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1、2022年中考數(shù)學總復習 提分專練06 與四邊形有關的計算與證明練習 湘教版 |類型1|　平行四邊形背景問題 1.[xx·曲靖] 如圖T6-1,在平行四邊形ABCD的邊AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,連接EF,點M,N是線段EF上的兩點,且EM=FN,連接AN,CM. (1)求證:△AFN≌△CEM. (2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度數(shù). 圖T6-1 2.[xx·貴陽] 如圖T6-2,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與AG關于AE對稱,AE與AF關于AG對稱. (1)求證:△AE

2、F是等邊三角形; (2)若AB=2,求△AFD的面積. 圖T6-2 |類型2|　特殊四邊形背景問題 3.[xx·德陽] 如圖T6-3,點E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上一點,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC. (1)求證:點F為AB的中點; (2)EF與CB的延長線相交于點H,連接AH,若ED=2,求AH的值. 圖T6-3 4.[xx·呼和浩特] 如圖T6-4,已知A,F,C,D四點在同一條直線上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE. (1)求證:△ABC≌△DEF; (2)若EF=3,DE=4,∠

3、DEF=90°,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時AF的長度. 圖T6-4 5.[xx·遵義] 如圖T6-5,正方形ABCD的對角線交于點O,點E,F分別在AB,BC上(AE

4、為邊向右側作等邊三角形APE,點E的位置隨著點P的位置變化而變化. (1)如圖T6-6①,當點E在菱形ABCD內部或邊上時,連接CE,BP與CE的數(shù)量關系是　　　　,CE與AD的位置關系是　　　　.? (2)當點E在菱形ABCD外部時,(1)中的結論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由(選擇圖②,圖③中的一種情況予以證明或說明理由). (3)如圖④,當點P在線段BD的延長線上時,連接BE,若AB=2,BE=2,求四邊形ADPE的面積. 圖T6-6 參考答案 1.解:(1)證明:由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以∠CE

5、M=∠AFN,又AF=CE,EM=FN,所以△AFN≌ △CEM. (2)因為∠CMF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM,所以∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°.因為△AFN≌△CEM,所以∠NAF=∠ECM=35°.因此∠NAF的度數(shù)是35°. 2.解:(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵點F是DE的中點, ∴在Rt△AED中,FE=AF.∵AE與AF關于AG對稱, ∴AE=AF. ∴AE=AF=EF.∴△AEF是等邊三角形. (2)∵△AEF是等邊三角形,∴∠EAF=∠AEF=6

6、0°,∴∠EAG=∠EDA=30°.∵AB與AG關于AE對稱,∴∠BAE=∠EAG=30°.在Rt△ABE中,AB=2,∴BE=AB=1,∴AE==.∴DE=2,∴AD=3.S△AFD=S△ADE=××AE×AD=×××3=. 3.解:(1)證明:∵EF⊥EC, ∴∠CEF=90°, ∴∠AEF+∠DEC=90°. ∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°, ∴∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC. ∵AE=DC, ∴△AEF≌△DCE,∴ED=AF. ∵AE=DC=AB=2DE, ∴AB=2AF, ∴點F是AB的中點. (2)由(1)得AF=FB

7、,且AE∥BH, ∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF, ∴△AEF≌△BHF,∴AE=HB. ∵ED=2,且AE=2ED, ∴AE=4,∴HB=AB=AE=4, ∴AH2=AB2+BH2=16+16=32, ∴AH=4. 4.解:(1)證明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D. ∵AF=CD,∴AC=DF. 又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF. (2)由勾股定理得DF===5, 作EP⊥DF于P,則EP==. ∵四邊形BCEF是菱形,∴EF=CE,由勾股定理得FP===,則CP=FP=, AF=DC=DF-CF=5-2×=. 5.解:(1)證明:正方形ABC

8、D中,AC=BD,OA=AC,OB=BD,所以OA=OB.因為AC⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以 ∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因為∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以OM=ON. (2)過點O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE,因為E為OM的中點,所以OE=ME,又因為∠AEM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP.因為OA=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE==,所以OM=2OE

9、=2,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2. 6.[解析] (1)結論:BP=CE,CE⊥AD. 連接AC,證明△BAP≌△CAE即可解決問題; (2)結論仍然成立.證明方法與(1)類似; (3)利用(2)的結論,然后通過解直角三角形求出AP,DP,OA即可解決問題. 解:(1)BP=CE　CE⊥AD 連接AC交BD于O點,如圖①, ① ∵BA=BC,∠ABC=60°, ∴△ABC是等邊三角形, ∴AC=AB, ∠BAC=60°=∠PAE, ∴∠BAP=∠CAE. 在△BAP和△CAE中, ∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE. ∵△

10、BAP≌△CAE, ∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°, ∵∠ACD=60°,∴∠ECD=30°, ∴CE為∠ACD的角平分線, ∵CA=CD,由三線合一知CE⊥AD. (2)仍然成立,選擇圖②,理由如下: 如圖②,連接AC交BD于O點,設CE交AD于點H, ② 在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC, ∴△ABC為等邊三角形, ∴BA=CA. ∵△APE為等邊三角形, ∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAE. 在△BAP和△CAE中, ∴△BAP≌△CAE(SAS), ∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°. 又∵∠C

11、AD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD. 選擇圖③,理由如下: 如圖③,連接AC交BD于點O,設CE交AD于點H. ③ 同理得△BAP≌△CAE, ∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD. (3)如圖④,連接AC交BD于點O,連接CE交AD于點H. ④ 由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP, 在菱形ABCD中,AD∥BC, ∴EC⊥BC. ∵BC=AB=2,BE=2, ∴在Rt△BCE中,CE==8, ∴BP=CE=8. ∵AC與BD是菱形的對角線, ∴∠ABD=∠ABC=30°,AC⊥BD, ∴BD=2BO=2AB·cos30°=6, AO=AB=,DP=BP-BD=8-6=2, ∴OP=OD+DP=5. 在Rt△AOP中,AP==2, S四邊形ADPE=S△ADP+S△APE=DP·AO+·AP2=×2×+×(2)2=8.