
三角函數(shù)式的證
3、明
“化一”公式的應(yīng)用
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式
;;
.
2.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧
(1)常見角的變換:;;;;;
(2)方程思想: 知一求二;
(3)“1”的替換:等;
(4)切弦互化;
(5)公式變形
;
(6)輔助角公式:
(其中輔助角所在象限由點所在的象限決定, ).
常用結(jié)論 : , .
3.三角函數(shù)式化簡的目標與方法: 化為單角或同角,函數(shù)名稱少,次數(shù)盡量低,盡量不含分母和根號.口訣:大角化小角,負角化正角,異名化同名,切化弦,高次化低次.
4.三角函
4、數(shù)式的求值的類型一般可分為:
(1)“給角求值”:給出非特殊角求式子的值——化非特殊角為特殊角,再用公式計算;
(2)“給值求值”:給出一些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)式的值——變換角,找出已知角與所求角的聯(lián)系;
(3)“給式求值”:給出的三角函數(shù)式的值,求其他式子的值——化簡已知式或所求式,再求;
(4)“給值求角”:——先求角的某一三角函數(shù)值,結(jié)合角的范圍求出角,要特別注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響,有時需要討論.
5.證明及其基本方法:
(1)化繁為簡法; (2)左右歸一法 ; (3)變更命題法;
(4)條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與
5、求證結(jié)論之間的區(qū)別與聯(lián)系.
三、【范例導(dǎo)航】
例1.求值:
.
【分析】這道題目中出現(xiàn)了很多不同的角,所以要充分把握角之間的關(guān)系,通過通分、切化弦以及和(差)角、倍角公式化異為同.
【解答】原式
【點評】在解決化簡求值一類題目時,要注意三看,一看角,二看函數(shù)名,三看形式,從而找到問題的切入點.
變式訓(xùn)練:求的值.
【分析】從形式上看,因此把代換成,接著提取公因式再利用和(差)角公式就能夠求出其值.
【解答】原式
【點評】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力.
例2.
6、證明:.
證明:左邊
右邊
所以等式成立.
變式訓(xùn)練:證明:(1);
(2)
【分析】(1)從形式上看可以利用二倍角公式進行證明;
(2)從形式上看,因此通分之后利用和(差)角公式就可以證明.
【解答】證明:(1)
原式左邊
右邊
所以等式成立.
(2)
原式左邊
右邊
所以等式成立.
【點評】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力.
例3. 求函數(shù)的最小正周期和最
7、小值,并寫出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間.
【分析】通過平方差公式和化一變形公式化成這種形式,即可討論其所有的性質(zhì).
【解答】
所以,最小值為;
由得
又因為,
所以該函數(shù)的遞增區(qū)間為.
【點評】這個題目平方差公式是入手點,能夠看到這一點,后面的問題就迎刃而解.
變式訓(xùn)練:已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若,求的值.
【分析】可以化成的形式,然后再求周期、及最值等,本題應(yīng)先降冪,利用,比較簡單,必須掌握.
【解答】(1)
所以函數(shù)的最小正周期為.
因為在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),
又,
所以函數(shù)在
8、區(qū)間上的最大值為2,最小值為-1;
(2)由(1)可知,
又因為,所以,
由,得,
從而,
所以
.
【點評】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力.
例4. 在中,,求的值.
【分析】由于是三角形,所以隱含的條件就是,因此,那么利用兩角和的余弦公式就可以求解.
【解答】因為,所以,
又因為,所以;
(1)若角為銳角,顯然符合題意;
(2)若角為鈍角,因為,所以;
又,所以,
故,不符合題意,舍去;
所以
【點評】本題的思路還是比較清晰的,但是經(jīng)過計算
9、之后,會發(fā)現(xiàn)有兩組值,而其中有一組值是不符合題意的,需要舍去,所以這里是一個非常容易忽略的地方,因此需要特別注意.
變式訓(xùn)練:設(shè)都是銳角,且,求.
【分析】從形式上看,所以可以利用兩角差的余弦公式展開進行計算.
【解答】因為且,所以,
又因為,所以,
而,,故,
因此,所以;
所以
【點評】這個題目同例4類似,在求的值時有兩個值,但是同樣需要根據(jù)已知條件舍去一個值,這是本題的難點,具體操作時要和學(xué)生進行充分地討論,為什么要舍去一個值,明白其來龍去脈.
四、【解法小結(jié)】
1.運用公式時要注意審查公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對性,要注意升次、降次的靈活運用,要注意
10、“1”的各種變通,熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu),靈活變換,既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu),更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征;
2. 在三角求值時,往往要估計角的范圍后再求值;
3.重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角:對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角度、函數(shù)名、所求問題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?
五、【布置作業(yè)】
必做題:
1.設(shè)為銳角,若,則的值為 .
2. 等于 .
3. 如果,那么等
11、于 .
4.已知函數(shù),(其中)的最小正周期為.
(1)求的值;
(2)設(shè),,,求的值.
答案:1.; 2.; 3.; 4. ,.
選做題:設(shè).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值及相應(yīng)的取值.
答案:(1);(2).
六、【教后反思】
三角恒等變換這一章最大的特點是公式非常多,因此熟練掌握公式是解決這類問題的關(guān)鍵,所以本節(jié)課在一開始就列出了本章的知識脈絡(luò)以及出現(xiàn)的公式,目的是讓學(xué)生從宏觀上把握這一章的內(nèi)容;本節(jié)課所選擇的例題具有一定的代表性,主要是讓學(xué)生理解公式在恒等變換中的綜合應(yīng)用以及方法技巧的掌握,目的在于訓(xùn)練學(xué)生的運算能力、變通能力,由于個別題目較難,所以在具體實施時遇到了一定的困難,沒有達到預(yù)期的效果,應(yīng)想辦法把一個難的問題分解,讓學(xué)生能夠愉快地接受.