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1、中考數(shù)學全程演練 第45課時 實驗操作型問題
(50分)
一、選擇題(每題10分,共10分)
圖45-1
1.[xx·寧波]如圖45-1,小明家的住房平面圖呈長方形,被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長,則分割后不用測量就能知道周長的圖形的標號為 (A)
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
二、填空題(每題10分,共10分)
2.[xx·紹興]把標準紙一次又一次對開,可以得到均相似的“開紙”.現(xiàn)在我們在長為2,寬為1的矩形紙片中,畫兩個小矩形,使這兩個
2、小矩形的每條邊都與原矩形的邊平行,或小矩形的邊在原矩形紙的邊上,且每個小矩形均與原矩形紙相似,然后將它們剪下,則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是__+4__.
【解析】 ∵在長為2,寬為1的矩形紙片中,畫兩個小矩形,使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行,或小矩形的邊在原矩形的邊上,且每個小矩形均與原矩形紙相似,
∴要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大,則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大.
∵矩形的長與寬之比為2∶1,
∴剪得的兩個小矩形中,一個矩形的長為1,
寬為=,
∴另外一個矩形的長為2-=,
寬為=,
∴所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是2=4+.
3、三、解答題(共30分)
3.(15分)[xx·南充]如圖45-2,矩形紙片ABCD,將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊(AP>AM),點A和點B都與點E重合;再將△CQD沿DQ折疊,點C落在線段EQ上點F處.
(1)判斷△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形?(不需說明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的長.
解:(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=90°,
圖45-2
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:
∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,
4、
∵∠APM+∠AMP=90°,
∴∠BPQ=∠AMP,
∴△AMP∽△BPQ,
同理:△BPQ∽△CQD,
根據(jù)相似的傳遞性,△AMP∽△CQD;
(2)∵AD∥BC,
∴∠DQC=∠MDQ,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:∠DQC=∠DQM,
∴∠MDQ=∠DQM,∴MD=MQ,
∵AM=ME,BQ=EQ,
∴BQ=MQ-ME=MD-AM,
∵sin∠DMF==,
∴設DF=3x,MD=5x,
∴BP=PA=PE=,BQ=5x-1,
∵△AMP∽△BPQ,
∴=,
∴=,
解得x=或x=2,
又∵AP>AM,
∴x=時,AP=
5、
∴AB=6.
4.(15分)[xx·寧波]在邊長為1的小正方形組成的方格紙中,若多邊形的各頂點都在方格紙的格點(橫豎格子線的交錯點)上,這樣的多邊形稱為格點多邊形.記格點多邊形內(nèi)的格點數(shù)為a,邊界上的格點數(shù)為b,則格點多邊形的面積可表示為S=ma+nb-1,其中m,n為常數(shù).
(1)在圖45-3的方格紙中各畫出一個面積為6的格點多邊形,依次為三角形、平行四邊形(非菱形)、菱形;
圖45-3
(2)利用(1)中的格點多邊形確定m,n的值.
解:(1)如答圖;
第4題答圖
(2)三角形:a=4,b=6,S=6;
平行四邊形:a=3,b=8,S=6;
菱形:a=5,b=
6、4,S=6;
任選兩組數(shù)據(jù)代入S=ma+nb-1,
解得m=1,n=.
(30分)
5.(15分)提出問題:
(1)如圖45-4①,在等邊△ABC中,點M是BC上的任意一點(不含端點B,C),連結AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結CN.求證:∠ABC=∠ACN;
類比探究
(2)如圖45-4②,在等邊△ABC中,點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其他條件不變,(1)中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請說明理由;
拓展延伸
(3)如圖45-4③,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是BC上的任意一點(不含端點B,C),連結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN
7、=∠ABC.連結CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系,并說明理由.
圖45-4
解:(1)證明:∵△ABC,△AMN是等邊三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN;
(2)結論∠ABC=∠ACN仍成立.
理由:∵△ABC,△AMN是等邊三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°.
∴∠BAM=∠CAN.∴△BAM≌△CAN;
∴∠ABC=∠ACN;
(3)∠ABC=∠ACN.
理由:∵BA=BC,MA=MN,∠ABC=∠AMN,
∴∠BAC
8、=∠MAN,∴△ABC∽△AMN,
∴=.∵∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC,∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,∴∠ABC=∠ACN.
6.(15分)[xx·南充]如圖45-5,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,點P到點A,B和D的距離分別為1,2,.△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連結PP′,并延長AP與BC相交于點Q.
(1)求證:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小;
(3)求CQ的長.
圖45-5 第6題答圖
解:(1)證明:因為△ABP′是由△ABP順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,
9、
則AP=AP′,∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)∵△APP′是等腰直角三角形,
∴∠APP′=45°,PP′=,
又∵BP′=,BP=2,
∴PP′2+BP2=BP′2,
∴∠BPP′=90°,
∵∠APP′=45°,
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠BPP′=45°;
(3)過點B作BE⊥AQ于點E,則△PBE為等腰直角三角形,
∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,
∴BE=PE=2,∴AE=3,
∴AB==,則BC=,
∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,
∴△ABE∽△AQB,
∴=,即=,∴AQ=,
∴B
10、Q==,
∴CQ=BC-BQ=.
(20分)
7.(20分)[xx·婁底]如圖45-6①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,如果點P由點B出發(fā)沿BA的方向向點A勻速運動,同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們速度均是1 cm/s,連結PQ,設運動時間為t(s)(0
11、(1)由勾股定理,得AB=5;
由題意得BP=AQ=t,AP=5-t.
如答圖①過點P作PD⊥AC于點D,
則△APD∽△ABC,
∴=,解得PD=3-t,
∴S=t=-+,
∴當t=時,S取得最大值是;
第7題答圖① 第7題答圖②
(2)連結PP′交AC于點D,
∵PQP′C是菱形,
∴PP′與QC互相垂直平分,
∴AD=t+=+2,
PD=3-t,AP=5-t.
由勾股定理得+=(5-t)2,
解得t1=,t2=20(舍去);
第7題答圖③ 第7題答圖④
(3)△APQ是等腰三角形,
①當AP=AQ時,t=5-t,則t=;
②當PA=PQ時,如答圖③,作PE⊥AC于E,
∵cos∠A=,則AE=(5-t),
又∵AP=PQ,∴AE=AQ=,
∴(5-t)=,∴t=;
③當QA=QP時,如答圖④,作QF⊥AB于點F,
∴AF=t;
∴t=5-t,∴t=.
綜上所述,當t=或t=或t=時,△APQ是等腰三角形.