2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量 課下層級(jí)訓(xùn)練26 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例（含解析）文 新人教A版 1．已知＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為(　　) A．－　 B．－3　 C．　　 D．3 C　[因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為||cos〈，〉＝＝＝.] 2．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 A　[由條件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，兩式相減得4a·b＝4，所以a·b＝1.] 3．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b與c垂直，則k＝(　　) A．－3 B．－2 C．1 D．－1 A　[因?yàn)閍＋2b與c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.] 4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　[∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. ∵c與a的夾角等于c與b的夾角， ∴＝，∴＝，解得m＝2.] 5．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值、最小值分別為(　　) A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 B　[由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)E(x，y)(－3≤x≤3)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以當(dāng)x＝0時(shí)，·有最小值7，當(dāng)x＝±3時(shí)，·有最大值8.] 6．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝__________. －2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.] 7．(2018·安徽合肥檢測(cè))若非零向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，則a與b夾角的余弦值為_(kāi)_________. 　[由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，則可得a·b＝，設(shè)a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]，則cos θ＝＝.] 8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則·＋·＝__________. 4　[由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系． 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，則·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.] 9．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|； (2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解　由已知得，a·b＝4×8×＝－16. (1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝16. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. 即k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直． 10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． 解　(1)因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0.于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤， 于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取得最大值3； 當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－2. [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．設(shè)a，b為單位向量，且a⊥b，若向量c滿足|c－(a＋b)|＝|a－b|，則|c|的最大值是(　　) A．2 B．2 C． D．1 A　[由題意結(jié)合a⊥b，可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則由|c－(a＋b)|＝|a－b|，得|(x，y)－(1,1)|＝|(1，－1)|，由此可得(x－1)2＋(y－1)2＝2， 即c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡在以(1,1)為圓心的圓上，如圖所示． ∵圓過(guò)原點(diǎn)，∴|c|的最大值為圓的直徑2.] 12．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C． D．2 A　[建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)． 設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E，連接CE，則CE⊥BD． ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝＝， EC＝＝＝， 即圓C的半徑為， ∴P點(diǎn)的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝. 設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))， 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)． ∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sin θ. 兩式相加，得λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時(shí)，λ＋μ取得最大值3.] 13．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是__________. 　[由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.] 14．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為_(kāi)_________. 1　[由題意得，|a|＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||. 由⊥，得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b |2＝0， 所以|a|＝|b |＝1，由||＝||，得|a－b |＝|a＋b |， 所以a·b＝0. 所以|a＋b|2＝|a|2＋| b |2＝2， 所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.] 15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大小； (2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值． 解　(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C． 根據(jù)正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以sin Acos B＝sin(C＋B)， 即sin Acos B＝sin A，因?yàn)锳∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因?yàn)閨－|＝，所以||＝， 即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào))，即ac≤3(2＋)， 故△ABC的面積S＝acsin B≤， 即△ABC的面積的最大值為. 16．已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l∶x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·＝0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N∶x2＋(y－1)2＝1的任意一條直徑，求·的最值． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由·＝0， 得||2－||2＝0， 即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，化簡(jiǎn)得＋＝1. 所以動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，其軌跡方程為＋＝1. (2)易知＝＋， ＝＋， 且＋＝0，由題意知N(0,1)， 所以·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1 ＝16＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16 ＝－(y＋3)2＋19. 因?yàn)椋?≤y≤2， 所以當(dāng)y＝－3時(shí)，·取得最大值19， 當(dāng)y＝2時(shí)，· 取得最小值12－4. 綜上，·的最大值為19，最小值為12－4.