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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 考前強化練9 解答題綜合練(B)文
1.已知函數(shù)f(x)=x2+mx(m>0),數(shù)列{an}的前n項和為Sn.點(n,Sn)在f(x)圖象上,且f(x)的最小值為-,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1.
2.(2018湖南長郡中學二模,文18)如圖,點C在以AB為直徑的圓O上,PA垂直于圓O所在平面,G為△AOC的重心.
(1)求證:平面OPG⊥平面PAC;
(2)若PA=AB=2AC=2,點Q在線段PA上,且PQ=2QA
2、,求三棱錐P-QGC的體積.
3.2017高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學文化有關(guān)的專題訓練卷(文、理科試卷滿分均為100分),并對整個高三年級的學生進行了測試.現(xiàn)從這些學生中隨機抽取了50名學生的成績,按照成績[50,60),[60,70),…,[90,100]分成了5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學生的成績均不低于50分).
(1)求頻率分布直方圖中的x的值,并估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)若高三年級共有2
3、 000名學生,試估計高三學生中這次測試成績不低于70分的人數(shù);
(3)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會,試求后兩組中至少有1人被抽到的概率.
4.已知橢圓C:=1(a>b>0)的長軸長為2,且橢圓C與圓M:(x-1)2+y2=的公共弦長為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)經(jīng)過原點作直線l(不與坐標軸重合)交橢圓于A,B兩點,AD⊥x軸于點D,點E在橢圓C上,且()·()=0,求證:B,D,E三點共線.
4、
5.已知函數(shù)f(x)=2mln x-x,g(x)=(m∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)),
(1)試討論函數(shù)f(x)的極值情況;
(2)當m>1且x>0時,總有g(shù)(x)+3f'(x)>0.
6.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點.
(1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長;
(2)動點P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值.
7.已知函數(shù)f(x)=|
5、2x-1|+|x+1|.
(1)求函數(shù)f(x)的值域M;
(2)若a∈M,試比較|a-1|+|a+1|,-2a的大小.
參考答案
考前強化練9 解答題綜合練(B)
1.(1)解 f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值為-=-,又m>0,所以m=,即Sn=n2+n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n;當n=1時,a1=1也適合上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n.
(2)證明 由(1)知bn=,
所以Tn=1-+…+=1-,
所以Tn<1.
2.(1)證明 如圖,延長OG交AC于點M.
∵G為△AOC的重心,∴
6、M為AC的中點.
∵O為AB的中點,∴OM∥BC.
∵AB是圓O的直徑,∴BC⊥AC,
∴OM⊥AC.
∵PA⊥平面ABC,OM?平面ABC,
∴PA⊥OM.
又PA?平面PAC,AC?平面PAC,PA∩AC=A,
∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC.
又OG?平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC.
(2)解 由(1)知OM⊥平面PAC,
∴GM就是點G到平面PAC的距離.
由已知可得,OA=OC=AC=1,
∴△AOC為正三角形,∴OM=.
又點G為△AOC的重心,
∴GM=OM=.
故點G到平面PQC的距離為.
所以VP-QGC=VG-PQC=S△PQC
7、·GM=S△PAC·GM=×2×1×.
3.解 (1)由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2,故x=0.02.
故可估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)為
(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74(分).
由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4,前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7,
故中位數(shù)在第3組中.設中位數(shù)為t分,則有(t-70)×0.03=0.1,所以t=73,
即所求的中位數(shù)為73分.
(2)由(1)可知,50名學生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1
8、=0.6,
由以上樣本的頻率,可以估計高三年級2 000名學生中成績不低于70分的人數(shù)為2 000×0.6=1 200.
(3)由(1)可知,后三組中的人數(shù)分別為15,10,5,故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3,2,1.記成績在[70,80)這組的3名學生分別為a,b,c,成績在[80,90)這組的2名學生分別為d,e,成績在[90,100]這組的1名學生為f,則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,
9、f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f)共20種.
其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為(a,b,c),只有1種,
故后兩組中至少有1人被抽到的概率為P=1-.
4.解 (1)由題意得2a=2,則a=.
由橢圓C與圓M:(x-1)2+y2=的公共弦長為,其長度等于圓M的直徑,可得橢圓C經(jīng)過點1,±,
所以=1,解得b=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:設A(x1,y1),E(x2,y2),則B(-x1,-y1),D(x1,0).
∵點A,E都在橢圓C上,所以
∴(x1-x2)(x1+x
10、2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0,即=-.
又()·()==0,
∴kAB·kAE=-1,即=-1,
∴=1,
∴.
又kBE-kBD==0,
∴kBE=kBD,∴B,D,E三點共線.
5.解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞),
f'(x)=-1=-.
①當m≤0時,f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,f(x)無極值;
②當m>0時,令f'(x)>0,得02m,故f(x)在x=2m處取得極大值,且極大值為f(2m)=2mln(2m)-2m,f(x)無極小值.
(2)當x>0時,g(x)+3f'(x)>0?-3
11、>0?3ex-3x2+6mx-3>0.
設函數(shù)u(x)=3ex-3x2+6mx-3,
則u'(x)=3(ex-2x+2m),記v(x)=ex-2x+2m,
則v'(x)=ex-2.
當x變化時,v'(x),v(x)的變化情況如下表:
x
(0,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
v'(x)
-
0
+
v(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
由上表可知v(x)≥v(ln 2),
而v(ln 3)=eln 2-2ln 2+2m=2-2ln 2+2m=2(m-ln 2+1),
由m>1,知m>ln 2-1,∴v(ln 2)>0,
∴v(x)>0,即u
12、'(x)>0,
∴u(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).
∴當x>0時,u(x)>u(0)=0,
即m>1當且x>0時,3ex-3x2+6mx-3>0.
∴m>1當且x>0時,總有g(shù)(x)+3f'(x)>0.
6.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2-4x=0,所以圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4.
將直線l的參數(shù)方程代入圓C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,
解得t1=0,t2=-2,
所以直線l被圓C截得的弦長為|t1-t2|=2.
(2)直線l的普通方程為x-y-4=0.
圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),
可設圓C上的動點P(2+2cos θ,2sin θ),
則點P到直線l的距離d==|2cosθ+-|.
當cosθ+=-1時,d取最大值,且d的最大值為2+,
所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,
即△ABP的面積的最大值為2+2.
7.解 (1)f(x)=
根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知,當x=時,f(x)min=f=.
所以函數(shù)f(x)的值域M=,+∞.
(2)∵a∈M,∴a≥,∴0<≤1.
又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3,
∴a≥,知a-1>0,4a-3>0,
∴>0,
∴-2a,
所以|a-1|+|a+1|>-2a.