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2022屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題(六)圓的切線的判定方法(教材變式)練習(xí) (新版)湘教版

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1、2022屆九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 小專題(六)圓的切線的判定方法(教材變式)練習(xí) (新版)湘教版 例 (教材P75習(xí)題T2)如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN過點(diǎn)B,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠CBM=∠A. 求證:MN是⊙O的切線. 【解答】 ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠C=90°. ∴∠A+∠ABC=90°. 又∵∠CBM=∠A, ∴∠CBM+∠ABC=90°. ∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半徑, ∴MN是⊙O的切線.  證明一條直線為圓的切線,主要有以下兩種方法:①直線與圓有公共點(diǎn):要判斷是不是圓的切線關(guān)鍵看直線和圓是不是有公共點(diǎn),若有(但沒說唯一),那么就連出這條半徑,如果能夠

2、證明該直線和這個(gè)半徑垂直,就說明直線是圓的切線(簡稱為“連半徑證垂直”);②不確定直線與圓是否有公共點(diǎn):若題目中沒有告訴直線和圓有公共點(diǎn),那就算圓心到直線的距離是不是等于圓的半徑.若等于,則該直線就是圓的切線.(簡稱為“作垂直證半徑”) 1.如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D在⊙O上,點(diǎn)E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°. (1)求∠ABC的度數(shù); (2)求證:AE是⊙O的切線. 解:(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角, ∴∠ABC=∠D=60°. (2)證明:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°. ∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠E

3、AC=30°+60°=90°. ∴BA⊥AE,且OA是⊙O的半徑. ∴AE是⊙O的切線. 2.如圖,以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點(diǎn)D,且過點(diǎn)D的⊙O的切線DE平分邊BC,交BC于E.求證:BC是⊙O的切線. 證明:連接OD,OE, ∵O為AB的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn), ∴OE為△ABC的中位線. ∴OE∥AC. ∴∠DOE=∠ODA,∠BOE=∠A. ∵OA=OD,∴∠A=∠ODA.∴∠DOE=∠BOE(SAS). ∵OD=OB,OE=OE,∴△ODE≌△OBE. ∴∠ODE=∠OBE. ∵DE是⊙O的切線,∴∠ODE=∠OBE=90°. ∴OB⊥B

4、C. ∵OB是⊙O的半徑, ∴BC是⊙O的切線. 3.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E.求證:CE為⊙O的切線. 證明:連接OD. ∵點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn), ∴∠BOC=∠BOD. ∵∠BAD=∠BOD, ∴∠BOC=∠BAD.∴AE∥OC. ∵AD⊥EC,∴OC⊥EC. ∵OC是⊙O的半徑, ∴CE為⊙O的切線. 4.如圖,AB為⊙O直徑,C是⊙O上一點(diǎn),CO⊥AB于點(diǎn)O,弦CD與AB相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作∠CDE,使∠CDE=∠DFE,交AB的延長線于點(diǎn)E.過點(diǎn)A作⊙O的切線交ED的延長線于

5、點(diǎn)G.求證:GE是⊙O的切線. 證明:連接OD, ∵OC=OD,∴∠C=∠ODC. ∵OC⊥AB, ∴∠COF=90°, ∴∠OCD+∠CFO=90°. ∴∠ODC+∠CFO=90°. ∵∠EFD=∠CFO,∠EFD=∠CDE, ∴∠ODC+∠CDE=90°. ∴OD⊥GE.又∵OD是⊙O的半徑, ∴GE是⊙O的切線. 5.如圖,O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M,與AB,AD分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn).求證:CD與⊙O相切. 證明:連接OM,過點(diǎn)O作ON⊥CD,垂足為N. ∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M, ∴OM⊥BC.

6、 ∵在正方形ABCD中,AC平分∠BCD, ON⊥CD,OM⊥BC,∴OM=ON. ∴點(diǎn)N在⊙O上. ∴CD與⊙O相切. 6.如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作直線MN的垂線,垂足為D,且∠BAC=∠CAD. (1)求證:直線MN是⊙O的切線; (2)若CD=3,∠CAD=30°,求⊙O的半徑. 解:(1)證明:連接OC. ∵OA=OC, ∴∠BAC=∠ACO. 又∵∠BAC=∠CAD, ∴∠ACO=∠CAD. ∴OC∥AD. 又∵AD⊥MN,∴OC⊥MN. ∵OC是⊙O的半徑, ∴直線MN是⊙O的切線. (2)∵在R

7、t△ACD中,∠CAD=30°,CD=3, ∴AC=2CD=6. ∵∠BAC=∠CAD,∴∠BAC=30°. ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°. 在Rt△ACB中,AC=6,∠BAC=30°, ∴AB=4,即⊙O的直徑為4. ∴⊙O的半徑為2. 7.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E為AB上的一點(diǎn),DE=DC,以D為圓心,DB長為半徑作⊙D,AB=5,EB=3. (1)求證:AC是⊙D的切線; (2)求線段AC的長. 解:(1)證明:過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F. ∵∠ABC=90°, ∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC,

8、DF⊥AC, ∴BD=DF.∴點(diǎn)F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切線. (2)在Rt△BDE和Rt△FDC中, ∵BD=DF,DE=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL). ∴EB=CF. ∵AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC, ∴AB=AF. ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC. ∴AC=5+3=8. 8.已知△ABC內(nèi)接于⊙O,過點(diǎn)A作直線EF. (1)如圖1所示,若AB為⊙O的直徑,要使EF成為⊙O的切線,還需要添加的一個(gè)條件是(至少說出兩種):①∠BAE=90°;②∠EAC=∠ABC; (2)如圖2所示,若AB不是⊙O的直徑而是弦,且∠CAE=∠B,EF是⊙O的切線嗎?試證明你的判斷.     圖1         圖2 解:EF是⊙O的切線. 證明:連接AO并延長,交⊙O于點(diǎn)M,連接CM, 則∠ACM=90°,∠M=∠ABC, 即∠M+∠CAM=∠ABC+∠CAM=90°. ∵∠CAE=∠ABC, ∴∠CAM+∠CAE=90°. ∴AE⊥AM. ∵AM為直徑, ∴EF是⊙O的切線.

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