3、=∠BOC;
(3)若∠AOC=∠BOC,則=,AC=BC.
8.如圖,在⊙O中,點C是的中點,∠OAB=50°,則∠BOC等于40°.
9.如圖所示,在⊙O中,=,∠B=70°,則∠A=40°.
10.(教材P49練習T2變式)如圖所示,AB是⊙O的直徑,==,∠COD=34°,求∠AEO的度數(shù).
解:∵==,
∠COD=34°,
∴∠BOE=102°.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAO=∠BOE=51°.
中檔題
11.如圖,AB是⊙O的直徑,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA.則∠BCD等于(C)
A.100° B.11
4、0° C.120° D.135°
12.如圖,在⊙O中,已知弦AB=DE,OC⊥AB,OF⊥DE,垂足分別為C,F(xiàn),則下列說法中,正確的個數(shù)為(D)
①∠DOE=∠AOB;②=;③OF=OC;④AC=EF.
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知,是同圓的兩段弧,且=2,則弦AB與2CD之間的關(guān)系為(B)
A.AB=2CD
B.AB<2CD
C.AB>2CD
D.不能確定
提示:如圖,在圓上截?。剑B接DE,CE,則有=.∴AB=CE.又CD+DE=2CD>CE=AB,∴AB<2CD,故選B.
14.如圖,A
5、,B,C是⊙O上的三點,且有==.
(1)求∠AOB,∠BOC,∠AOC的度數(shù);
(2)連接AB,BC,CA,試確定△ABC的形狀.
解:(1)∵==,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
又∵∠AOB+∠BOC+∠COA=360°,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.
(2)∵==,
∴AB=BC=CA.
∴△ABC是等邊三角形.
15.如圖,AB,CD是⊙O的兩條直徑,過點A作AE∥CD交⊙O于點E,連接BD,DE,求證:BD=DE.
證明:連接OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA.
∵AE∥CD,
∴∠BOD=∠A,∠DOE=∠OEA.
6、
∴∠BOD=∠DOE.
∴BD=DE.
16.如圖,已知AB是⊙O的直徑,M,N分別是AO,BO的中點,CM⊥AB,DN⊥AB.求證:=.
證明:連接OC,OD,
∵AB是⊙O的直徑,M,N分別是AO,BO的中點,
∴OM=ON.
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠OMC=∠OND=90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中,
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).
∴∠=∠DON.
∴=.
綜合題
17.如圖,在⊙O中,AB,CD是兩條弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE與OF的大小有什么關(guān)系?為什么?
7、
(2)如果OE=OF,那么與的大小有什么關(guān)系?為什么?
解:(1)OE=OF.理由:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,
∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD.
∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD.
在△EOB和△FOD中,
∴△EOB≌△FOD(AAS).
∴OE=OF.
(2)=.
理由:∵OE⊥AB,OF⊥CD,AO=BO,CO=DO,
∴∠OEB=∠OFD=90°.
∴點E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點.
在Rt△BEO和Rt△DFO中,
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL).
∴BE=DF.
8、
∵AB=2BE,CD=2DF,
∴AB=CD.
∴=.
2.2.2 圓周角
第1課時 圓周角定理及其推論1
基礎(chǔ)題
知識點1 認識圓周角
1.下列四個圖中,∠x是圓周角的是(C)
知識點2 圓周角定理
2.(xx·衢州)如圖,點A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,則∠AOB的度數(shù)是(B)
A.75° B.70° C.65° D.35°
3.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O.若∠A=α,則∠OBC等于(D)
A.180°-2α B.2α
C.90°+α D.90°-α
4.如圖,將直角三角板60°角的頂點放在
9、圓心O上,斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A,B兩點,P是優(yōu)弧AB上任意一點(與A,B不重合),則∠APB=30°.
5.(xx·廣東)在同圓中,已知弧AB所對的圓心角是100°,則弧AB所對的圓周角是50°.
知識點3 圓周角定理推論1
6.如圖,點A,B,C,D都在⊙O上,AC,BD相交于點E,則∠ABD=(A)
A.∠ACD B.∠ADB
C.∠AED D.∠ACB
7.如圖,已知AB,CD是⊙O的兩條直徑,∠ABC=28°,那么∠BAD=(A)
A.28° B.42° C.56° D.84°
8.(教材P5
10、2練習T3變式)如圖,在⊙O中,弦AB,CD相交于點P.若∠A=30°,∠APD=70°,則∠B等于(C)
A.30° B.35° C.40° D.50°
9.如圖,BD是⊙O的直徑,點A,C在⊙O上,=,∠AOB=60°,則∠BDC的度數(shù)是(D)
A.60° B.45° C.35° D.30°
10.如圖所示,弦AB,CD相交于點O,連接AD,BC,在不添加輔助線的情況下,請在圖中找出一對相等的角,它們是答案不唯一,如:∠A=∠C,∠B=∠D,∠AOD=∠BOC,∠AOC=∠BOD.
11.如圖,已知A,B,C,D是⊙O上的四個點
11、,AB=BC,BD交AC于點E,連接CD,AD.求證:DB平分∠ADC.
證明:∵AB=BC,
∴=.
∴∠BDC=∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易錯點 忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯
12.已知某個圓的弦長等于它的半徑,則這條弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°.
中檔題
13.如圖,P是⊙O外一點,PA,PB分別交⊙O于C,D兩點,已知和所對的圓心角分別為90°和50°,則∠P=(D)
A.45° B.40° C.25° D.20°
14.(xx·菏澤)如圖,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,則∠OBA等于(D)
A.6
12、4° B.58° C.32° D.26°
15.如圖,邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,半徑為1的⊙O的圓心O在格點上,則∠AED的正弦值等于.
16.如圖所示,在⊙O中,已知∠BAC=∠CDA=20°,則∠ABO的度數(shù)為50°.
17.(教材P52練習T3變式)如圖,在⊙O中,A,B是圓上的兩點,已知∠AOB=40°,直徑CD∥AB,連接AC,則∠BAC=35°.
18.如圖,點A,B,C三點在⊙O上,過C作CD∥AB與⊙O相交于D點,E是上一點,且滿足AD=DE,連接BD與AE相交于點F.求證:△AFD∽△ABC.
證明:∵AB∥CD,
∴
13、∠BAC=∠ACD.
∵AD=DE,∴=.
∴∠DAE=∠AED.
∴∠DAE=∠AED=∠ACD=∠BAC.
∵∠ADF=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴△AFD∽△ABC.
綜合題
19.如圖,⊙O的半徑為1,A,P,B,C是⊙O上的四個點,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
證明:(1)△ABC是等邊三角形.
在⊙O中,
∵∠BAC與∠CPB是所對的圓周角,
∠ABC與∠APC是所對的圓周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.
又∵∠A
14、PC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC為等邊三角形.
(2)在PC上截取PD=AP,連接AD,
∵∠APC=60°,
∴△APD是等邊三角形.
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,
即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB.
在△APB和△ADC中,
∴△APB≌△ADC(AAS).
∴BP=CD.
又∵PD=AP.
∴CP=CD+PD=BP+AP.
第2課時 圓周角定理推論2及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
基礎(chǔ)題
知識點1 圓周角定理推論2
1.(xx·福建)如圖,AB是⊙O的
15、直徑,C,D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點.則下列四個角中,一定與∠ACD互余的角是(D)
A.∠ADC B.∠ABD
C.∠BAC D.∠BAD
2.如圖,小華同學設(shè)計了一個量直徑的測量器,標有刻度的尺子OA,OB在O點釘在一起,并使它們保持垂直,在測直徑時,把O點靠在圓周上,讀得刻度OE=8個單位長度,OF=6個單位長度,則圓的直徑為(B)
A.12個單位長度 B.10個單位長度
C.4個單位長度 D.15個單位長度
3.如圖,已知AB是⊙O的直徑,∠D=40°,則∠CAB的度數(shù)為(C)
A.20° B.40° C.50°
16、 D.70°
4.如圖,CD是⊙O的直徑,已知∠1=30°,則∠2=(C)
A.30° B.45° C.60° D.70°
5.如圖,把直角三角形的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上,兩直角邊與圓弧分別交于點M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,則該圓玻璃鏡的半徑是(B)
A. cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
6.如圖,AB是⊙O的直徑,點D在⊙O上,∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C,求∠A的度數(shù).
解:∵∠AOD=130°,
∴∠BOD=50°.
∵BC∥OD,∴∠B=∠BOD=50°.
17、∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠A=90°-∠B=40°.
知識點2 圓內(nèi)接四邊形對角互補
7.如圖,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,E是BC延長線上一點.若∠BAD=105°,則∠DCE的大小是(B)
A.115° B.105° C.100° D.95°
8.(教材P55例4變式)(xx·邵陽)如圖所示,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,∠BCD=120°,則∠BOD的大小是(B)
A.80° B.120° C.100° D.90°
9.如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,已知∠BCD=110°,則∠BAD=
18、70°.
10.如圖,已知∠EAD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角,并且BD=DC.求證:AD平分∠EAC.
證明:∵∠EAD+∠BAD=180°,∠DCB+∠BAD=180°,
∴∠EAD=∠DCB.
∵BD=DC,∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠DBC=∠DAC,
∴∠EAD=∠DAC,即AD平分∠EAC.
易錯點 對圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導致錯誤
11.如圖,在⊙O中,點A,B,C在⊙O上,且∠ACB=110°,則∠α=140°.
中檔題
12.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶5,則∠D等于(B)
A.60° B.1
19、20° C.140° D.150°
13.如圖,AB為⊙O的直徑,關(guān)于角p,q,r,s之間的關(guān)系:①p=2q;②q=r;③p+s=180°中,正確的是(A)
A.只有①和② B.只有①和③
C.只有②和③ D.①②③
14.(xx·白銀)如圖,⊙A過點O(0,0),C(,0),D(0,1),點B是x軸下方⊙A上的一點,連接BO,BD,則∠OBD的度數(shù)是(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
15.(xx·北京)如圖,點A,B,C,D在⊙O上,=,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ADB=70°.
16
20、.如圖,已知點A,B,C,D均在⊙O上,CD為∠ACE的平分線.
(1)求證:△ABD為等腰三角形;
(2)若∠DCE=45°,BD=6,求⊙O的半徑.
解:(1)證明:
∵CD平分∠ECA,
∴∠ECD=∠DCA.
∵∠ECD+∠DCB=180°,∠DCB+∠BAD=180°,
∴∠ECD=∠DAB.
又∵∠DCA=∠DBA,
∴∠DBA=∠DAB.
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵∠DCE=∠DCA=45°,
∴∠ECA=∠ACB=90°.
∴∠BDA=90°.∴AB是直徑.
∵BD=AD=6,
∴AB===6.
∴⊙O的半徑為3.
21、
17.(xx·宜昌)如圖,在△ABC中,AB=AC.以AB為直徑的半圓交AC于點D,交BC于點E.延長AE至點F,使EF=AE,連接FB,F(xiàn)C.
(1)求證:四邊形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.
解:(1)證明:∵AB為半圓的直徑,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,
∴CE=BE.
又∵EF=AE,
∴四邊形ABFC是平行四邊形.
又∵AB=AC,(或∠AEB=90°)
∴平行四邊形ABFC是菱形.
(2)連接BD.
∵AD=7,BE=CE=2,
設(shè)CD=x,則AB=AC=7+x.
∵AB為半圓的直徑,
∴
22、∠ADB=90°.
∴AB2-AD2=CB2-CD2.
∴(7+x)2-72=42-x2.
∴x1=1或x2=-8(舍去).
∴S半圓=×π×42=8π.
∴BD=.
∴S菱形ABFC=8.
綜合題
18.如圖,在⊙O中,直徑AB的兩側(cè)有定點C和動點P,點P在上運動(不與A,B重合),過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q.
(1)試猜想:△PCQ與△ACB具有何種關(guān)系?(不要求證明)
(2)當點P運動到什么位置時,△ABC≌△PCB?并給出證明.
解:(1)△PCQ∽△ACB.
(2)當為半圓時,
△ABC≌△PCB.
證明:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°.
∵為半圓,
∴CP是直徑.
∴∠PBC=90°,AB=CP.
∵CB是公共邊,∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL).