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1、2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練(三)文
1.(2018·合肥模擬)已知橢圓E:+=1,點A、B、C都在橢圓E上,O為坐標原點,D為AB中點,且=2.
(1)若點C的坐標為,求直線AB的方程;
(2)求證:△ABC面積為定值.
解析:(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),∵=2,
∴D,
將A,B代入橢圓方程中,可得化簡可得
+=0,
∴kAB==-=-×=-,
∴直線lAB的方程為x+2y+2=0.
(2)證明:設C(m,n),∴D,
①當直線AB的斜率不存在時,n=0,由題意可得C(2,0),A,B或C(-2,0),
2、
A,B,此時S△ABC=×3×3=;
②當直線AB的斜率存在時,n≠0,由(1)kAB=-·=-,
∴AB:y+=-(x+),即直線AB:y=-x-=-x-,
即3mx+4ny+6=0,?3x2+3mx+3-4n2=0,
∴x1+x2=-m,x1x2=1-,∵=2 ,
|AB|=
=
=,
O到AB的距離d=,
S△ABC=3S△OAB=3×××=.∴S△ABC為定值.
2.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為6x-2y-1=0,f′(x)為f(x)的導函數(shù),g(x)=aex(a,b,c∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求b
3、,c的值;
(2)若?x0∈(0,2],使g(x0)=f′(x0)成立,求a的取值范圍.
解析:(1)由題意得f′(x)=3x2+2bx+c,
∴f′(1)=2b+c+3=3.
又f(1)=b+c+1,點(1,f(1))在直線6x-2y-1=0上,∴6-2(b+c+1)-1=0,
故b=-,c=3.
(2)∵g(x0)=f′(x0),
∴aex0=3x-3x0+3,
∴a=.
令h(x)=,
則h′(x)=,
令h′(x)=0,得x=1或x=2.
當x變化時,h(x)與h′(x)在x∈(0,2]上的變化情況如下表所示:
x
(0,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
-
0
+
0
h(x)
∴h(x)在x∈(0,2]上有極小值h(1)=,
又h(2)=,h(0)=3>,
∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范圍為[,3),
∴a的取值范圍為[,3).