2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課下層級訓(xùn)練34 合情推理與演繹推理（含解析）文 新人教A版 1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”過程應(yīng)用了(　　) A．分析法　　　　　　　 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法 B　[結(jié)合推理及分析法和綜合法的定義可知，B正確．] 2．給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　　 D．3 B　[(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①錯誤．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②錯誤．由向量的運算公式知③正確．] 3．某人進行了如下的“三段論”：如果f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點，因為函數(shù)f(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)＝0，所以x＝0是函數(shù)f(x)＝x3的極值點．你認為以上推理的(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結(jié)論正確 A　[若f′(x0)＝0，則x＝x0不一定是函數(shù)f(x)的極值點，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點，故大前提錯誤．] 4．對于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，如此反復(fù)操作，則第2 014次操作后得到的數(shù)是(　　) A．25 B．250 C．55 D．133 D　[由題意知，第3次操作為53＋53＝250，第4次操作為23＋53＋03＝133，第5次操作為13＋33＋33＝55，…. 因為每次操作后的得數(shù)呈周期排列，且周期為3，又2 014＝671×3＋1，故第2 014次操作后得到的數(shù)是133.] 5．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ D　[若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}為等比數(shù)列．] 6．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示，按照圖中的規(guī)律，第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為__________. 6n＋2　[由題意知，第1個圖中有8根火柴棒，第2個圖中有8＋6根火柴棒，第3個圖中有8＋2×6根火柴棒，……，依此類推，第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為8＋6(n－1)＝6n＋2.] 7．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式： x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，類比得x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝__________. nn　[第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn.] 8．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市． 由此可判斷乙去過的城市為__________. A　[由甲、乙的回答易知甲去過A城市和C城市，乙去過A城市或B城市，結(jié)合丙的回答可得乙去過A城市．] 9．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C． 證明　∵△ABC為銳角三角形， ∴A＋B＞，∴A＞－B， ∵y＝sin x在上是增函數(shù)， ∴sin A＞sin＝cos B， 同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C． 10．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值． (1)證明　∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB． ∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)． (2)解　∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 cosB＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．∴cosB的最小值為. [B級　能力提升訓(xùn)練] 11．(2018·寧夏銀川期末)將正整數(shù)排列如下： 1 2　 3　 4 5　 6　 7　 8　 9 10　11　12　13　14　15　16 … 則圖中數(shù)2 016出現(xiàn)在(　　) A．第44行第81列 B．第45行第81列 C．第44行第80列 D．第45行第80列 D　[由題意可知第n行有2n－1個數(shù)，則前n行的數(shù)的個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因為442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 016＜2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89個數(shù)，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列．] 12．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定x＝2，則1＋＝(　　) A． B． C． D． C　[設(shè)1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝.] 13．(2016·全國卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是__________. 1和3　[由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”．] 14．(2019·浙江紹興月考)已知cos ＝， cos cos ＝， cos cos cos ＝， …… (1)根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是__________； (2)若數(shù)列{an}中，a1＝cos ，a2＝cos cos ，a3＝cos cos cos ，…，前n項和Sn＝，則n＝__________. (1)cos cos ·…·cos ＝(n∈N*)　(2)10　[(1)從題中所給的幾個等式可知，第n個等式的左邊應(yīng)有n個余弦相乘，且分母均為2n＋1，分子分別為π，2π，…，nπ，右邊應(yīng)為，故可以猜想出結(jié)論為cos ·cos ·…·cos ＝(n∈N*)． (2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝10.] 15．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 解　如圖，由射影定理得 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝DC·BC， 故＋＝＋＝＝＝. 在四面體A­BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H. 則＝＋＋. 證明：連接BH并延長交CD于E，連接AE. ∵AB，AC，AD兩兩垂直， ∴AB⊥平面ACD，又∵AE?平面ACD， ∴AB⊥AE，在Rt△ABE中， ＝＋① 又易證CD⊥AE， 故在Rt△ACD中，＝＋② 把②式代入①式，得＝＋＋. 16．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解　(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos2 15°－sin15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.　證明如下： 法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2 －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α) －sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α －(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.