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1、七年級(jí)升八年級(jí)數(shù)學(xué) 暑期銜接班講義 第八講 全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS 新人教版 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．求證三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL； 需要三個(gè)邊角關(guān)系；其中至少有一個(gè)是邊； 2．“SSS”定理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 在△ABC和△DEF中： ∴△ABC∽△DEF.（SSS） 如： 3．①“ASA”定理：兩角及兩角所夾的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； ②“AAS”定理：兩角及其中一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 在△ABC和△DEF中：

2、 ∴△ABC∽△DEF.（ASA） 在△ABC和△DEF中： ∴△ABC∽△DEF.（AAS） 如： 4. “SAS”、“SSS”、 “ASA”、“AAS”四種基本方法的綜合運(yùn)用. 【定理運(yùn)用】 例1、如圖，E、F兩點(diǎn)在線段BC上，AB=CD，AF=DE，BE=CF，求證：∠AFB=∠DEC. 鞏固練習(xí)： 1．如圖，已知，AB=AC，AD=AE，BD=CE，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)P，求證：∠BAC=∠DAE； 例2.已知命題：如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，且AD=

3、BE，BC=EF，則△ABC≌△DEF.（1）判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題？ （2）如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題,并能運(yùn)用“SSS”公理加以證明. 鞏固練習(xí)： 1.如圖，已知，AB=CD，BE=DF，AF=CE，求證：AD∥BC. 2.已知：如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：AF=AG. 例3.、如圖，C為線段AB的中點(diǎn)，AD∥CE，∠D=∠E，求證：CD=EB. 鞏固練習(xí) 1.如圖，AD為△ABC的高線，E、F為直線AD

4、上兩點(diǎn)，DE=DF，BE∥CF，求證：AB=AC. 2.如圖，∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線，求證：AB=DC. 例4.如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在BC、AC的延長(zhǎng)線上，∠1=∠2=∠3，求證：AD=AE. 鞏固練習(xí)： 1.已知：如圖，∠A=∠D，OA=OD，求證：∠1=∠2. 2.已知：AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，AE=CF，求證：AB=CD. 例5.已知：如圖，AB=CD，∠A=∠D，求證：∠A

5、BC=∠DCB. 鞏固練習(xí)：1.已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：∠DBC=∠ECB. 2.已知：如圖，△ABC中，∠BAC=∠BCA，延長(zhǎng)BC邊的中線AD到E點(diǎn)，使AD=DE，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CF， 求證：AF=2AD. 例6.在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC、BD交于點(diǎn)P. （1）①如圖1，∠AOB=∠COD=60°，則∠APD= ，AC與BD的數(shù)量關(guān)系是 ； ②如圖2，∠AOB=∠COD=90°，則∠APD=

6、 ，AC與BD的數(shù)量關(guān)系是 ； （2）如圖3，∠AOB=∠COD=α°，則∠APD的度數(shù)為 （用含α的式子表示），AC與BD之間的等量關(guān)系是 ；填寫(xiě)你的結(jié)論，并給出你的證明； 圖1 圖2 圖3 鞏固練習(xí)：點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為腰在直線AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE、BD交于點(diǎn)F. （1）如圖1，若∠

7、ACD=60°，則∠AFB= ； （2）如圖2，若∠ACD=°，則∠AFB= ；（用的代數(shù)式表示） （3）如圖3，將圖2中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，延長(zhǎng)BD交線段AE于點(diǎn)F，試探究∠AFB與之間的數(shù)量關(guān)系，并給出你的證明. 例7.已知：AB=AC，AD=AE，AF⊥CD，AG⊥BE，求證：AF=AG. 鞏固練習(xí)：1.如圖，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點(diǎn)M. （1）求證：△ABC≌△DCB ； B

8、 C A D M N （2）過(guò)點(diǎn)C作CN∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 2.如圖，已知，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2. （1）求證：BC=DE； （2）若AF平分∠BAC，求證：AF=AC. 3.已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：AO平分∠BAC. 4.如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC，過(guò)A任作直線，BD⊥于點(diǎn)D，CE⊥于點(diǎn)E. (1) 若與BC不相交，求證：B

9、D+CE=DE； (2) 當(dāng)直線繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與BC相交時(shí)，其它條件不變，試猜想BD、CE和DE的關(guān)系？ 畫(huà)圖并給出證明. 課后作業(yè)： 1．如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°. （1）求證：BD=CE； （2）求證：BD⊥CE. 2．已知：如圖，AB=AC，AD=AE，BD=CE，求證：∠BAE=∠CAD. 3．如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求證：AB∥CD，AD∥BC.

10、4．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求證：∠A=∠C. 5．已知：如圖，AD=BC，AC=BD，求證:∠D=∠C. 6．如圖1，等腰△ABC中AB=AC，D、E分別在AC、AB上，且AD、AE，M、N分別BE、CD的中點(diǎn). （1）CD BE，AM AN；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）如圖2，把圖1中的△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由． 7．如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，

11、AB∥DE，∠ACB=∠F. 求證：△ABC∽△DEF． 8．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，點(diǎn)A、點(diǎn)D在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，求證：AC=DF． 9．如圖，AB∥CD，AB=CD，求證：O為AC的中點(diǎn). 10．如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE、CF，垂足分別為點(diǎn)E、F，求證：BE=CF． 11．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求證：AB=CD，AD=BC. 12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，DM⊥AB且DM=AC，過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△MED. 14．如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)、E分別是AD及 其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它線段)，并能用“ASA”或 “AAS”公理進(jìn)行證明． （1）你添加的條件是： ； （2）證明：